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1、第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計(jì),2.1 平面桁架單元的離散 2.2 平面桁架單元分析 2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成 2.4 邊界條件的處理 2.5 單元內(nèi)力與支座反力的計(jì)算 2.6 平面桁架有限元程序設(shè)計(jì),有限單元法及程序設(shè)計(jì),解題方法,方法1：節(jié)點(diǎn)法,方法2：截面法,靜定桁架,回顧,第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計(jì),解題方法：力法和位移法,超靜定桁架,第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計(jì),如圖所示桁架，求各桿軸力。,力的平衡條件：,位移的協(xié)調(diào)方程：,1桿和3桿位移：,2桿位移：,超靜定桁架,第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計(jì),1桿軸力豎向分量：,2桿軸力：,式中： 和 為

2、桿件的剛度系數(shù)；,物理意義： 4點(diǎn)產(chǎn)生單位位移，桿端產(chǎn)生的豎向桿端力； 由桿件的物理性質(zhì)和幾何性質(zhì)決定；,V4為第4節(jié)點(diǎn)豎向位移,第二章 平面桁架有限元分析及程序設(shè)計(jì),超靜定桁架,代入平衡方程：,結(jié)構(gòu)的整體剛度系數(shù),位移法求解超靜定結(jié)構(gòu)。,離散原則：每個(gè)結(jié)點(diǎn)離散后還是一個(gè)結(jié)點(diǎn)，每個(gè)桿件離散后變成一個(gè)單元,1,結(jié)構(gòu)的離散化：盡量將結(jié)構(gòu)離散成數(shù)量最少的等截面直桿單元,2,3,4,5,6,2.1 平面桁架單元的離散,9個(gè)單元，6個(gè)結(jié)點(diǎn),1,2,3,4,5,6,7,8,16個(gè)單元，8個(gè)結(jié)點(diǎn),2.2.1 局部坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?局部坐標(biāo)系的建立,i,E，A，l,j,e, 軸：沿單元的桿軸方向；,2.

3、2 平面桁架的單元分析, 軸：從 軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。, 原點(diǎn)：以第一個(gè)結(jié)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)；,桿端位移：,i,j,e,桿端力：,符號(hào)：與坐標(biāo)系的方向一致為正，反之為負(fù)。,單元右端桿端力：,單元左端桿端力：,單元應(yīng)力：,單元應(yīng)變：,右結(jié)點(diǎn)固定,結(jié)點(diǎn)位移：,左結(jié)點(diǎn)固定,桿的受力分為兩種情況：,2.2 平面桁架的單元分析,任意情況（左右結(jié)點(diǎn)均有變形）即為以上兩種狀態(tài)的疊加：,桿端力為：,式中 為單元?jiǎng)偠染仃?局部坐標(biāo)系),桿單元軸力為：,式中 為單元應(yīng)力(廣義)矩陣；,2.2 平面桁架的單元分析,單元桿端力方程：,桿端位移：,桿端力：,單元軸力：,2.2 平面桁架的單元分析,桿端位移和桿端力,符號(hào)：與坐標(biāo)

4、系的方向一致為正，反之為負(fù)。,桿端力：,2.2 平面桁架的單元分析,2.2.2 整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?若局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系重合，則整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚺c局部坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囅嗤?若局部坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系不重合，如下圖所示：,桿端位移：,桿端力：,桿端位移：,i 結(jié)點(diǎn)：,j 結(jié)點(diǎn)：,2.2 平面桁架的單元分析,設(shè)桿件的長(zhǎng)度為 l ，則：,兩邊微分：,由于桿件的變形產(chǎn)生位移：,因此，桿件應(yīng)變?yōu)椋?桿件軸力為：,符號(hào)：桿件軸力以拉為正，壓為負(fù)。,桿件的結(jié)點(diǎn)力為：,因此，桿件結(jié)點(diǎn)力向量為：,式中 是整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃嚕?2.2 平面桁架的單元分析,寫成分塊矩陣形式：,式中

5、：,2.2 平面桁架的單元分析,（1）單元?jiǎng)偠认禂?shù)kij的意義,j自由度(結(jié)點(diǎn))產(chǎn)生的單位桿端位移引起的i自由度(結(jié)點(diǎn))的桿端力,（2）單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣,反力互等定理,式中：,桿件單元的應(yīng)力矩陣為：,單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì),2.2 平面桁架的單元分析,（3）單元?jiǎng)偠染仃囈话闶遣豢赡娴?2.2.3 單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣,2.2 平面桁架的單元分析,取任意桿件,建立如圖所示的局部坐標(biāo)系：,桿端力：,桿端位移：,2.2.3 單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣,x,y,2.2 平面桁架的單元分析,桿端力：,桿端位移：,在上圖中,建立如圖所示的整體坐標(biāo)系：,以i結(jié)點(diǎn)為例：,同理，對(duì)于j 結(jié)點(diǎn)：,2.2 平面桁架的單元分析,

