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1、勻速圓周運(yùn)動(dòng) 呂叔湘中學(xué) 龐留根,,,一.描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量v、、T、 f、 n、 a向 v= r T=2/ T=1/f = 2n a向= v2 / r = r2 = r 42/T2,二勻速圓周運(yùn)動(dòng)：物體在圓周上運(yùn)動(dòng)；任意相等的時(shí) 間內(nèi)通過的圓弧長度相等。,三.勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力：F = m a向= mv2 / r,四. 做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，受到的合外力的方向一 定沿半徑指向圓心(向心力)，大小一定等于mv2 / r .,五. 做變速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，受到的合外力沿半徑指 向圓心方向的分力提供向心力，大小等于mv2 / r ； 沿切線方向的分力產(chǎn)生切向加速度,改變物體的速度

2、 的大小。,例1、如圖所示，兩個(gè)輪通過皮帶傳動(dòng)，設(shè)皮帶與輪之間不打滑，A為半徑為R的O1輪緣上一點(diǎn)，B、C為半徑為2R的O2輪緣和輪上的點(diǎn)，O2C=2R/3，當(dāng)皮帶輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，A、B、C三點(diǎn)的角度之比 A：B：C = ; A、B、C三點(diǎn)的線速度之比v A ：vB：vC = ; 及三點(diǎn)的向心加速度之比aA：aB：aC= .,注意：皮帶傳動(dòng)的兩個(gè)輪子邊緣上各點(diǎn)的線速度相等；同一個(gè)輪子上各點(diǎn)的角速度相等。,2：1：1,3：3：1,6：3：2,例2下列關(guān)于向心加速度的說法中，正確的是（ ） A向心加速度的方向始終與速度的方向垂直 B向心加速度的方向可能與速度方向不垂直

3、 C向心加速度的方向保持不變 D向心加速度的方向與速度的方向平行,A,例3用細(xì)線拴著一個(gè)小球，在光滑水平面上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有下列說法,其中正確的是 （ ） A小球線速度大小一定時(shí)，線越長越容易斷 B小球線速度大小一定時(shí)，線越短越容易斷 C小球角速度一定時(shí)，線越長越容易斷 D小球角速度一定時(shí)，線越短越容易斷,B C,例4、人造衛(wèi)星的天線偶然折斷，那么 ( ) (A)天線將作自由落體運(yùn)動(dòng)，落向地球； (B)天線將作平拋運(yùn)動(dòng)，落向地球； (C)天線將沿軌道切線方向飛出，遠(yuǎn)離地球； (D)天線將繼續(xù)和衛(wèi)星一起沿軌道運(yùn)轉(zhuǎn)。,D,例5、如圖所示，直徑為d的紙制圓筒，正以角速度繞軸O勻速轉(zhuǎn)

4、動(dòng)，現(xiàn)使槍口對準(zhǔn)圓筒，使子彈沿直徑穿過，若子彈在圓筒旋轉(zhuǎn)不到半周時(shí)在筒上留下a，b兩彈孔，已知aO與Ob夾角為，則子彈的速度為 .,解： t=d/v= (-）/ ,v=d/ (-）,d/ (-）,例6、如圖所示, 在半徑為R的水平圓盤的正上方高h(yuǎn)處水平拋出一個(gè)小球, 圓盤做勻速轉(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)圓盤半徑OB轉(zhuǎn)到與小球水平初速度v0方向平行時(shí),小球開始拋出, 要使小球只與圓盤碰撞一次, 且落點(diǎn)為B, 求小球的初速度v0和圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度.,解：由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律 R=v0t h=1/2gt2,,,t =2n/ ,,（n= 1、2、3、4、）,例7. 圓桶底面半徑為R，在頂部有個(gè)入口A，在A的

5、正下方h處有個(gè)出口B，在A處沿切線方向有一個(gè)斜槽，一個(gè)小球恰能沿水平方向進(jìn)入入口A后，沿光滑桶壁運(yùn)動(dòng)，要使小球由出口B飛出桶外，則小球進(jìn)入A時(shí)速度v必須滿足什么條件？,解：,小球的運(yùn)動(dòng)由兩種運(yùn)動(dòng)合成：a. 水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)；b. 豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng),自由落體運(yùn)動(dòng) h=1/2 gt2,,圓周運(yùn)動(dòng)的周期設(shè)為T，T=2R/v,當(dāng)t=nT時(shí)，小球可由出口B飛出桶外,,（n= 1、2、3、4、）,例8、如圖所示，光滑的水平圓盤中心有一小孔，用細(xì)繩穿過小孔，兩端分別系有A、B物體，定滑輪的摩擦不計(jì)，物體A隨光滑圓盤一起勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，懸掛B的細(xì)線恰與圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)軸OO重合，下列說法中正確的是（

