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1、 第四章空間力系本章將研究空間力系的簡化和平衡條件。工程中常見物體所受各力的作用線并不都在同一平面內(nèi)，而是空司分布的，例如車床主軸、起重設(shè)備、高壓輸電線塔和飛機的起落架等結(jié)構(gòu)。設(shè)計這些結(jié)構(gòu)時，需用空間力系的平衡條件進行計算。與平面力系一樣，空間力系可以分為空間匯交力系、空司力偶系和空間任意力系來研究。4-1 空間匯交力系1.力在直角坐標軸上的投影和力沿直角坐標軸的分解若已知力F與正交坐標系Oxyz三軸間的夾角分別為 、，如圖4-1所示，則力在三個軸上的投影等于力F的大小乘以與各軸夾角的余弦，即X=cosY=cos(4-1)Z=cos當力與坐標軸Ox、Oy間的夾角不易確定時，可把力先投影到坐標平

2、面Oxy上，得到力，然后再把這個力投影到x、y軸上。在圖4-2中，已知角和，則力在三個坐標軸上的投影分別為X=sincosY=sinsin(4-2)Z=cos若以、表示力F沿直角坐標軸x、y、z的正交分量，以i、j、k分別表示沿x、y、z坐標軸方向的單位矢量，如圖4-3所示，則圖4-2=+=Xi+Yj+Zk(4-3)由此，力在坐標軸上的投影和力沿坐標軸的正交分矢量間的關(guān)系可表示為:=Xi，=Yj，=Zk(4-4)如果己知力F在正交軸系Oxyz的三個投影，則力F的大小和方向余弦為=cos(,i)=cos(,j)=(4-5)cos(,k)=例4-1圖4-4所示的圓柱斜齒輪，其上受嚙合力的作用。已知

3、斜齒輪的齒傾角(螺旋角) 和壓力角，試求力沿x、y和z軸的分力。解:先將力向z軸和Oxy平面投影，得Z=-sin=cos再將力向x、y軸投影，得X=-sin=-cossinY=-cos=-coscos則沿各軸的分力為=-cossini，=-coscosj，=-sink式中i、j、k為沿x、y、z軸的單位矢量，負號表明各分力與軸的正向相反。稱為軸向力，稱為圓周力，稱為徑向力。例4-2己知力沿直角坐標軸的解析式為=3i+4-5k(kN)試求這個力的大小和方向，并作圖表示。解:將上式與式(4-3)比較，可得X=3,Y=4,Z=-5根據(jù)式(4-5)求得=5cos(,i)=0.4243cos(,j)=0

4、.5657cos(,k)=-0.7071則角度為（,i）=64.9(,j)=55.55(，k)=180-45=135如圖4-5所示。2空間匯交力系的合力與平衡條件將平面匯交力系的合成法則擴展到空間，可得:空間匯交力系力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點。合力矢為=+=(4-6)由式(4-3)可得=i+j+k (4-7)其中、為合沿x、y、z軸投影。由此可得合力的大小和方向余弦為=cos(,i)=cos(,j)=(4-8)cos(,k)=例4-3在剛體上作用有四個匯交力，它們在坐標軸上的投影如下表所示，試求這四個力的合力的大小和方向。單位X1202kNY1015-510kNZ341-2k

5、N解:由上表得=l+2+0+2=5kN=10+15-5+10=30kN=3+4+1-2=6kN代人式(4-5)得合力的大小和方向余弦為=31kNcos(,i)=,cos(,j)=,cos(,k)=由此得夾角(,i)=8043,(,j)=1436,(,k)=7850由于一般空間匯交力系合成為一個合力，因此，空間匯交力系平衡的必要和充分條件為：該力系的合力等于零，即=0(4-9)由式(4-8)可知，為使合力為零，必須同時滿足:=0=0(4-10)=0于是可得結(jié)論，空間匯交力系平衡的必要和充分條件為:該力系中所有各力在三個坐標軸上的投影的代數(shù)和分別等于零。式(4-10)稱為空間匯交力系的平衡方程。應

6、用解析法求解空間匯交力系的平衡問題的步驟，與平面匯交力系問題相同，只不過需列出三個平衡方程，可求解三個未知量。例4-4如圖4-6a所示，用起重桿吊起重物。起重桿的A端用球鉸鏈固定在地面上，而B端則用繩CB和DB拉住，兩繩分別系在墻上的點C和D，連線CD平行于。軸。已知:CE=EB=DE，=30，CDB平面與水平面間的夾角EBF=30(參見圖4-6b)，物重P=l0kN。如起重桿的重量不計，試求起重桿所受的壓力和繩子的拉力。解:取起重桿AB與重物為研究對象，其上受有主動力P,B處受繩拉力與;球鉸鏈A的約束反力方向一般不能預先確定，可用三個正交分力表示。本題中，由于桿重不計，又只在A、B兩端受力，

7、所以起重桿AB為二力構(gòu)件，球鉸A對AB桿的反力必沿A、B連線。P，和四個力匯交于點B，為一空間匯交力系。取坐標軸如圖所示。由已知條件知: CBE=DBE=45，列平衡方程=O,sin45-sin45=0=O,sin30-cos45cos30-cos45cos30=0=0,cos45sin30+cos45sin30+oos30-P=0求解上面的三個平衡方程，得=3.54kN=8.66kN為正值，說明圖中所設(shè)的方向正確，桿AB受壓力。4-2力對點的矩和力對軸的矩1力對點的矩對于平面力系，用代數(shù)量表示力對點的矩足以概括它的全部要素。但是在空間的情況下，不僅要考慮力矩的大小、轉(zhuǎn)向，而且還要注意力與矩心

