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1、第10 章因次分析與模型試驗(yàn),對(duì)于復(fù)雜的實(shí)際工程問(wèn)題，直接應(yīng)用 基本方程求解，在數(shù)學(xué)上極其困難，因此 需有賴(lài)于實(shí)驗(yàn)研究來(lái)解決。本章主要闡述 有關(guān)實(shí)驗(yàn)研究的基本理論和方法，包括流 動(dòng)相似原理，相似準(zhǔn)則，量綱和諧原理及 量綱分析方法等。,第一節(jié) 因次(量綱)分析,一、量綱和單位 單位（unit）：量度各種物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)量，稱(chēng)單位。如長(zhǎng)度單位 為m或cm等?！傲俊钡谋碚?。 量綱（dimension）：是指撇開(kāi)單位的大小后，表征物理量的性質(zhì)和類(lèi)別。 如長(zhǎng)度量綱為L(zhǎng)。 “質(zhì)”的表征。 基本量綱（fundamental dimension）：具有獨(dú)立性的不 能由其他量 量綱 綱推導(dǎo)出來(lái)的量綱

2、叫做基本量綱。一般取長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量，即L-M-T 誘導(dǎo)量綱（derived dimension）:是指由基本量綱導(dǎo)出的量綱。 量綱公式: 幾何學(xué)量綱：0,=0,=0， 分類(lèi) 運(yùn)動(dòng)學(xué)量綱：0，0，=0 動(dòng)力學(xué)量綱：0，0，0 無(wú)量綱數(shù)（純數(shù)，如相似準(zhǔn)數(shù)）：=0,=0,=0，即x=1。 特點(diǎn)：（1）無(wú)量綱單位，它的大小與所選單位無(wú)關(guān)； （2）具有客觀(guān)性； （3）在超越函數(shù)（對(duì)數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)）運(yùn)算中，均應(yīng)用無(wú)量綱數(shù).,二、量綱和諧原理 量綱和諧原理（theory of dimensionalhomogeneity） ： 凡是正確反映客觀(guān)規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)的量綱必須是一致

3、的，即只有方程兩邊量綱相同，方程才能成立。這稱(chēng)為量綱和諧原理。 量綱和諧原理的重要性： a.一個(gè)方程在量綱上應(yīng)是和諧的，所以可用來(lái)檢驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)公式的 正確性和完整性。 b.量綱和諧原理可用來(lái)確定公式中物理量的指數(shù)。 c.可用來(lái)建立物理方程式的結(jié)構(gòu)形式。,物理過(guò)程的有量綱表達(dá)形式為 ，其中 m 個(gè)物理量的量綱被選為基本量綱，余下 n-m 個(gè)物理量可各自與這m 個(gè)物理量組合成無(wú)量綱量 ，定理的結(jié)論是：物理過(guò)程的無(wú)量綱表達(dá)形式為,1. 定理,物理過(guò)程涉及 n 個(gè)物理量，其中有 m 個(gè)物理量的量綱是互相獨(dú)立的，選這些量綱為基本量綱，可組成 n-m 個(gè)無(wú)量綱量，物理過(guò)程則可由這 n-m 個(gè)無(wú)量綱

4、量的關(guān)系式描述。否則就違反了量綱和諧原理。,,例,初速為零的自由落體運(yùn)動(dòng)位移 s,s g , t,g , t 選為基本量綱,三個(gè)量只能組成一個(gè)無(wú)量綱量 s/gt2,初速為零的自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律 s/gt2 =C,做一次實(shí)驗(yàn)測(cè)得 C = 1/2 ，就不用再做類(lèi)似實(shí)驗(yàn)，包括在月球上做實(shí)驗(yàn)。,定理的解題步驟： （1）確定關(guān)系式：根據(jù)對(duì)所研究的現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，確定影響這個(gè) 現(xiàn)象的各個(gè)物理量及其關(guān)系式: （2）確定基本量：從n個(gè)物理量中選取所包含的m個(gè)基本物理量 作為基 本量綱的代表，一般取m=3。在管流中，一般選d，v，三 個(gè)作基本變量，而在明渠流中，則常選用H，v，。 （3）確定數(shù)的個(gè)數(shù)N（）=（n-m）

5、，并寫(xiě)出其余物理量與基本物理量組成的表達(dá)式 （4）確定無(wú)量綱參數(shù)：由量綱和諧原理解聯(lián)立指數(shù)方程，求出各項(xiàng)的指數(shù)x，y，z，從而定出各無(wú)量綱參數(shù). （5）寫(xiě)出描述現(xiàn)象的關(guān)系式 或顯解一個(gè)參數(shù)，如： 或求得一個(gè)因變量的表達(dá)式,選擇基本量時(shí)的注意原則： 1）基本變量與基本量綱相對(duì)應(yīng)。即若基本量綱（M，L，T）為 三個(gè)，那么基本變量也選擇三個(gè)；倘若基本量綱只出現(xiàn)兩個(gè)，則基 本變量同樣只須選擇兩個(gè)。 2）選擇基本變量時(shí)，應(yīng)選擇重要的變量。換句話(huà)說(shuō)，不要選擇 次要的變量作為基本變量，否則次要的變量在大多數(shù)項(xiàng)中出現(xiàn)，往 往使問(wèn)題復(fù)雜化，甚至要重新求解。 3）不能有任何兩個(gè)基本變量的因次是完全一樣的，換言

