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1、2012年河南省普通高等學(xué)校選拔優(yōu)秀??飘厴I(yè)生進(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試高等數(shù)學(xué)題 號(hào)一二三四五總 分分 值602050128150一、選擇題(每小題2分,共60分)在每小題的四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)1函數(shù)的定義域是ABCD解:.選C.2下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是ABCD解:A、D為非奇非偶函數(shù),B為偶函數(shù),C為奇函數(shù)。選B.3當(dāng)時(shí),下列無窮小量中與等價(jià)的是ABCD解:時(shí),.選D.4設(shè)函數(shù),則是的A連續(xù)點(diǎn)B可去間斷點(diǎn)C跳躍間斷點(diǎn)D第二類間斷點(diǎn)解:處沒有定義,顯然是間斷點(diǎn);又時(shí)的極限不存在,故是第二類間斷點(diǎn)。選D.5
2、函數(shù)在點(diǎn)處A極限不存在B間斷C連續(xù)但不可導(dǎo)D連續(xù)且可導(dǎo)解:函數(shù)的定義域?yàn)?,顯然是連續(xù)的;又,因此在該點(diǎn)處不可導(dǎo)。選C.6設(shè)函數(shù),其中在處連續(xù)且,則A不存在B等于C存在且等于0D存在且等于解:易知,且,.故不存在。選A.7若函數(shù)可導(dǎo),則ABCD解:根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知:.選B.8曲線有水平漸近線的充分條件是ABCD解:根據(jù)水平漸近線的求法可知:當(dāng)時(shí),即時(shí)的一條水平漸近線,選B.9設(shè)函數(shù),則ABCD解:對(duì)兩邊同時(shí)求微分有:,所以.選D.10曲線在點(diǎn)處的切線斜率是ABCD解:易知,故.選B.11方程(其中為任意實(shí)數(shù))在區(qū)間內(nèi)實(shí)根最多有A個(gè)B個(gè)C個(gè)D個(gè)解:令,則有,即函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的,故
3、最多只有一個(gè)實(shí)根。選D.12若連續(xù),則下列等式正確的是ABCD解:B、C的等式右邊缺少常數(shù)C,D選項(xiàng)是求微分的,等式右邊缺少dx.選A.13如果的一個(gè)原函數(shù)為,則ABCD解:的一個(gè)原函數(shù)為,那么所有的原函數(shù)就是.所以.選C.14設(shè),且,則ABCD解:因?yàn)?,所以,又,?選B.15ABCD解:本題是變下限積分的題。利用公式可知.選B.16ABCD解:.選C.17下列廣義積分收斂的是ABCD解:A選項(xiàng)中,故發(fā)散;B選項(xiàng)中根據(jù)結(jié)論,當(dāng)時(shí)發(fā)散,本題中,故發(fā)散;C選項(xiàng)中根據(jù)結(jié)論,當(dāng)時(shí)發(fā)散,本題中,故發(fā)散;D選項(xiàng)中,故收斂。選D.18微分方程是A二階非線性微分方程B二階線性微分方程C一階非線性微分方程D一
4、階線性微分方程解:最高階導(dǎo)數(shù)是二階導(dǎo)數(shù),并且不是線性的。選A.19微分方程的通解為ABCD解:這是可分離變量的方程。有,兩邊同時(shí)積分有,即.選B.20在空間直角坐標(biāo)系中,若向量與軸和軸正向的夾角分別為和,則向量與軸正向的夾角為ABCD或解:對(duì)空間的任意一個(gè)向量有,現(xiàn)有,從而解得,所以為或.選D.21直線與平面的位置關(guān)系是A直線在平面內(nèi)B平行C垂直D相交但不垂直解:直線的方向向量為,平面的法向量為,且,直線上的點(diǎn)不在平面內(nèi),所以故該直線和平面平行。選B.22下列方程在空間直角坐標(biāo)系中表示的圖形為旋轉(zhuǎn)曲面的是ABCD解:根據(jù)旋轉(zhuǎn)曲面方程的特點(diǎn),有兩個(gè)平方項(xiàng)的系數(shù)相同,故選C.23ABCD解:.選B
5、.24函數(shù)在點(diǎn)處可微是在該點(diǎn)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)和存在的A充分條件B必要條件C充分必要條件D既非充分又非必要條件解:可微可以退出偏導(dǎo)數(shù)存在,但是僅有偏導(dǎo)數(shù)存在退不出可微,故是充分而非必要條件。選A.25已知,則ABCD解:.選C.26冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為ABCD解:由,可知.選B.27下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是ABCD解:A選項(xiàng)中一般項(xiàng)趨于,故發(fā)散;B、C選項(xiàng)是交錯(cuò)級(jí)數(shù),滿足萊布尼茨定理,故收斂;D選項(xiàng)根據(jù)結(jié)論中時(shí)收斂,本題中,故收斂。選A.28若級(jí)數(shù)在點(diǎn)處條件收斂,則在,中使該級(jí)數(shù)收斂的點(diǎn)有A個(gè)B個(gè)C個(gè)D個(gè)解:該級(jí)數(shù)的中心點(diǎn)是2,又在點(diǎn)處條件收斂,所以可以確定收斂區(qū)間為.故在,處收斂。選C.29若是曲線上從點(diǎn)到的