8、所組成的平面的方位。方位不同，即使力矩大小一樣，作用效果將完全不同。例如，作用在飛機尾部鉛垂舵和水平舵上的力，對飛機繞重心轉(zhuǎn)動的效果不同，前者能使飛機轉(zhuǎn)彎，而后者則能使飛機發(fā)生俯仰。因此，在研究空間力系時，必須引人力對點的矩這個概念;除了包括力矩的大小和轉(zhuǎn)向外，還應包括力的作用線與矩心所組成的平面的方位。這三個因素可以用一個矢量來表示:矢量的模等于力的大小與矩心到力作用線的垂直距離h(力臂)的乘積;矢量的方位和該力與矩心組成的平面的法線的方位相同;矢量的指向按以下方法確定:從這個矢量的末端來看，物體由該力所引起的轉(zhuǎn)動是逆時針轉(zhuǎn)向，如圖4-7所示。也可由右手螺旋規(guī)則來確定。力對點O的矩的矢量記作

9、。即力矩的大小為=h=2OAB式中OAB為三角形OAB的面積。由圖4-7易見，以r表示力作用點A的矢徑，則矢積r的模等于三角形OAB面積的兩倍，其方向與力矩矢一致。因此可得=r(4-11)上式為力對點的矩的矢積表達式，即:力對點的矩矢等于矩心到該力作用點的矢徑與該力的矢量積。若以矩心O為原點，作空間直角坐標系Oxyz如圖4-7所示，令i、j、k分別為坐標軸x、y、z方向的單位矢量。設(shè)力作用點A的坐標為A(x,y,z)，力在三個坐標軸上的投影分別為X、Y、Z，則矢徑r和力分別為=xiyjzk=Xi+Yj+Zk代人式(4-11)，并采用行列式形式，得=rF=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(z

10、Y-yX)k? (4-12)由于力矩矢量的大小和方向都與矩心O的位置有關(guān)，故力矩矢的始端必須在矩心，不可任意挪動，這種矢量稱為定位矢量。2力對軸的矩工程中，經(jīng)常遇到剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的情形，為了度量力對繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的作用效果，必須了解力對軸的矩的概念。如圖4-8a所示，門上作用一力，使其繞固定軸z轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)將力分解為平行于z軸的分力和垂直于z軸的分力(此力即為力在垂直于z軸的平面Oxy上的投影)。由經(jīng)驗可知，分力不能使靜止的門繞z軸轉(zhuǎn)動，故力從對z軸的矩為零;只有分力才能使靜止的門繞z軸轉(zhuǎn)動。現(xiàn)用符號表示力對z軸的矩，點O為平面Oxy與z軸的交點,h為點O到力作用線的距離。因此，力對，軸的矩就是分

11、力巧對點0的矩，即=h=2OAB(4-13)于是，可得力對軸的矩的定義如下:力對軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動效果的度量，是一個代數(shù)量，其絕對值等于該力在垂直于該軸的平面上的投影對于這個平面與該軸的交點的矩的大小。其正負號如下確定:從，軸正端來看，若力的這個投影使物體繞該軸按逆時針轉(zhuǎn)向技妥，則取正號，反之取負號。也可按右手螺旋規(guī)則確定其正負號，如圖4-8b所示，姆指指向與z軸一致為正，反之為負。力對軸的矩等于零的情形:(1)當力與軸相交時(此時h=0);(2)當力與軸平行時(此時=0)。這兩種情形可以合起來說:當力與軸在同一平面時，力對該軸的矩等于零。力對軸的矩的單位為Nm。力對軸的矩也可用解析式

12、表示。設(shè)力F在三個坐標軸上的投影分別為X、X、Z。力作用點A的坐標為x、y、z，如圖4-9所示。根據(jù)合力矩定理，得=+即=xY-yX同理可得其余二式。將此三式合寫為=yZ-zY=zX-xZ(4一14)=xY-yx以上三式是計算力對軸之矩的解析式。例4-5手柄ABCE在平面Axy內(nèi)，在D處作用一個力F,如圖4-10所示，它在垂直于y軸的平面內(nèi)，偏離鉛直線的角度為。如果CD=,桿BC平行于x軸，桿CE平行于y軸，AB和BC的長度都等于l。試求力對x、y和z三軸的矩。解:將力F沿坐標軸分解為和兩個分力，其中=Fsin,=Fcos。根據(jù)合力矩定理，力F對軸的矩等于分力和對同一軸的矩的代數(shù)和。注意到力與

13、軸平行或相交時的矩為零，于是有=-(AB+CD)=-F(l+a)cos=-BC=-Flcos=-(AB+CD)=-F(l+a)sin本題也可用力對軸之矩的解析表達式(4-14)計算。力F在x、y、z軸上的投影為X=Fsin,Y=0,Z=Fcos力作用點D的坐標為x=-l，y=l+a，z=0按式(4-14)，得?=yZ-zY=(l+a)(-Fcos)-0=-F(l+a)cos=zX-xZ=0-(-l)(-Fcos)=-Flcos=xY-yX=0-(l+a)(Fsin)=-F(l+a)sin兩種計算方法結(jié)果相同。3力對點的矩與力對通過該點的軸的矩的關(guān)系由矢量解析式(4-12)可知，單位矢量i、j、

14、k前面的三個系數(shù)，應分別表示力對點的矩矢在三個坐標軸上的投影，即=yZ-zY=zX-xz(4-15)=xY-yX比較式(4-15)與(4-14)，可得=(4-16)=上式說明:力對點的矩矢在通過該點的某軸上的投影，等于力對該軸的矩。上述結(jié)論也可指就由力矩的定義來證明。設(shè)有力F和任意定O,如圖4-11所示，作矢表示該力對點O的矩，他垂直于三角形OAB的平面，其大小為=2OAB過點O作任意軸z。將力投影到通過O點且垂直于z軸的平面Oxy上，根據(jù)式(4-13)，求得力對z軸的矩為=2Oab而Oab是OAB在平面Oxy上的投影。根據(jù)幾何學中的定理，AQ訪的面積等于八QAB的面積乘以這兩三角形所在平面之