6、） （A）使物體A的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑變大一些，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中半徑會自動(dòng)恢復(fù)原長 （B）使物體A的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑變大一些，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中半徑會越來越大 （C）使物體A的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑變小一些，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中半徑會隨時(shí)穩(wěn)定 （D）以上說法都不正確,B,例9如圖所示，一根輕彈簧和一根細(xì)繩拴住一重2N的小球，平衡時(shí)細(xì)繩恰好水平，若突然燒斷細(xì)繩，小球運(yùn)動(dòng)到懸點(diǎn)正下方時(shí)彈簧長度恰好等于燒斷細(xì)繩時(shí)的長度，則線燒斷瞬間彈簧的拉力大小為 N.,解：線燒斷前，小球受力如圖示：,由平衡條件得 mg= Tcos (1),線燒斷后運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，小球受力如圖示：,由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律得 T-mg= mv2 / l (2),由機(jī)械能守恒定律得

7、 mgl(1-cos)= 1/2mv2 (3),聯(lián)列解(1) (2) (3)式得 cos= 1/2,代入(1)式 得 T=4N,4,一小球用輕繩懸掛在某固定點(diǎn)，現(xiàn)將輕繩水平拉直，然后由靜止開始釋放小球考慮小球由靜止開始運(yùn)動(dòng)到最低位置的過程 ( ) A小球在水平方向的速度逐漸增大 B小球在豎直方向的速度逐漸增大 C到達(dá)最低位置時(shí)小球線速度最大 D到達(dá)最低位置時(shí)繩子的拉力等于小球重力,2000年上海,分析小球釋放后水平方向受力為繩拉力的水平分力，該力與水平分速度同方向，因此在水平方向上速度逐漸增大， A正確.,在初始位置豎直速度為0，最低位置豎直速度也為0，在豎直方向上小球顯然先

8、加速運(yùn)動(dòng)，后減速運(yùn)動(dòng)，B 錯(cuò)誤,線速度即小球運(yùn)動(dòng)的合速度，小球位置越低，勢能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能就越多，速度也就越大，C正確.,小球在最低位置時(shí)速度為水平速度，由于小球做圓周運(yùn)動(dòng) ，繩拉力與球重力的合力提供向心力，即 D錯(cuò)誤,,A C,重力、繩的拉力,,,重力、桿的拉力或支持力,,,重力、外管壁的支持力或內(nèi)管壁的支持力,,,豎直平面內(nèi)的變速圓周運(yùn)動(dòng),例10長度為0.5m的輕質(zhì)細(xì)桿，A端有一質(zhì)量為3kg的小球，以O(shè)點(diǎn)為圓心，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，小球通過最高點(diǎn)時(shí)的速度為2m/s，取g=10m/s2，則此時(shí)輕桿OA將（ ） A受到6.0N的拉力 B受到6.0N的壓力 C受到24N的拉力D受到5

9、4N的拉力,解：設(shè)球受到桿向上的支持力N， 受力如圖示：,則 mg-N=mv2 /l,得 N=6.0N,由牛頓第三定律，此時(shí)輕桿OA將受到球?qū)U向下的壓力，大小為6.0N.,B,練習(xí)1桿長為L，球的質(zhì)量為m，桿連球在豎直平面內(nèi)繞軸O自由轉(zhuǎn)動(dòng)，已知在最高點(diǎn)處，桿對球的彈力大小為F=1/2mg，求這時(shí)小球的即時(shí)速度大小。,解：小球所需向心力向下，本題中 F=1/2mgmg， 所以彈力的方向可能向上，也可能向下。,若F 向上，則,,,若F 向下，則,,,練習(xí)2用鋼管做成半徑為R=0.5m的光滑圓環(huán)（管徑遠(yuǎn)小于R）豎直放置，一小球（可看作質(zhì)點(diǎn)，直徑略小于管徑）質(zhì)量為m=0.2kg在環(huán)內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求