6、一條連續(xù)曲線段,則曲線積分的值為ABCD解:,且有,因此該積分與積分路徑無關(guān)。令該積分沿直線上點(diǎn)到積分,可有.選C.30設(shè),則交換積分次序后,可化為ABCD解:積分區(qū)域可寫為:,在圖象中表示為121xy由此可知,積分區(qū)域還可表示為.因此積分可表示為.選A.二、填空題(每小題2分,共20分)31已知,則 解:,因此.32設(shè)函數(shù),則 解:,.33如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)且為的極小值,則 解:因?yàn)闃O值點(diǎn)是或者不存在的點(diǎn),現(xiàn)已知函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),所以.34曲線的拐點(diǎn)是 解:,.令,可得,此時(shí);并且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.因此拐點(diǎn)為.35不定積分 解:36微分方程滿足的特解為 解:原方程對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程為,可解得
7、.用常數(shù)變易法,可求得非齊次線性微分方程的通解為.將代入有.所以對(duì)應(yīng)的特解為.37向量在上的投影為 解:,故向量在向量上的投影.38設(shè)方程所確定的隱函數(shù)為,則 解:令.則有,所以.由于時(shí),.代入可知.39設(shè)積分區(qū)域?yàn)椋海瑒t 解:,而積分區(qū)域表示的是以為圓心,2為半徑的圓,所以,即.40若(),則正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性為 解:,由比較判別法的極限形式可知,級(jí)數(shù)和有相同的斂散性,故正項(xiàng)級(jí)數(shù)是發(fā)散的。三、計(jì)算題(每小題5分,共50分)41求極限解:原式42已知參數(shù)方程(為參數(shù)),求解:因?yàn)?所以 43求不定積分解:令,則,且于是原式44求解:原式45求微分方程的通解解:原方程的特征方程為特征方程的根為 所
8、以原方程的通解為 46求函數(shù)的極值解:由解得駐點(diǎn)又 對(duì)于駐點(diǎn),因?yàn)樗裕谑屈c(diǎn)不是函數(shù)的極值點(diǎn)對(duì)于駐點(diǎn)有于是 所以函數(shù)在點(diǎn)處取極大值為47求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程解:因?yàn)樗笾本€平行于直線所以所求直線的方向向量為由直線的點(diǎn)向式方程可得,所求的直線方程為48求函數(shù)的全微分解:由于所以49計(jì)算,其中為圓環(huán):解:在極坐標(biāo)系下,區(qū)域(如第49題圖所示)可以表示為所以50求冪級(jí)數(shù)的收斂域解:因?yàn)樗栽?jí)數(shù)的收斂半徑為 也就是,當(dāng),即時(shí),原級(jí)數(shù)收斂當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為是交錯(cuò)級(jí)數(shù)且滿足,所以它是收斂的;當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為,這是一個(gè)的級(jí)數(shù),所以它是發(fā)散的;所以,原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)樗?、?yīng)用題(每小題6分,共12分)51
9、求函數(shù)在時(shí)的最大值,并從數(shù)列,中選出最大的一項(xiàng)(已知)解:因?yàn)?令,解得唯一駐點(diǎn)又因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi),嚴(yán)格單調(diào)增加;在區(qū)間內(nèi),嚴(yán)格單調(diào)減少;而又在區(qū)間連續(xù),所以在處取最大值已知,由上知于是數(shù)列的第三項(xiàng)是此數(shù)列中最大的一項(xiàng)52過點(diǎn)作曲線的切線,該切線與此曲線及軸圍成一平面圖形試求平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積解:設(shè)切線與曲線相切于點(diǎn)(如第52題圖所示),第52題圖由于則切線方程為 因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn),所以將代入上式得切點(diǎn)坐標(biāo)為從而切線方程為因此,所求旋轉(zhuǎn)體的體積為五、證明題(8分)53證明不等式:,其中為正整數(shù)證明:設(shè),則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),故在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,于是,至少存在一點(diǎn),使得又因?yàn)?,故,從而有所?15