15、間夾角的余弦。這兩平面的夾角等于這兩平面法線之間的夾角,也就是矢量與，軸之間的夾角(圖4-11)，故OABcos=Oab則cos=此式左端就是力矩矢在z軸上的投影，可用表示。于是上式可寫為=即式(4-16)的第三等式。同理可證得式(4-16)的另外兩個等式。式(4-16)建立了力對點的矩與力對軸的矩之間的關(guān)系。因為在理論分析時用力對點的矩矢較簡便，而在實際計算中常用力對軸的矩，所以建立它們二者之間的關(guān)系是很有必要的。如果力對通過點O的直角坐標軸x、y、z的矩是己知的，則可求得該力對點O的矩的大小和方向余弦為=cos=cos=cos= (4-17)式中、分別為矢與x、y、z軸間的夾角。4-3空間

16、力偶1.力偶矩以矢量表示，空間力偶等效條件由平面力偶理論知道，只要不改變力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向，力偶可以在它的作用面內(nèi)任意移轉(zhuǎn);只要保持力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不變，也可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，卻不改變力偶對剛體的作用。實踐經(jīng)驗還告訴我們，力偶的作用面也可以平移。例如用螺絲刀擰螺釘時，只要力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向保持不變，長螺絲刀或短螺絲刀的效果是一樣的。即力偶的作用面可以垂直于螺絲刀的軸線平行移動，而并不影響擰螺釘?shù)男Ч?。由此可知，空間力偶的作用面可以平行移動，而不改變力偶對剛體的作用效果。反之，如果兩個力偶的作用面不相互平行(即作用面的法線不相互平行)，即使它們的力偶矩大

17、小相等，這兩個力偶對物體的作用效果也不同。如圖4-12所示的三個力偶，分別作用在三個同樣的物塊上，力偶矩都等于2OONm。因為前兩個力偶的轉(zhuǎn)向相同，作用面又相互平行，因此這兩個力偶對物塊的作用效果相同(圖4-12a、b)。第三個力偶作用在平面II上(圖4-12c)，雖然力偶矩的大小相同，但是它與前兩個力偶對物塊的作用效果不同，前者使靜止物塊繞平行于x的軸轉(zhuǎn)動，而后者則使物塊繞平行于y的軸轉(zhuǎn)動。綜上所述，空間力偶對剛體的作用除了與力偶矩大小有關(guān)外，還與其作用面的方位及力偶的轉(zhuǎn)向有關(guān)。由此可知，空間力偶對剛體的作用效果決定于下列三個因素:(1)力偶矩的大小;(2)力偶作用面的方位;(3)力偶的轉(zhuǎn)向

18、?？臻g力偶的三個因素可以用一個矢量表示，矢的長度表示力偶矩的大小，矢的方位與力偶作用面的法線方位相同，矢的指向與力偶轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手螺旋規(guī)則。即如以力偶的轉(zhuǎn)向為右手螺旋的轉(zhuǎn)動方向，則螺旋前進的方向即為矢的指向(圖4-一13b);或從矢的末端看去，應看到力偶的轉(zhuǎn)向是逆時針轉(zhuǎn)向(圖4-13a)。這樣，這個矢就完全包括了上述三個因素，我們稱它為力偶矩矢，記作M由此可知，力偶對剛體的作用完全由力偶矩矢所決定。應該指出，由于力偶可以在同平面內(nèi)任意移轉(zhuǎn)，并可搬移到平行平面內(nèi)，而不改變它對剛體的作用效果，故力偶矩矢可以平行搬移，且不需要確定矢的初端位置。這樣的矢量稱為自由矢量。為進一步說明力偶矩矢為自由矢

19、量，顯示力偶的等效特性，可以證明:力偶對空間任一點O的矩都是相等的，都等于力偶矩。如圖4-13c所示，組成力偶的兩個力和對空間任一點O之矩的矢量和為=+=+式中與分別為由點O到二力作用點A，B的矢徑。因=-故上式可寫為=+=(-)=顯見，的大小等于d，方向與力偶(，)的力偶矩矢一致。由此可見，力偶對空間任一點的矩矢都等于力偶矩矢，與矩心位置無關(guān)。綜上所述，力偶的等效條件可敘述為:兩個力偶的力偶矩相等 ，則它們是等效的。2空間力偶系的合成與平衡條件可以證明，任意個空間分布的力偶可合成為一個合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即-=+=(4一18)證明:設(shè)有矩為和的兩個力偶分別作用在相交的

20、平面I和II內(nèi)，如圖4-14所示。首先證明它們合成的結(jié)果為一力偶。為此，在這兩平面的交線上取任意線段AB=d，利用同平面內(nèi)力偶的等效條件，將兩力偶各在其作用面內(nèi)移轉(zhuǎn)和變換，使它們的力偶臂與線段AB重合，而保持力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向不變。這時，兩力偶分別為(，)和(,)，它們的力偶矩矢分別為和。將力與合成為力，又將力與合成為力。由圖顯然可見，力與等值而反向，組成一個力偶，即為合力偶，它作用在平面III內(nèi)，令合力偶矩矢為。下面再證明:合力偶矩矢等于原有兩力偶矩矢的矢量和。由圖4-14易于證明四邊形ACED與平行四邊形Aced相似，因而ACED也是一個平行四邊形。于是可得=+如有個空間力偶，按上法

21、逐次合成，最后得一力偶，合力偶的矩矢應為=合力偶矩矢的解析表達式為=i+j+k(4-19)其中、為合力偶矩矢在x、y、z軸上的投影。將式(4-18)分別向x、y、z軸投影，有=+=+=（4-20）=+=即合力偶矩矢在x、y、z在軸上投影等于各分力偶矩矢在相應軸上投影的代數(shù)和。算出合力偶矩矢的投影后，合力偶矩矢的大小和方向余弦可用下列公式求出，即:=cos(,i)=cos(,j)=(4-21)cos(,k)=例4-6工件如圖4-15a所示，它的四個面上同時鉆五個孔，每個孔所受的切削力偶矩均為80Nm。求工件所受合力偶的矩在x、y、z軸上的投影、，并求合力偶矩矢的大小和方向。解:先將作用在四個面上