10、:小球通過最高點(diǎn)A時(shí)，下列兩種情況下球?qū)鼙诘淖饔昧? 取g=10m/s2 (1) A的速率為1.0m/s (2) A的速率為4.0m/s,解：,先求出桿的彈力為0 的速率v0,mg=mv02/l,v02=gl=5,v0=2.25 m/s,(1) v1=1m/s< v0 球應(yīng)受到內(nèi)壁向上的支持力N1，受力如圖示：,mg-N1=mv12 /l,得 N1=1.6 N,(2) v2=4m/s v0 球應(yīng)受到外壁向下的支持力N2如圖示：,則 mg+N2=mv22 /l,得 N2=4.4 N,由牛頓第三定律，球?qū)鼙诘淖饔昧Ψ謩e 為 (1) 對內(nèi)壁1.6N向下的壓力 (2)對外壁4.4N向上的

11、壓力.,例11.如圖所示，在質(zhì)量為M的物體內(nèi)有光滑的圓形軌道，有一質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)沿圓軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，A與C兩點(diǎn)分別道的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，B、D兩點(diǎn)與圓心O在同一水平面上。在小球運(yùn)動(dòng)過程中，物體M靜止于地面，則關(guān)于物體M對地面的壓力N和地面對物體M的摩擦力方向，下列正確的說法是 ( ) A.小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，NMg，摩擦力方向向左 B.小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，N=Mg，摩擦力方向向右 C.小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，N=(M+m)g，地面對M無摩擦 D.小球運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)，N=(M+m)g，摩擦力方向向右,點(diǎn)撥：畫出各點(diǎn)的受力圖如圖示：,B,例12、如圖，細(xì)繩一端系著質(zhì)量M=0.6千克的物體，靜止在

12、水平面，另一端通過光滑小孔吊著質(zhì)量m=0.3千克的物體，M的中點(diǎn)與圓孔距離為0.2米，并知M和水平面的最大靜摩擦力為2牛，現(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，問角速度在什么范圍m會處于靜止?fàn)顟B(tài)？(g取10米/秒2),解：設(shè)物體M和水平面保持相對靜止。,當(dāng)具有最小值時(shí)，M有向圓心運(yùn)動(dòng)趨勢，故水平面對M的摩擦力方向和指向圓心方向相反，且等于最大靜摩擦力2牛。,隔離M有：Tfm=M12r,0.3102=0.6120.2,1 =2.9(弧度/秒),當(dāng)具有最大值時(shí)，M有離開圓心趨勢，水平面對M摩擦力方向指向圓心，大小也為2牛。,隔離M有：Tfm=M22r,0.3102=0.6220.2,2=6.5(弧度/秒),故

13、范圍是：2.9弧度/秒 6.5弧度/秒。,例13、A、B 兩球質(zhì)量分別為m1與m2，用一勁度系數(shù)為k的彈簧相連，一長為l1 的細(xì)線與A相連，置于水平光滑桌面上，細(xì)線的另一端拴在豎直軸OO上，如圖所示，當(dāng)m1與m2均以角速度繞OO 做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧長度為l2。 求：（1）此時(shí)彈簧伸長量多大？繩子張力多大？ （2）將線突然燒斷瞬間兩球加速度各多大？,解：（1）B球只受彈簧彈力，設(shè)彈簧伸長l ，滿足,f=kl=m2 2(l 1 l 2),彈簧伸長量 l =m2 2(l 1 l 2) / k,對A球，受繩拉力T和彈簧彈力f 做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，,滿足：Tf=m1 2 l 1,繩子拉力T=m1 2 l

14、 1m2 2(l 1 l 2),（2）線燒斷瞬間A球加速度,a1=f/m1=m2 2(l 1 l 2)/m1,B球加速度,a2=f/m2= 2(l 1 l 2),例14小球在半徑為R的光滑半球內(nèi)做水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試分析圖中的（小球與半球球心連線跟豎直方向的夾角）與線速度v 、周期T 的關(guān)系。（小球的半徑遠(yuǎn)小于R）,解：,小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心在和小球等高的水平面上（不在 半球的球心），向心力F 是重力G 和支持力N 的合力， 所以重力和支持力的合力方向必然水平。如圖所示：,由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有：,,由此可得：,,,（式中h 為小球軌道平面到球心的高度）,可見，越大,即h越小, v 越

