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1、1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用第3課時 教案1.1 回歸分析的基本思想及其初步（三）【學(xué)情分析】：教學(xué)對象是高二文科學(xué)生，學(xué)生已經(jīng)學(xué)會建立回歸模型的基本步驟，并有檢驗(yàn)回歸方程的擬合精確度的方法，并能解決一些實(shí)際問題。兩個變量不呈線性關(guān)系，不能直接利用線性回歸方程建立兩個變量的關(guān)系，通過探究使學(xué)生體會對回歸模型的選擇，非線性模型可以通過變換轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，讓學(xué)生直觀的觀察、思考，借助于線性回歸模型研究呈非線性關(guān)系的兩個變量之間的關(guān)系，并通過回歸分析體會不同模型擬合數(shù)據(jù)的效果?！窘虒W(xué)目標(biāo)】：（1）知識與技能：了解回歸模型的選擇；進(jìn)一步理解非線性模型通過變換轉(zhuǎn)化為線性回歸模型；體會不同模型

2、擬合數(shù)據(jù)的效果。（2）過程與方法：從實(shí)例出發(fā)，求出相應(yīng)的回歸直線方程，從中也找出存在的不足，從而有進(jìn)行回歸分析的必要性，通過學(xué)習(xí)相關(guān)指數(shù)，用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，進(jìn)而歸納出回歸分析的一般步驟，并對具體問題進(jìn)行回歸分析，用于解決實(shí)際問題。（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：任何事物都是相對的，但又有一定的規(guī)律性，我們只要從實(shí)際出發(fā)，不斷探求事物的內(nèi)在聯(lián)系，就會找出其中的規(guī)律性，形成解決實(shí)際問題的方法和能力?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】： 1、加深體會有些非線性模型通過變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型； 2、了解在解決問題的過程中尋找更好的模型的方法?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】：1、了解常用函數(shù)的圖像特點(diǎn)，選擇不同的模型建模；2、通過比較相

3、關(guān)指數(shù)對不同的模型進(jìn)行比較?！菊n前準(zhǔn)備】：課件【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動設(shè)計(jì)意圖一、復(fù)習(xí)引入問題一：你能回憶一下建立回歸模型的基本步驟？師：提出問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶建立回歸模型的基本步驟（選變量、畫散點(diǎn)圖、選模型、估計(jì)參數(shù)、分析與預(yù)測）生：回憶、敘述建立回歸模型的基本步驟復(fù)習(xí)建立線性回歸模型的基本步驟二、探究新知問題二：觀察例2的圖11-6中的散點(diǎn)圖，紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x的圖像特點(diǎn)：隨著自變量的增加，因變量也隨之增加。這些點(diǎn)可以除了可以看作是落在指數(shù)函數(shù)模型上，還可以認(rèn)為它是落在什么函數(shù)的模型上？師：引導(dǎo)學(xué)生觀察散點(diǎn)圖的特點(diǎn)，并引導(dǎo)學(xué)生探究紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x還可能是什么關(guān)系。（

4、二次函數(shù)模型）生：討論、回憶一些常見函數(shù)圖像的特點(diǎn)，判斷紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x的可能關(guān)系樣本點(diǎn)還可以看作是分布在二次函數(shù)曲線的周圍。問題三：對模型是否有辦法求參數(shù)和的最小二乘估計(jì)？師：從簡單的模型入手，逐步引導(dǎo)學(xué)生思考把原來兩個變量的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為另外兩個變量的線性關(guān)系生：觀察模型，探究變換的方法并發(fā)表自己的意見。最后給出具體的方法。令，建立與之間的線性回歸方程問題四：經(jīng)過變換后這個模型都轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，你如何得到這幾個線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)？師：提出問題，引導(dǎo)學(xué)生分組討論，啟發(fā)學(xué)生把原變量的觀測數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為新變量的數(shù)據(jù)，然后讓學(xué)生給出每種線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)。生：以組為單位進(jìn)行數(shù)據(jù)變

5、換，求參數(shù)的最小二乘估計(jì)（可以用計(jì)算器）解答過程如下：令，即分析與之間的關(guān)系，通過畫散點(diǎn)圖（如下圖）， 可看到與的散點(diǎn)圖并不分布在一條直線的周圍，即不宜用線性回歸方程來擬合它，即不宜用二次曲線來擬合與之間的關(guān)系，這個結(jié)論還可以用殘差分析得到。為比較兩個不同模型的殘差，需建立相應(yīng)的回歸模型，讓學(xué)生用線性回歸模型擬合回歸方程。 所以因?yàn)?，即y關(guān)于x的二次回歸方程為。問題五：指數(shù)回歸模型與二次回歸模型中哪個能更好地刻畫紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x的關(guān)系？通過什么數(shù)據(jù)說明？師：提出問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶評價(jià)線性回歸模型擬合好壞的標(biāo)準(zhǔn)（相關(guān)指數(shù)、殘差平方和），進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探討如何進(jìn)行不同模型的比較，介紹計(jì)算模