22、的力偶用力偶矩矢量表示，并將它們乎行移到點A，如圖4-15b所示。根據(jù)式(4-20)，得:=-cos45-cos45=-193.1Nm=-=-80Nm=-cos45-cos45=-193.1Nm再根據(jù)式(4-21)求得合力偶矩矢的大小和方向余弦為=284.6Nmcos(,i)=-0.6786cos(,j)=-0.2811cos(,k)=-0.6786由于空間力偶系可以用一個合力偶來代替，因此，空間力偶系平衡的必要和充分條件是:該力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即=0(4-22)由上式，有=0欲使上式成立，必須同時滿足=0=0（4-23）=0上式為空間力偶系的平衡方程。即

23、空間力偶系平衡的必要和充分條件為:該力偶系中所有各力偶矩矢在三個坐標軸上投影的代數(shù)和分別等于零。上述三個獨立的平衡方程可求解三個未知量。4-4空間任意力系向一點的簡化主矢和主矩現(xiàn)在來討論空間任意力系的簡化問題。與第三章平面任意力系的簡化方法一樣，應用力的平移定理，依次將作用于剛體上的每個力向簡化中心O平移，同時附加一個相應的力偶。這樣，原來的空間任意力系被空間匯交力系和空間力偶系兩個簡單力系等效替換，如圖4-16b所示。其中=，=，=,=，=作用于點O的空間匯交力系可合成一力(圖4-16c)，此力的作用線通過點0，其大小和方向等于力系的主矢，即=i+j+k? (4-24)空間分布的力偶系可合成

24、為一力偶(圖4-16c)。以表示其力偶矩矢，它等于各附加力偶矩矢的矢量和，又等力對于點O之矩的矢量和，即原力系對點0的主矩=? (4-25)由力矩的解析表達式(4-12)，有=i+j+k(4-25)于是可得結(jié)論如下:空間任意力系向任一點O簡化，可得一力和一力偶。這個力的大小和方向等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心O;這力偶的矩矢等于該力系對簡化中心的主矩。與平面任意力系一樣，主矢與簡化中心的位置無關(guān)，主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。由式(4-24)，此力系主矢的大小和方向余弦為=cos(,i)=cos(,j)=（4-26）cos(,k)=式(4-25)中，單位矢量i、j、k前的系數(shù)，即主矩沿x

25、、y、z軸的投影，也等于力系各力對x、y、z軸之矩的代數(shù)和()、()、()。則此力系對點O的主矩的大小和方向余弦為=cos(,i)=cos(,j)=cos(,k)=(4-27)下面通過作用在飛機上的力系說明空間力系簡化結(jié)果的實際意義。飛機在飛行時受到重力、升力、推力和阻力等力組成的空間任意力系的作用。通過其重心O作直角坐標系Oxyz，如圖4-17所示。將力系向飛機的重心O簡化，可得一力和一力偶，力偶矩矢為。如果將這力和力偶矩矢向上述三坐標軸分解，則得到三個作于重心O的正交分力、和三個繞坐標軸的力偶、?？梢钥闯鏊鼈兊囊饬x是:有效推進力;有效升力;側(cè)向力;滾轉(zhuǎn)力矩;偏航力矩;俯仰力矩。4-5空間任

26、意力系的簡化結(jié)果分析空間任意力系向一點簡化可能出現(xiàn)下列四種情況，即(I)=O，0;(2)0,=0;(3)0,0;(4)=O，=0?，F(xiàn)分別加以討論。1.空間任意力系簡化為一合力偶的情形當空間任意力系向任一點簡化時，若主矢=0，主矩0，這時得一力偶。顯然，這力偶與原力系等效，即原力系合成為一合力偶，這合力偶矩矢等于原力系對簡化中心的主矩。由于力偶矩矢與矩心位置無關(guān)，因此，在這種情況下，主矩與簡化中心的位置無關(guān)。2空間任意力系簡化為一合力的情形合力矩定理當空間任意力系向任一點簡化時，若主矢0，而主矩=0，這時得一力。顯然，這力與原力系等效，即原力系合成為一合力，合力的作用線通過簡化中心O，其大小和方

27、向等于原力系的主矢。若空間任意力系向一點簡化的結(jié)果為主矢0，又主矩0，且 (圖4-18a)。這時，力和力偶矩矢為的力偶(，)在同一平面內(nèi)(圖4-18b)，如平面力系簡化結(jié)果那樣，可將力與力偶(，)進一步合成，得作用于點O的一個力(圖4-18c)。此力即為原力系的合力，其大小和方向等于原力系的主矢，即=其作用線離簡化中心0的距離為d=(4-28)由圖4-18b可知，力偶(，)的矩等于合力對點O的矩，即=()又根據(jù)式(4-25)，有=故得關(guān)系式=(4-29)即空間任意力系的合力對于任一點的矩等于各分力對同一點的矩的矢量和。這就是空間任意力系的合力矩定理。根據(jù)力對點的矩與力對軸的矩的關(guān)系，把上式投影

28、到通過點O的任一軸上，可得=(4-30)即空間任意力系的合力對于任一軸的矩等于各分力對同一軸的矩的代數(shù)和。3空間任意力系簡化為力螺旋的情形如果空間任意力系向一點簡化后，主矢和主矩都不等于零，而，這種結(jié)果稱為力螺旋，如圖4-19所示。所謂力螺旋就是由一力和一力偶組成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。例如，鉆孔時的鉆頭對工件的作用以及擰木螺釘時螺絲刀對螺釘?shù)淖饔枚际橇β菪?。力螺旋是由靜力學的兩個基本要素力和力偶組成的最簡單的力系，不能再進一步合成。力偶的轉(zhuǎn)向和力的指向符合右手螺旋規(guī)則的稱為右螺旋(圖4-19a)，否則稱為左螺旋(圖4-19b)。力螺旋的力作用線稱為該力螺旋的中心軸。在上述情形下，