6、之，基 本變量應(yīng)在每組量綱中只能選擇一個(gè)。,2.雷利法 雷利法是量綱和諧原理的直接應(yīng)用， 雷利法的計(jì)算步驟： 1. 確定與所研究的物理現(xiàn)象有關(guān)的n 個(gè)物理量； 2. 寫(xiě)出各物理量之間的指數(shù)乘積的形式，如：FD=kDxUyza 3. 根據(jù)量綱和諧原理，即等式兩端的量綱應(yīng)該相同，確定物理量的指數(shù)x,y,z,a ，代入指數(shù)方程式即得各物理量之間的關(guān)系式。 應(yīng)用范圍：一般情況下，要求相關(guān)變量未知數(shù)n小于等于45個(gè).,第二節(jié) 相似的基本概念,原型：天然水流和實(shí)際建筑物稱(chēng)為原型。 模型：通常把原型（實(shí)物）按一定比例關(guān)系縮小（或放大） 的代表物，稱(chēng)為模型。 水力學(xué)模型試驗(yàn)：是依據(jù)相似原理把水工建筑物或其

7、它建筑 物的原型按一定比例縮小制成模型，模擬與天然情況相似的水流 進(jìn)行觀(guān)測(cè)和分析研究，然后將模型試驗(yàn)的成果換算和應(yīng)用到原型 中，分析判斷原型的情況。 水力學(xué)模型試驗(yàn)的目的：利用模型水流來(lái)模擬和研究原型水 流問(wèn)題。 關(guān)鍵問(wèn)題：模型水流和原型水流保持流動(dòng)相似。 流動(dòng)相似：兩個(gè)流動(dòng)的相應(yīng)點(diǎn)上的同名物理量（如速度、壓 強(qiáng)、各種作用力等）具有各自的固定比例關(guān)系，則這兩個(gè)流動(dòng)就 是相似的。,模型和原型保證流動(dòng)相似，應(yīng)滿(mǎn)足： 幾何相似 運(yùn)動(dòng)相似 動(dòng)力相似 初始條件和邊界條件相似 1.幾何相似 幾何相似：指原型和模型兩個(gè)流場(chǎng)的幾何形狀相似，即原型和 模型及其流動(dòng)所有相應(yīng)的線(xiàn)性變量的比值均相等。 長(zhǎng)度

8、比尺： （6-1） 面積比尺： （6-2） 體積比尺： （6-3）,2.運(yùn)動(dòng)相似 運(yùn)動(dòng)相似：是指流體運(yùn)動(dòng)的速度場(chǎng)相似，也即兩流場(chǎng)各相 應(yīng)點(diǎn)（包括邊界上各點(diǎn)）的速度u及加速度a方向相同，且大小 各具有同一比值。 速度比尺： （6-4） 加速度比尺： （6-5） 3.動(dòng)力相似 動(dòng)力相似：是指兩流動(dòng)各相應(yīng)點(diǎn)上流體質(zhì)點(diǎn)所受的同名力 方向相同，其大小比值相等。 力的比尺： （6-6）,4.初始條件和邊界條件的相似 初始條件：適用于非恒

9、定流。 邊界條件：有幾何、運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力三個(gè)方面的因素。 如固體邊界上的法線(xiàn)流速為零，自由液面上的壓強(qiáng)為 大氣壓強(qiáng)等。 流動(dòng)相似的含義： 幾何相似是運(yùn)動(dòng)相似和動(dòng)力相似的前提與依據(jù)； 動(dòng)力相似是決定二個(gè)液流運(yùn)動(dòng)相似的主導(dǎo)因素； 運(yùn)動(dòng)相似是幾何相似和動(dòng)力相似的表現(xiàn)； 凡流動(dòng)相似的流動(dòng)，必是幾何相似、運(yùn)動(dòng)相似和 動(dòng)力相似的流動(dòng)。,第三節(jié) 相似準(zhǔn)則,動(dòng)力相似準(zhǔn)則：在兩相似的流動(dòng)中，各種力之間保持固定 不變的比例關(guān)系。 流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變是慣性力和其他各種作用力相互作用 的結(jié)果。因此，各種作用力之間的比例關(guān)系應(yīng)以慣性力為一方 來(lái)相互比較。 則 根據(jù)動(dòng)力相似有F= I,即