6、型相關(guān)指導(dǎo)數(shù)和殘差平方和的方法，說明一般在參數(shù)個數(shù)一定的條件下，相關(guān)指數(shù)越大或殘差平方和越小說明模型擬合得越好。生：討論，提出自己的想法，計(jì)算每個模型的相關(guān)指數(shù)，并進(jìn)行模型的比較。指數(shù)函數(shù)模型的相關(guān)指數(shù)二次函數(shù)模型的相關(guān)指數(shù)從相關(guān)指數(shù)的計(jì)算結(jié)果來看，指數(shù)函數(shù)模型的比二次函數(shù)模型的更接近于1，所以指數(shù)函數(shù)模型的回歸效果好。再從殘差圖看：從圖中可看出指數(shù)函數(shù)模型的殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀域中，所以指數(shù)函數(shù)模型擬合精度較二次函數(shù)模型的高。通過學(xué)生自己動手計(jì)算感受，歸納判斷模型擬合效果的方法：可以通過變換后的散點(diǎn)圖觀察兩個新變量之間是否存在線性回歸方程；通過殘差分析比較兩種模型的擬合效果。一般情

7、況下，比較兩個模型的殘差比較困難（某些樣本點(diǎn)上一個模型的殘差的絕對值比另一個模型的小，而另一些樣本點(diǎn)的情況則相反），故通過比較兩個模型的殘差的平方和的大小來判斷模型的擬合效果。殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩個變量的關(guān)系，使學(xué)生了解不是任何兩個變量都一定是只有一種關(guān)系。讓學(xué)生知道有時因變量與自變量的非線性關(guān)系經(jīng)過變換后可以轉(zhuǎn)化為兩個新變量間的線性關(guān)系使學(xué)生進(jìn)一步體會把因變量與自變量的非線性關(guān)系經(jīng)過變換后轉(zhuǎn)化為另外兩個變量的線性關(guān)系的方法。使學(xué)生熟悉線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)的方法得出紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x的模型引導(dǎo)學(xué)生嘗試進(jìn)行不同模型的比較。三、練習(xí)某種書每冊的成本

8、費(fèi)y（元）與印刷冊數(shù)x（千冊）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到數(shù)據(jù)如下:x123510203050100200y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15檢驗(yàn)每冊書的成本費(fèi)y與印刷冊數(shù)倒數(shù)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如有，求出y對x的回歸方程。分析：本題是非線性回歸分析問題，不妨設(shè)變量，題意要求對與y作相關(guān)性檢驗(yàn)，如果它們具有線性相關(guān)關(guān)系，就可以進(jìn)一步求出y對的回歸直線方程，這時，再回代，就得到了y對x的回歸曲線方程。解：首先作變量置換，題目所給數(shù)據(jù)變成如下表所示的10對數(shù)據(jù)：u10503302010050030020010005y10.155.524.082.852.1

9、11.621.411.301.211.15然后作相關(guān)性檢驗(yàn)。經(jīng)計(jì)算得，從而認(rèn)為與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，由公式得，所以，最后回代，可得到y(tǒng)對x的回歸曲線方程 四、小結(jié)1 強(qiáng)調(diào)要借助散點(diǎn)圖的直觀性、聯(lián)想已學(xué)過的基本函數(shù)圖像、以及知識間的聯(lián)系，鼓勵學(xué)生在建模中大膽嘗試；2 用回歸方程探究非線性回歸問題的方法、步驟；3 殘差分析的步驟、作用。4 梳理本節(jié)書的知識結(jié)構(gòu)問題背景分析線性相關(guān)系數(shù)散點(diǎn)圖兩個變量線性相關(guān)兩個變量非線性相關(guān)非線性回歸模型線性回歸模型最小二乘法殘差分析相關(guān)指數(shù)應(yīng)用讓學(xué)生整理解決本例的思路，鼓勵學(xué)生探究建立更好的模型。練習(xí)與測試1 在兩個變量與的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，

10、它們的相關(guān)指數(shù)如下，其中擬合效果最好的模型是（ A ）A模型1的相關(guān)指數(shù)為 B模型2的相關(guān)指數(shù)為C模型3的相關(guān)指數(shù)為 D模型4的相關(guān)指數(shù)為2 已知兩個變量的回歸模型為，則樣本點(diǎn)的（1，4.4）的殘差是_答案:0.43 殘差平方和用數(shù)學(xué)符號表示為_，它代表了隨機(jī)誤差的效應(yīng)；解釋變量的效應(yīng)值稱為回歸平方和，可以用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是_。顯然，的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好。答案:；。4 在研究硝酸納的可溶性程度時，對不同的溫度觀測它在水中的溶解度，得觀測結(jié)果如下表所示：溫度（）010205070溶解度（）66776085011231280 則由此得到的回歸直線的斜率是_。答案:0.88095 已知線性相關(guān)的兩變量，的三個樣本點(diǎn)A（0，0），B（1，3），C（4，11），若用直線AB作為其預(yù)測模型，則其相關(guān)指數(shù)_。答案：，6 已知線性相關(guān)的兩變量，的三個樣本點(diǎn)A（0，0），B（1，3），C（4，11），若用直線AB作為其預(yù)測模型，則點(diǎn)C 的殘差是_。答案：，。7 若一組觀測值（x1，y1）、（x2，y2）、（xn，yn）之間滿足yi=bxi+a+ei (i=1、2. n)若ei恒為0，則R2為 答案：1