29、中心軸通過簡化中心。如果0，0，同時兩者既不平行，又不垂直，如圖4-2Oa所示。此時可將分解為兩個分力偶和，它們分別垂直于和平行于如圖4-2Ob所示，則和可用作用于點O的力來代替。由于力偶矩矢是自由矢量，故可將平行移動，使之與共線。這樣便得一力螺旋，其中心軸不在簡化中心O，而是通過另一點O，如圖4-2Oc所示。O、O兩點間的距離為d=(4-31)可見，一般情形下空間任意力系可合成為力螺旋。4.空間任意力系簡化為平衡的情形當空間任意力系向任一點簡化時，若主矢=0,主矩=0,這是空間任意力系平衡的情形，將在下節(jié)詳細討論。4-6空間任意力系的平衡方程空間任意力系處于平衡的必要和充分條件是:這力系的主

30、矢和對于任一點的主矩都等于零，即:=0=0根據(jù)式(4-26)和(4-27)，可將上述條件寫成空間任意力系的平衡方程=O=O=O=0(4-32)=0=0于是得結(jié)論:空間任意力系平衡的必要和充分條件是:所有各力在三個坐標軸中每一個軸上的投影的代數(shù)和等于零，以及這些力對于每一個坐標軸的矩的代數(shù)和也等于零。與平面力系相同，空間力系的平衡方程也有其它的形式。我們可以從空間任意力系的普遍平衡規(guī)律中導出特殊情況的平衡規(guī)律，例如空間平行力系、空間匯交力系和平面任意力系等平衡方程?，F(xiàn)以空間平行力系為例，其余情況讀者可自行推導。設(shè)物體受一空間平行力系作用，如圖4-21所示。令z軸與這些力平行，則各力對于z軸的矩等

31、于零。又由于x和y軸都與方程組(4-3幻中，第一、第二和第六個方程成了恒等式。因此，空間平行力系只有三個平衡方程，即:=0=0(4-33)=04-7空間約束的類型舉例前幾章己陸續(xù)介紹了一些工程中常見的約束及其約束反力的分析方法。一般情況下，當剛體受到空間任意力系作用時，在每個約束處，其約束反力的未知量可能有1個到6個。決定每種約束的約束反力未知量個數(shù)的基本方法是:觀察被約束物體在空間可能的6種獨立的位移中(沿x、y、z三軸的移動和繞此三軸的轉(zhuǎn)動)，有哪幾種位移被約束所阻礙。阻礙移動的是約束反力;阻礙轉(zhuǎn)動的是約束反力偶?，F(xiàn)將幾種常見的約束及其相應的約束反力綜合列表，如表4-1所示。分析實際的約束

32、時，有時要忽略一些次要因素，抓住主要因素，作一些合理的簡化。例如，導向軸承能阻礙軸沿y和z軸的移動，并能阻礙繞y軸和z軸的轉(zhuǎn)動，所以有4個約束反作用、和;而徑向軸承限制軸繞y和z軸的轉(zhuǎn)動作用很小，故和可忽略不計，所以只有兩個約束反力和。又如，一般小柜門都裝有兩個合頁，形如表4-1中的蝶鉸鏈，它主要限制物體沿y,z方向的移動，因而有兩個約束反力和。合頁不限制物體繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動，單個合頁對物體繞y、z軸轉(zhuǎn)動的限制作用也很小，因而沒有約束反力偶。而當物體受到沿合頁軸向作用力時，其中一個合頁將限制物體軸向移動，應視為止推軸承。如果剛體只受平面力系的作用，則垂直于該平面的約束反力和繞平面內(nèi)兩軸的約束反力偶

33、都應為零，相應減少了約束反力的數(shù)目。例如，在空間任意力系作用下，固定端的約束反力共有6個，即、和;而在Oyz平面內(nèi)受平面任意力系作用時，固定端的約束反力就只有3個，即、和。4-8空間力系平衡問題舉例空間任意力系的平衡方程有六個，所以對于在空間任意力系作用下平衡的物體，只能求解六個未知量，如果未知量多于六個，就是靜不定問題;對于在空間平行力系作用下平衡的物體，則只能求解三個未知量。因此，在解題時必需先分析物體受力情況。例4-7圖4-22所示的三輪小車,自重=8kN，作用于點E，載荷=lOkN，作用于點C。求小車靜止時地面對車輪的反力。解:以小車為研究對象，受力如圖4-22所示。其中和是主動力，、

34、和為地面的約束反力，此5個力相互平行，組成空間平行力系。取坐標系Oxyz如圖所示，列出三個平衡方程:=0,-+=O(a)=0,-0.2-1.2+2=0(b)=0,0.8+0.6-0.6-l.2=O(c)由式(b)解得=5.8kN代人式(c)，解出=7.777kN代人式(a)，解出=4.423kN例4-8在圖4-23a中，皮帶的拉力=2，曲柄上作用有鉛垂力=20OON。已知皮帶輪的直徑D=400mm，曲柄長R=300mm,皮帶1和皮帶2與鉛垂線間夾角分別為和, =30, =60(參見圖4-23b)，其它尺寸如圖所示。求皮帶拉力和軸承反力。解:以整個軸為研究對象。在軸上作用的力有:皮帶拉力、;作用

35、在曲柄上的力;軸承反力、和。軸受空間任意力系作用，選坐標軸如圖所示，列出平衡方程:=-0，sin30+sin60+=0=0，0=0=0,-cos30-cos60-+=0=0,cos302OO+cos6O200-200+400=0=0，-(-)=0=0,sin30200+sin60200-400=0又有=2聯(lián)立上述方程，解得=300ON,=600ON=-1004N,=9397N=3348N，=-1799N此題中，平衡方程=0成為恒等式，獨立的平衡方程只有5個;在題設(shè)條件=2之下，才能解出上述6個末如量。例4-9?車床主軸如圖4-24a所示。已知車刀對工件的切削力為:徑向切削力=4.25kN，縱向

