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1、點的合成運動,第七章,直升飛機螺旋槳端P點，其運動可以分解為：“隨螺旋槳一起相對飛機機身的運動”和“隨機身一起在空中的移動”。,7-1 合成運動的概念,機身相對地面直線平移,一點、二系、三運動,絕對運動是由相對運動和牽連運動合成的，所以亦稱為合成運動。,建立在固定參考物上的坐標系，簡稱靜系( K）。,建立在相對靜系有運動的物體上的坐標系，簡稱動系（K） 。,注意,1、絕對運動和相對運動是點的運動（直線或曲線）用點的運動學來分析和描述,2、牽連運動是剛體的運動（平動或定軸轉動）用剛體的運動學來分析和描述,例 直桿 OA 在豎直面內繞 O 點轉動，套筒 M 沿直桿滑動，試分析套筒的合成運動。,動點

2、： 靜系： 動系：,套筒M,地球oxy,沿直桿OA的動坐標系Ox，固結在直桿上,A,相對運動：,套筒M（動點）相對運動的軌跡為沿ox軸的直線運動,x,牽連運動：,定軸轉動,在t1瞬時滑塊M位于圓盤上的A點，它的牽連速度ve1和牽連加速度ae1 等于該瞬時A點的速度和加速度。,x,設此時圓盤的角速度為1，角加速度為a1，則,Ve1 、 ae1的方向看圖,牽連運動：,定軸轉動,絕對運動：,曲線運動,假設初始時刻A點在o處，槽與x軸重合。,2、 動點相對oxy的運動方程，即相對運動，直線運動,例1： 圖示刻有直槽的圓盤繞水平軸O以勻速轉動 ，同時一小球A以勻速u 相對直槽運動，若以A為動點，地面為靜

3、系，圓盤為動系，試分析三種運動，并列出相應的運動方程。,解：,1、建立坐標系,動坐標建在槽內、靜坐標為地球,4. 圓盤相對oxy的運動方程，牽連運動（ oxy 相對oxy 的運動為轉動）,3. 動點相對oxy的運動方程，即絕對運動，曲線運動,例 具有圓弧形導桿的曲柄滑道機構，試分析其合成運動。,解 ：,動點： 靜系： 動系：,小 球 M,絕對運動： 牽連運動： 相對運動：,平 動,地 球,滑道ABD,圓周運動,圓周運動,絕對位移：,7-2 點的速度合成定理,相對位移：,牽連位移：,速度合成定理,在任一瞬時，動點的絕對速度v等于牽連速度ve與相對速度vr的矢量和。,動點相對于靜系的速度和加速度稱

4、為動點的絕對速度和絕對加速度,動點相對于動系的速度和加速度稱為動點的相對速度和相對加速度,或,動點的牽連點：該瞬時動系上與動點的空間位置重合的那一點 。,M1,M2,1,2,ve,ae,不同瞬時有 不同的牽連點！,注意,牽連速度和牽連加速度是指某瞬時動點的牽連點相對靜系的速度和加速度（即牽連點的絕對速度和絕對加速度）牽連點并不是動系上某一固定點，它是隨時間變化的。除非動系作平移，否則其上各點的運動都不完全相同。因此不能把動點的牽連速度和牽連加速度籠統(tǒng)認為是動系的速度和加速度。,在推導該定理過程中，對動系的運動未加限制，因此該定理適用于牽連運動（剛體的運動）是任何運動（平動或轉動）的情況。,這是

5、一個平面矢量關系，有兩個獨立的投影方程，可求解兩個未知量。,例2： 曲柄長r，角速度，求夾角為時，曲桿的速度。,解：,1.確定動點動系,以OA桿上的A為動點，動系xoy固定在曲桿CD上，靜系xoy固定在地面。,2.運動分析,絕對運動：,（A點相對地面的）圓周運動,牽連運動：,(xoy)隨曲桿CD的直線平行移動,相對運動：,A點相對（xAy）曲桿CD的直線運動,例2： 曲柄長r，角速度，求夾角為時，曲桿的速度。,解：,3.速度合成,求得,方向：,大?。?？ ？,例3： 運動員以恒定速度u在直線跑道上奔跑，一位攝影師在距跑道h距離處用攝影機拍攝。問圖示位置時，攝影機的角速度應為多少才能跟上運動員？