15、大,T 越小。,本題的分析方法和結(jié)論同樣適用于圓錐擺、火車轉(zhuǎn)彎、 飛機(jī)在水平面內(nèi)做勻速圓周飛行等在水平面內(nèi)的勻速圓周 運(yùn)動(dòng)的問題。共同點(diǎn)是由重力和彈力的合力提供向心力， 向心力方向水平。,例15 長為2L的輕桿AB兩端各固定有質(zhì)量為m1和m2的小球，且m1m2 ，過桿的中點(diǎn)O處有光滑的水平轉(zhuǎn)動(dòng)軸。桿可繞軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)桿到達(dá)豎直位置時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為, A球正好位于上端,B球位于下端,則沿豎直方向,桿作用于固定軸的力的方向一定向上的條件是什么?,解：,由牛頓第三定律, 桿作用于固定軸的力的方向向上, 則桿受到軸的作用力N一定向下, 如圖示: 對桿由平衡條件, 桿受到A球的作用力一定大于B

16、球?qū)U的作用力, F1 F2,對A 球: F1 +m1 g = m12 L ,對B 球: F2 - m2 g = m22 L ,F1 = m12 L- m1 g,F2 = m22 L+ m2 g,F1 - F2 0, 2 L (m1 +m2 )g (m1 -m2 ),練習(xí)4長L的輕桿兩端分別固定有質(zhì)量為m的小鐵球，桿的三等分點(diǎn)O處有光滑的水平轉(zhuǎn)動(dòng)軸。用手將該裝置固定在桿恰好水平的位置，然后由靜止釋放，當(dāng)桿到達(dá)豎直位置時(shí)，求軸對桿的作用力F的大小和方向。,解：根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒可求出小球1在最高點(diǎn)的速度v ：,0=mg1/3L-mg2/3L+1/2mv2+1/2m(2v)2，,在豎直位置對系

17、統(tǒng)用牛頓第二定律，以向下為正方向，設(shè)軸對系統(tǒng)的作用力F 向上，,,得到 F = 2.4mg,例16、如圖示，支架質(zhì)量為M、始終靜止在水平地面上，轉(zhuǎn)軸O處用長為l 的線懸掛一個(gè)質(zhì)量為m 的小球， （1）把線拉至水平后靜止釋放小球，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低處時(shí)，水平面對支架的支持力N為多大？ （2）若使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，對小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)處時(shí)，支架恰好對水平地面無壓力，則小球在最高點(diǎn)處的速度v 為多大？,解：,（1）對小球，由機(jī)械能守恒定律1/2mv12=mgl,最低點(diǎn)處：T-mg = mv12 / l,T =3mg,對支架受力如圖示 N=Mg+T=(M+3m)g,（2）小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)處時(shí)，支

18、架恰好對水平地面無壓力,則支架受到球向上的拉力 T1=Mg,對小球: T1+mg=mv2 /l,,練習(xí)5、如圖示，質(zhì)量為M的電動(dòng)機(jī)始終靜止于地面，其飛輪上固定一質(zhì)量為m的物體，物體距輪軸為r，為使電動(dòng)機(jī)不至于離開地面，其飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)如何？,解：當(dāng)小物體轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)時(shí)，,對底座,受到重力Mg和物體對底座的拉力T,為使電動(dòng)機(jī)不至于離開地面，必須 TMg,對物體,受到重力mg和底座對物體的拉力T,由圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律有 mg+T = m r2,即 m r2(M+m)g,,解：車受重力mg及路面的彈力FN作用這兩個(gè)力的合力F水平 并指向圓周彎道的圓心，充當(dāng)向心力，由圖可知Fmgtan，,依據(jù)牛頓第二定律有,,B,2000年江西省、山西省、天津市,練習(xí)3、如圖所示，將一根光滑的細(xì)金屬棒折成V形，頂角為2，其對稱軸豎直，在其中一邊套上一個(gè)金屬環(huán)P。當(dāng)兩棒繞其對稱軸以每秒n 轉(zhuǎn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小環(huán)離軸的距離為（ ）,解：分析小環(huán)的受力如圖示：,F=mg ctg =m 2r,=2n,,A,