36、切削力-=6.8kN,主切削力(切向)=17kN，方向如圖所示。與幾分別為作用在直齒輪C上的切向力和徑向力，且=0.36。齒輪C的節(jié)圓半徑為R=5Omm,被切削1件的半徑為r=30mm?？ūP及工件等自重不計，其余尺寸如圖(單位為mm)。求:(1)齒輪嚙合力及;(2)徑向軸承A和止推軸承B的約柬反力;(3)三爪卡盤E在O處對工件的約束反力。圖4-24解:先取主軸、卡盤、齒輪以及工件系統(tǒng)為研究對象，受力如圖4-24a所示，為一空間任意力系。取坐標系A(chǔ)xyz如圖所示，列平衡方程:=0，-+-=0=0，-=0=0,+=0=0，-(488+76)-76+388=0=0，R-r=0=0，(488+76)-

37、76-30+388=0又，按題意有=0.36以上共有七個方程，可解出全部7個未知量，即=10.2kN,=3.67kN=15.64kN,=-31.87kN=-1.19kN,=6.8kN,=11.2kN再取工件為研究對象，其上除受3個切削力外，還受到卡盤(空間插人端約束)對工件的6個約束反力、，如圖4-25所示。取坐標軸系Oxyz如圖，列平衡方程=0，-=0=0，-=0=0，-=0=0,+1OO=0=0,-30=0=0，+1OO-30=0求解上述方程，得=4.25kN,?=6.8kN,=-17kN=-1.7kNm，=0.51kNm，=-0.22kNm空間任意力系有6個獨立的平衡方程，可求解6個未知

38、量，但其平衡方程不局限于式(4-32)所示的形式。為使解題簡便，每個方程中最好只包含一個未知量。為此，我們在選投影軸時應盡量與其余末知力垂直;在選取矩的軸時應盡量與其余的未知力平行或相交。投影軸不必相互垂直，取矩的軸也不必與投影軸重合，力矩方程的數(shù)目可取3個至6個。現(xiàn)舉例如下。例4-10圖4-26所示均質(zhì)長方板由六根直桿支持于水平位置，直桿兩端各用球鉸鏈與板和地面連接。板重為在A處作用一水平力，且=2。求各桿的內(nèi)力。解:取長方體剛板為研究對象，各支桿均為二力桿，設(shè)它們均受拉力。板的受力圖如圖所示。列平衡方程:=0, -a-=0(a)解得=-(壓力)=0,=0(b)=0,=0(c)=0, -=0

39、(d)將=-代入式(d)，得=0=0, -+-=0(e)得=1.5=0, -cos45b=0(f)得=-(壓力)此例中用6個力矩方程求得6個桿的內(nèi)力。一般，力矩方程比較靈活，?？墒挂粋€方程只含一個未知量。當然也可以采用其他形式的平衡方程求解。如用乏代替式(d)，同樣求得，=0;又，可用乏=0代替式(f)，同樣求得=-。讀者還可以試用其他方程求解。但無論怎樣列方程，獨立平衡方程的數(shù)目只有6個?？臻g任意力系平衡方程的基本形式為式(4-32)，即三個投影方程和三個力矩方程，它們是相互獨立的。其它不同形式的平衡方程還有很多組，也只有六個獨立方程，由于空間情況比較復雜，本書不再討論其獨立性條件。4-9重

40、心1.重心的概念及其坐標公式在地球附近的物體都受到地球?qū)λ淖饔昧?，即物體的重力;重力作用于物體內(nèi)每一微小部分，是一個分布力系。對于工程中一般的物體，這種分布的重力可足夠精確地視為空間平行力系，一般所謂重力，就是這個空間平行力系的合力。不變形的物體(剛體)在地表面無論怎樣放置，其平行分布重力的合力作用線，都通過此物體上一個確定的點，這一點稱為物體的重心。重心在工程實際中具有重要的意義。如重心的位置會影響物體的平衡和穩(wěn)定，對于飛機和船舶尤為重要;高速轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)子，如果轉(zhuǎn)軸不通過重心，將會引起強烈的振動，甚至引起破壞。下面通過平行力系的合力推導物體重心的坐標公式，這些公式也可用于確定物體的質(zhì)量中心、

41、面積形心和液體的壓力中心等。如將物體分割成許多微小體積，每小塊體積為，所受重力為。這些重力組成平行力系，其合力的大小就是整個物體的重量，即=(4-34)取直角坐標系Oxyz，使重力及其合力與z軸平行，如圖4-27所示。設(shè)任一微體的坐標為，重心C的坐標為，。根據(jù)合力矩定理，對x軸取矩，有-=-(+)=-再對y軸取矩，有=+=為求坐標，由于重心在物體內(nèi)占有確定的位置，可將物體M，連同坐標系Oxyz一起繞x軸順時針轉(zhuǎn)90。，使y軸向下，這樣各重力及其合力都與y軸平行。這也相當于將各重力及其合力相對于物體按逆時針方向轉(zhuǎn)90，使之與y軸平行，如圖4-27中虛線箭頭所示。這時，再對x軸取矩，得-=-(+)

42、=-由以上三式可得計算重心坐標的公式，即=(4-35)物體分割得越多，即每一小塊體積越小，則按式(4-35)計算的重心位置愈準確。在極限情況下可用積分計算。如果物體是均質(zhì)的，單位體積的重量為=常值，以表示微小體積，物體總體積為V=。將=代人式(4-35)，得=(4-36)=上式的極限為=,?=,?=(4-36)可見，均質(zhì)物體的重心與其單位體積的重量(比重)無關(guān)，僅決定于物體的形狀。這時的重心稱為體積的重心。工程中常采用薄殼結(jié)構(gòu)，例如廠房的頂殼、薄壁容器、飛機機翼等，其厚度與其表面積5相比是很小的，如圖4-28所示。若薄殼是均質(zhì)等厚的，則其重心公式為:=(4-37)=這時的重心稱為面積的重心。曲

43、面的重心一般不在曲面上，而相對于曲面位于確定的一點。如果物體是均質(zhì)等截面的細長線段，其截面尺寸與其長度l相比是很小的，如圖4-29所示。則其重心公式為=(4-38)=這時的重心稱為線段的重心，曲線的重心一般不在曲線上。由式(4-36),(4-37),(4-38)可知，均質(zhì)物體的重心就是幾何中心，通常也稱形心。2確定物體重心的方法(1)簡單幾何形狀物體的重心如均質(zhì)物體有對稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心，不難看出，該物體的重心必相應地在這個對稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心上。例如:正圓錐體或正圓錐面、正棱柱體或正棱柱面的重心都在其軸線上;橢球體或橢圓面的重心在其幾何中心上，平行四邊形的重心在其對角線的交點