6、,1.確定動點動系,以運動員為動點，動系固定在攝影機上，靜系固定在地面,2.運動分析,解：,3.速度合成,方向： ,大?。?？ ？,絕對運動：,水平直線運動,牽連運動：,定軸轉動,相對運動：,在攝影機和運動員連線方向的直線運動,解題關鍵：,選取動點和動系,動點動系的選擇遵循的原則：,動點動系不能選擇在同一個運動的剛體上，即動點和動系之間有相對運動,動點相對于動系的相對運動軌跡要直觀、明確（直線、圓或某一確定的曲線）,動系要有明確的運動（平動、定軸轉動或其他運動）,在簡單的運動幾個中，動系的選擇是唯一的，動點是兩個物體的交點，該交點均非兩物體的固定的,當問題需要一個動點，兩個動系的方法求解時，則

7、需選兩個動系，動點選兩個動系的交點,當機構的運動是由A、B兩個構件靠接觸傳動時，接觸點稱關聯(lián)點，若關聯(lián)點在A構件是固定的，在B構件上是不固定的，則應取A構件上的點為動點，B構件為動系,當機構的運動是由A、B兩個構件靠接觸傳動時，若關聯(lián)點并非A、B構件上的固定點，應選另一個相對運動軌跡明顯的點為動點,取靜系上的固定點為動點，或取與靜系鉸接的并可繞鉸鏈中心轉動的套筒為動點，沿固定桿滑動的桿或穿過套筒的桿為動系,相對速度：,牽連速度：,相對加速度：,牽連加速度：,則絕對速度：,絕對加速度：,7-3 牽連運動為平移時點的加速度合成,牽連運動為平移時的加速度合成定理：,在任一瞬時，動點的絕對加速度等于牽

8、連加速度與相對加速度的矢量和。,7-3 牽連運動為平移時點的加速度合成,例4： 曲柄長r，角速度，求夾角為時曲桿的加速度,解：,1.確定動點動系,以OA桿上的A為動點，動系xoy固定在曲桿CD上，靜系xoy固定在地面。,2.運動分析,3.加速度合成,求得,方向： ,大?。?？ ？,例5：半圓輪沿斜坡向下滑動,圖示時刻速度和加速度已知，試求此刻AB桿的速度和加速度。,以AB桿上的A為動點，動系固定在半圓輪上,2、運動分析,絕對運動：沿鉛錘線的直線運動,相對運動：沿半圓周圓周運動,牽連運動：沿斜面平動,例5：半圓輪沿斜坡向下滑動,圖示時刻速度和加速度已知，試求此刻AB桿的速度和加速度。,3. 速度

9、合成,x,向x軸(v)投影,例5：半圓輪沿斜坡向下滑動,圖示時刻速度和加速度已知，試求此刻AB桿的速度和加速度。,4 、加速度合成,方向： ,大?。?？ a0 ？ v2r /R,60,向x軸( )上投影：,練習1：已知O1A1和O2A2桿長均為r， 且始終平行。 O1A1桿以勻角速度轉動，通過半圓形凸輪帶動CD桿運動，凸輪半徑也是r。試求圖示時刻CD桿的速度和加速度。,以CD桿上的C為動點，動系固定在半圓輪上,2. 速度合成,2、運動分析,絕對運動：垂直直線運動,相對運動：圓周運動,牽連運動：平動,練習1：已知O1A1和O2A2桿長均為r， 且始終平行。 O1A1桿以勻角速度轉動，通過半圓形凸

10、輪帶動CD桿運動，凸輪半徑也是r。試求圖示時刻CD桿的速度和加速度。,4. 加速度合成,方向： ,大小： ？ ？ ,x,向x軸( )上投影：,練習2：已知半徑為 r 的半圓形凸輪以勻速 v0 在水平面上滑動，長為 r 的直桿OA可繞O軸轉動。試求圖示瞬時OA桿的角速度和角加速度。,以OA桿上的A為動點，動系固定在半圓輪上,3. 速度合成,向x軸(vr) 上投影：,2、運動分析,絕對運動：圓周運動,相對運動：圓周運動,牽連運動：平動,練習2：已知半徑為 r 的半圓形凸輪以勻速 v0 在水平面上滑動，長為 r 的直桿OA可繞O軸轉動。試求圖示瞬時OA桿的角速度和角加速度。,4、 加速度合成,其中：