10、 （6-7） 若稱(chēng) 牛頓數(shù)，即 （6-8） 所以?xún)蓚€(gè)相似流動(dòng)的牛頓數(shù)應(yīng)相等，這是流動(dòng)相似 的重要標(biāo)志和準(zhǔn)則，稱(chēng)為牛頓數(shù)相似準(zhǔn)則。 完全的動(dòng)力相似，要求慣性力與其他力比值都相等， 但實(shí)際上不可能達(dá)到，所以常選一個(gè)對(duì)流動(dòng)起決定作 用的力給予滿(mǎn)足。,1.雷諾（粘滯力）準(zhǔn)則 （6-9） 式中： L為流場(chǎng)中的特征線(xiàn)性長(zhǎng)度。 Re雷諾數(shù) 當(dāng)粘滯力起主要作用時(shí)，動(dòng)力相似有： （6-10） 適用范圍：主要受水流阻力即粘滯力作用的流體流動(dòng)，凡是有 壓流動(dòng)，重力不影響流速分布，主要受粘滯力的作用，這類(lèi)液流相 似要求雷諾數(shù)相似。

11、另外，處于水下較深的運(yùn)動(dòng)潛體，在不至于使 水面產(chǎn)生波浪的情況下，也是以雷諾數(shù)相等保證液流動(dòng)力相似。如 層流狀態(tài)下的管道、隧洞中的有壓流動(dòng)和潛體繞流問(wèn)題等。,2.弗汝德（重力）準(zhǔn)則 （6-11） 一般取 （6-12） 當(dāng)重力起主要作用時(shí)，動(dòng)力相似有： （6-13） 適用范圍：凡有自由水面并且允許水面上下自由變的 各種流動(dòng)（重力起主要作用的流動(dòng)），如堰壩溢流、孔口 出流、明槽流動(dòng)、紊流阻力平方區(qū)的有壓管流與隧洞流動(dòng) 等。,.歐拉準(zhǔn)則 流體流動(dòng)以動(dòng)水總壓力為主要作用力的情況： （6-14） 當(dāng)壓力起主要作用時(shí)，動(dòng)力相似有：,一般，

12、兩液流的雷諾數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等；兩液流的弗勞德數(shù)相等，歐拉數(shù)也相等。只有出現(xiàn)負(fù)壓或存在氣蝕情況的液體，才需考慮歐拉數(shù)相等來(lái)保證液流相似。 4.韋伯準(zhǔn)則 表面張力為主導(dǎo)作用力時(shí)的相似準(zhǔn)則： （6-16） 當(dāng)表面張力起主要作用時(shí)，動(dòng)力相似有： （6-17）,（6-15）,5.馬赫數(shù) 彈性力為主導(dǎo)作用力時(shí)的相似準(zhǔn)則（例水擊現(xiàn)象）： 柯西數(shù) （6-18） 令 式中： 流體聲速 彈性模量,,當(dāng)彈性力起主要作用時(shí)，如水擊，空氣動(dòng)力學(xué)中的亞音速或超音速運(yùn)動(dòng)等，動(dòng)力相似有： （6-20） 6.

13、斯特哈羅數(shù)（時(shí)間準(zhǔn)則） 斯特哈羅數(shù)：非恒定流體流動(dòng)中，當(dāng)?shù)丶铀俣?，這個(gè) 加速度所產(chǎn)生的慣性作用與遷移加速度的慣性作用之比。 （6-21） f振動(dòng)頻率 對(duì)非恒定流，表明有變力作用，動(dòng)力相似有： （6-22）,相似準(zhǔn)則：,重力相似準(zhǔn)則：保證兩現(xiàn)象的弗勞德數(shù)相等,壓差力相似，即歐拉數(shù)相等往往是兩現(xiàn)象動(dòng)力相似的結(jié)果,粘性相似準(zhǔn)則：保證兩現(xiàn)象的雷諾數(shù)相等,本章小結(jié),1.兩液流流動(dòng)相似必須滿(mǎn)足： （1）幾何相似原形和模型兩個(gè)流場(chǎng)的幾何形狀相似； （2）運(yùn)動(dòng)相似原形和模型兩個(gè)流場(chǎng)的速度場(chǎng)相似； （3）動(dòng)力相似原形和模型兩個(gè)流場(chǎng)中各相應(yīng)質(zhì)點(diǎn) 所受的

14、同名方向相同，大小成一固定比例； （4）初始條件和邊界條件相似； 2.相似準(zhǔn)則：Re相似準(zhǔn)則、 Fr相似準(zhǔn)則、 Eu相似準(zhǔn)則,原型和模型中采用同一種流體時(shí)，不能同時(shí)滿(mǎn)足重力 相似和粘滯力相似；所以只要相應(yīng)點(diǎn)的粘滯力或重力相似 壓強(qiáng)會(huì)自行相似。 3. 基本量綱具有獨(dú)立性的，不能由其他量綱推 導(dǎo)出來(lái)的量綱。一般取L-M-T。 誘導(dǎo)量綱由基本量綱導(dǎo)出的量綱。X=L，T， M。 4.量綱和諧原理凡是正確反映客觀(guān)物理方程，其各項(xiàng)的量綱都必須是一致的，即只是方程兩邊量綱相同，方程才能成立。 5.量綱分析兩種方法 雷利法直接應(yīng)用量綱和諧原理來(lái)求解，適用于較簡(jiǎn)單問(wèn)題。 定理具有普遍性的方法。關(guān)鍵在于正確選擇基本量。,