44、上，等等。簡單形狀物體的重心可從工程手冊上查到，表4-2列出了常見的兒種簡單形狀物體的重心。工程中常用的型鋼(如T字鋼、角鋼、槽鋼等)的截面的形心，也可以從型鋼表中查到。表4-2中列出的重心位置，均可按前述公式積分求得，如下例。例4-11試求圖4-30所示半徑為R、圓心角為2的扇形面積的重心。解:取中心角的平分線為y軸。由于對稱關(guān)系，重心必在這個軸上，即=O,現(xiàn)在只需求出。把扇形面積分成無數(shù)無窮小的面積素(可看作三角形)、每個小三角形的重心都在距頂點0為R處。任一位置處的微小面積dS=d，其重心的y坐標為y=Rcos扇形總面積為S=由形心坐標公式(4-37)，可得=如以=代人，即得半圓形的重心

45、=(2)用組合法求重心(a)分割法若一個物體由幾個簡單形狀的物體組合而成，而這些物體的重心是已知的，那么整個物體的重心即可用式(4-35)求出。例4-12試求Z形截面重心的位置，其尺寸如圖4-31所示。解:取坐標軸如圖所示，將該圖形分割為三個矩形(例如用ab和cd兩線分割)。以、，表示這些矩形的重心，而以、，表示它們的面積。以;，;，分別表示，的坐標，由圖得=-15,=45,=300=5，=30,=400=15,=5，=300按公式求得該截面重心的坐標、為:=2mm=27mm(b)負面積法(負體積法)若在物體或薄板內(nèi)切去一部分(例如有空穴或孔的物體)，則這類物體的重心，仍可應用與分割法相同的公

46、式來求得，只是切去部分的體積或面積應取負值。今以下例說明。例4-13試求圖4-32所示振動沉樁器中的偏心塊的重心。已知:R100mm,r=l7mm,。b=13mm。解:將偏心塊看成是由三部分組 成，即半徑為R的半圓，半徑為r+b的半圓和半徑為r的小圓。因是切去的部分，所以面積應取負值。今使坐標原點與圓心重合，且偏心塊的對稱軸為義軸，則有=O。設(shè)、分別是、重心的坐標，由例4-11的結(jié) 果可知:=-=0于是，偏心塊重心的坐標為=40.Olmm(3)用實驗方法測定重心的位置工程中一些外形復雜或質(zhì)量分布不均的物體很難用計算方法求其重心，此時可用實驗方法測定重心位置。下面介紹兩種方法。(a)懸掛法如果需

47、求一薄板的重心，可先將板懸掛于任一點A，如圖4-33a所示。根據(jù)二力平衡條件，重心必在過懸掛點的鉛直線上，于是可在板上畫出此線。然后再將板懸掛于另一點B，同樣可畫出另一直線。兩直線相交于點C，這個點就是重心，如圖4-33b所示。(b)稱重法下面以汽車為例簡述測定重心的方法。如圖4-34所示，首先稱量出汽車的重量，測量出前后輪距l(xiāng)和車輪半徑r。設(shè)汽車是左右對稱的，則重心必在對稱面內(nèi)，我們只需測定重心C距地面的高度和距后輪的距離。為了測定，將汽車后輪放在地面上，前輪放在磅秤上，車身保持水平，如圖4-34a所示。這時磅秤上的讀數(shù)為。因車身是平衡的，故=l于是得=(a)欲測定，需將車的后輪抬到任意高度

48、H，如圖4-34b所示。這時磅秤的讀數(shù)為。同理得=(b)由圖中的幾何關(guān)系知:=cos=cossin=cos=其中h為重心與后輪中心的高度差，則h=-r把以上各關(guān)系式代人式(b)中，經(jīng)整理后即得計算高度的公式，即=r+式中均為已測定的數(shù)據(jù)。小結(jié)1力在空間直角坐標軸上的投影(1)直接投影法己知力和夾角，,如圖4-35a所示，則力在三個軸上的投影分別為X=cosY=cosZ=cos(2)間接投影法(即二次投影法)己知力和夾角，（圖4-35b)，則力在三個軸上的投影分別為X=sincosY=sinsinZ=cos1.力矩的計算(1)力對點的矩是一個矢量，它垂直于力矢和矩心所在的平面，方向按右手螺旋規(guī)則

49、確定，如圖4-36所示，大小為=h=2OAB或用力對點的矩的矢積式表示，即=r=式中x、y、z為力端點的坐標，X、Y、Z為力矢在軸上的投影。(2)力對軸的矩是一個代數(shù)量，可按下列兩種方法求得。(a)先將力投影到垂直于軸的平面上，然后按平面上力對交點O的矩計算(圖4-37a)，即=? h=2Oab正負號按右手螺旋規(guī)則確定。(b)先求出力在正交軸系的投影X，Y，Z及力作用點的坐標x，y，z，如圖4-37b所示，然后按力對軸之矩的解析式計算，即:=yZ-zY=zX-xZ=xY-yX(3) 力對點的矩與力對軸的矩的關(guān)系=3合力矩定理? 力系的合力對任一點之矩等于力系中各力對同一點之矩的矢量和，即=同樣

50、有:力系的合力對任一軸(例如z軸)之矩等于力系中各力對同一軸之矩的代數(shù)和，即=4空間力偶及其等效條件(1)力偶矩矢空間力偶對剛體的作用效果決定于三個因素(力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的轉(zhuǎn)向)，它可用力偶矩矢表示。力偶矩矢是個自由矢量，其大小等于力與力偶臂的乘積，方向與力偶作用面垂直，指向與力偶轉(zhuǎn)向的關(guān)系服從右手螺旋規(guī)則。(2)力偶的等效條件:若兩個力偶的力偶矩矢相等，則它們彼此等效。5空間力系的合成(1)空間匯交力系合成為一個通過其匯交點的合力，其合力矢為=，或=+(2)空間力偶系合成結(jié)果為一合力偶，其合力偶矩矢為=，或=+(3)空間任意力系向點O簡化得一個作用在簡化中心O的力和一個力偶，