11、,解得：,向x軸( )上投影：,練習3：設有一圓盤以勻角速度 繞垂直于盤面的 O 軸轉動，動點 M 在圓盤上半徑為 r 的圓槽內以勻速 vr 相對圓盤運動。求M 點的絕對加速度。,解：,1. 以M為動點，圓盤為動系,2. 分析三種運動,3. 速度合成,4. 求加速度,7-4 牽連運動為轉動時點的加速度合成,1,2,1,2,7-4 牽連運動為轉動時點的加速度合成,牽連運動為轉動時點的加速度合成定理：當牽連運動為定軸轉動時（平面運動時也成立），在任一瞬時，動點的絕對加速度等于動點的牽連加速度、相對加速度與科氏加速度三者的矢量和。,科氏加速度等于動系的角速度與動點的相對速度的矢積的二倍。,科氏加速度

12、是由于牽連運動和相對運動相互影響而產(chǎn)生的加速度。,大小：,方向：,矢積的方向,大?。?z,x,y,兩種特殊情況,1、當vr，=90此時ac=2vr ，ac、vr，三者互相垂直,2、當vr，=0或=180此時ac=0 。,例6: 在北半球緯度處有一條河流，河水沿著正北方向流動，流速為u，如圖?？紤]地球自轉的影響，求河水的加速度。,解：因為只考慮地球自轉的影響，所以可取地心坐標系為靜系，以地軸為z軸，軸x、y由地心分別指向兩個遙遠的恒星（未畫出）。因此，該坐標系不受地球自轉影響。以水流所在處為原點，選動系固結于地球上，軸x、y在水平面內，軸x指向東，軸y指向北，軸z鉛直向上。地球繞地軸自轉的角速度

13、以表示。,水流在地球上作勻速圓周運動，故：,地球作定軸轉動，有,相對運動為水流在地球表面上作勻速圓周運動，（沿經(jīng)線）故：,動系（地球）作定軸轉動，有,切向加速度為零,法向加速度：,牽連加速度（緯圓）,例7: T型桿在圖示位置的速度、加速度已知，AD長為b。試求此時OC桿的角速度和角加速度。,3、 速度合成,2、運動分析,例7: T型桿在圖示位置的速度、加速度已知，AD長為b。試求此時OC桿的角速度和角加速度。,4、 加速度合成,向 方向投影：,只要牽連運動為轉動，必須進行速度分析,練習4: 偏心輪以勻角速度轉動，并推動AB桿運動。O、A、B連線鉛直。偏心距OC= r，半徑為 。圖示時刻OC垂直

14、于CA,試求此時桿的速度與加速度,解：,2. 速度合成,3. 加速度合成,向x軸上投影：,其中：,解得：,討論題:圖示平板凸輪機構中，已知凸輪半徑為r，偏心距為e，以勻角速度轉動，試求圖示瞬時平板的速度和加速度。,討論：,1. 動點和動系如何選擇？,若選輪緣上一點M為動點，平板為動系，則動點的相對軌跡為一曲率未知的橢圓；,若選平板上一點M為動點，凸輪為動系，則動點的相對軌跡為一未知平面曲線；,若選凸輪的圓心C為動點，平板為動系，則動點的相對軌跡為水平線。,討論題:圖示平板凸輪機構中，已知凸輪半徑為r，偏心距為e，以勻角速度轉動，試求圖示瞬時平板的速度和加速度。,討論：,1. 動點和動系如何選擇？,選凸輪的圓心C為動點，平板為動系，則動點的相對軌跡為水平線。,2、運動分析,絕對運動：圓周運動，半徑e,相對運動：直線運動,牽連運動：平動,討論題:圖示平板凸輪機構中，已知凸輪半徑為r，偏心距為e，以勻角速度轉動，試求圖示瞬時平板的速度和加速度。,3. 速度合成,4. 加速度合成,ve即為平板速度,牽連運動為平動,