51、力偶矩矢為，而=(4)空間任意力系簡化的最終結(jié)果，列表如下:主矢主矩最后結(jié)果說明 =0=0平衡0合力偶此時主矩與簡化中心的位置無關(guān)0=0合力合力作用線通過簡化中心0合力合力作用線離簡化中心O的距 離為 d=(圖4-18c)0力螺旋力螺旋的中心軸通過簡化中心與成角力螺旋力螺旋的中心軸離簡化中心O的距離為d=(圖4-2OC)6空司任意力系平衡方程的基本形式=0,=0，=0=0，=0，=07幾種特殊力系的平衡方程(1)空間匯交力系? 由于力系對匯交點的主矩為零，則對匯交點的力矩方程恒等于零，其平衡方程的基本形式為=0，=0，=0(2)空間力偶系? 由于空間力偶系可合成為一合力偶，則主矢恒等于零，其平

52、衡方程為=0，=0，=0(3)空間平行力系? 若力系中各力與z軸平行，則0，0，0，其平衡方程的基本形式為:=0,=0,=0(4)平面任意力系? 若力系在0刊平面內(nèi)，則0，0,0，其平衡方程的基本形式為:=0，=0，=08物體的重心是該物體重力的合力始終通過的一點。均質(zhì)物體的重心與幾何中心相重合。物體的重心在物體內(nèi)占有確定的位置，與該物體在空間的位置無關(guān)。物體重心的坐標公式，可根據(jù)合力矩定理導出，即:=,=,=思考題4-1在正方體的頂角A和B處，分別作用力和，如圖4-38所示。求此兩力在x，y，z軸上的投影和對x，y，z軸的矩。試將圖中的力和向點O簡化，并用解析式計算其大小和方向。4-2用矢量

53、積計算力對點O之矩。當力沿其作用線移動，改變了力作用點的坐標x，y，z時(圖4-39)，其計算結(jié)果有否變化?4-3試證:空間力偶對任一軸之矩等于其力偶矩矢在該軸上的投影。4-4軸AB上作用一主動力偶，矩為，齒輪的嚙合半徑=2如圖4-40所示。問當研究軸AB和CD的平衡問題時:(1)能否以力偶矩矢是自由矢量為理由，將作用在軸AB上的力偶搬移到軸CD上?(2)若在軸CD上作用矩為的力偶，便兩軸平衡，間兩力偶的矩的大小是否相等?轉(zhuǎn)向是否應相反?4-5空間平行力系的簡化的結(jié)果是什么?可能合成為力螺旋嗎?4-6(1)空間力系中各力的作用線平行于某一固定平面;(2)空間力系中各力的作用線分別匯交于兩個固定

54、點。試分析這兩種力系各有幾個平衡方程。4-7傳動軸用兩個止推軸承支持，每個軸承有三個未知力，共6個未知量。而空間任意力系的平衡方程恰好有6個，是否為靜定問題?4-8空間任意力系總可以用兩個力來平衡，為什么?4-9某一空間力系對不共線的三個點的主矩都等于零，間此力系是否一定平衡?4-10空間任意力系向兩個不同的點簡化，試問下述情況是否可能:(1)主矢相等，主矩也相等;(2)主矢不相等，主矩相等;(3)主矢相等，主矩不相等;(4)主矢、主矩都不相等。4-11一均質(zhì)等截面直桿的重心在哪里？若把它彎成半圓形，重心的位置是否改變?4-12當物體質(zhì)量分布不均勻時，重心和幾何中心還重合嗎?為什么?4-13計

55、算一物體重心的位置時，如果選取的坐標軸不同，重心的坐標是否改變?重心在物體內(nèi)的位置是否改變?4-14在圖4-34中，若汽車左右不對稱，如何求得汽車重心的橫向位置。習題4-1 力系中，=1OON、=300N、 =200N，各力作用線的位置如圖所示。試將力系向原點O簡化。4-2一平行力系由五個力組成，力的大小和作用線的位置如圖所示。圖中小正方格的邊長為lOmm求平行力系的合力。4-3 圖示力系的三力分別為=350N、=400N和=600N,其作用線的位置如圖所示。試將此力系向原點O簡化。4-4 求圖示力=l000N對于z軸的力矩。4-5 軸AB與鉛直線成角，懸臂CD與軸垂直地固定在軸上，其長為a,

56、并與鉛直面紐B成角，如圖所示。如在點D作用鉛指向下的力，求此力對軸AB的矩。4-6水平圓盤的半徑為r，外緣C處作用有已知力。力位于鉛垂平面內(nèi)，且與C處圓盤切線夾角為60，其他尺寸如圖所示。求力對x、y、z軸之矩。4-7圖示空間構(gòu)架由三根無重直桿組成，在D端用球鉸鏈連接，如圖所示。A、B和C端則用球鉸鏈固定在水平地板上。如果掛在D端的重物=10kN,試求鉸鏈A、B和C的反力。4-8 掛物架如圖所示，三桿的重量不計，用球鉸鏈連接于O點，平面BOC是水平面，且OB=OC，角度如圖。若在O點掛一重物G，重為1000N，求三桿所受的力。4-9 在圖示起重機中，已知:AB=BC=AD=AE;點A、B、D和E等均為球鉸鏈連接，如三角形ABC的投影為AF線，AF與y軸夾角為,如圖。求鉛直支柱和各斜桿的內(nèi)力。4-10 圖示空間桁架由六桿1、2、3、4、5和6構(gòu)成。在節(jié)點A上作用一力，此力在矩形ABDC平面內(nèi)，且與鉛直線成45角。AEK=FBM。等腰三角形EAK、FBM和NDB在頂點A、B和D處均為直角，又EC=CK=FD=DM。若=10kN，求各桿的內(nèi)力。4-