6、寫成矩陣形式：,因此：,其中，T為轉(zhuǎn)換矩陣：,轉(zhuǎn)換矩陣的性質(zhì),轉(zhuǎn)換矩陣是正交矩陣；,同理，位移也存在轉(zhuǎn)換關(guān)系：,代入局部坐標(biāo)系下 的剛度方程：,2.2 平面桁架的單元分析,與利用微分得到的單元在 總體坐標(biāo)下的剛度方程相同,1、對(duì)總體結(jié)點(diǎn)位移和單元進(jìn)行編碼；,2、單元局部坐標(biāo)系下的剛度矩陣;,1,2,3,例：如圖所示平面桁架，桿長(zhǎng)為l，截面積為A，求三個(gè)單元在整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣。,2.2 平面桁架的單元分析,3、單元整體坐標(biāo)系分析:,解：,單元整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣為:,4、單元整體坐標(biāo)系分析:,5、單元整體坐標(biāo)系分析:,1,2,3,例：如圖所示平面桁架，桿長(zhǎng)為l，截面積為A，求結(jié)構(gòu)的剛度矩

7、陣。,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,1、單元整體坐標(biāo)系下剛度矩陣分塊,解：,2.3.1 結(jié)點(diǎn)的平衡方程,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,F,1,2、結(jié)點(diǎn)1的平衡方程：,結(jié)點(diǎn)1的受力狀態(tài)為（如右圖）:,結(jié)點(diǎn)1的平衡條件為:,由單元的剛度方程：,由單元的剛度方程：,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,代入結(jié)點(diǎn)1的平衡條件:,3、結(jié)點(diǎn)2的平衡方程：,同理，結(jié)點(diǎn)2的平衡條件為:,由單元的剛度方程：,由單元的剛度方程：,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,代入結(jié)點(diǎn)2的平衡條件:,4、結(jié)點(diǎn)3的平衡方程：,同理，結(jié)點(diǎn)3的平衡條件為:,由單元的剛度方程：,由單元的剛度方程：,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡

8、與整體剛度矩陣的集成,代入結(jié)點(diǎn)3的平衡條件:,5、系統(tǒng)的平衡方程：,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,6、結(jié)構(gòu)整體剛度方程,寫成矩陣形式，即可得到結(jié)構(gòu)的整體剛度方程,其中，K為結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣；,2.3.2 整體剛度矩陣的集成步驟,1、定位,單元結(jié)點(diǎn)編號(hào),2、累加,整體結(jié)點(diǎn)編號(hào),單元?jiǎng)偠认禂?shù),整體剛度系數(shù),2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,單元定位向量,1,2,3,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,例：求上例平面桁架結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣；,1、定位,單元：,1 2 3,1 2 3,(2) (1),(2) (1),2、累加,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,1、定位,單元 ：,(

9、2) (1),(2) (1),2、累加,1、定位,單元 ：,2、累加,(1) (2),(1) (2),2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣為:,將每個(gè)字塊展開，結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣為:,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,1、整體剛度矩陣的性質(zhì),2.3.2 整體剛度矩陣的集成方法,（1）剛度系數(shù)Kij的意義,分塊矩陣：,（2）單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣,反力互等定理,j結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的單位桿端位移引起的i結(jié)點(diǎn)的桿端力；,j自由度產(chǎn)生的單位桿端位移引起的i自由度的桿端力；,不分塊矩陣：,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,思考題：如何由剛度矩陣元素的意義確定整體剛度矩陣每個(gè)元素的組成

10、？,2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,1,2,3,4,練習(xí)題：利用整體剛度矩陣的意義確定以下桁架剛度矩陣元素（分塊）的組成。,2.3.2 整體剛度矩陣的集成步驟,1、定位,單元自由度編號(hào),2、累加,整體自由度編號(hào),2.3 結(jié)點(diǎn)平衡與整體剛度矩陣的集成,自由度定位向量,單元?jiǎng)偠认禂?shù),整體剛度系數(shù),練習(xí)題：利用整體剛度矩陣的意義確定以下桁架剛度矩陣元素（自由度）的組成。,2.4.1 結(jié)點(diǎn)邊界條件,2.4 邊界條件的處理,結(jié)點(diǎn)可以自由變形，整體結(jié)點(diǎn)力等于對(duì)應(yīng)的外荷載。,1、自由變形的結(jié)點(diǎn),2、約束結(jié)點(diǎn)或給定了結(jié)點(diǎn)位移的數(shù)值,約束結(jié)點(diǎn)：,給定結(jié)點(diǎn)位移：,2.4.2 邊界條件的處理方法,2.4 邊界

11、條件的處理,1）劃行劃列法,處理方法：若第i個(gè)自由度位移為零，則將總剛第i行和第i列劃掉，剛度矩陣相應(yīng)降低一階。,0,0,0,優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單易行，矩陣降階，減小計(jì)算工作量；,缺點(diǎn)：矩陣行列、位移、荷載向量需重新編號(hào)，程序?qū)崿F(xiàn)比較復(fù)雜；,只適用于約束結(jié)點(diǎn)情況；,2.4 邊界條件的處理,2）0、1置換法（填0置1法）,處理方法：將與約束自由度對(duì)應(yīng)整體剛度矩陣對(duì)角線元素全部置換成1，相應(yīng)行和列其他元素置換成0，將同一行荷載分量置換成0。,0,0,0,1,1,1,0,0,0,適用條件：只適用于約束結(jié)點(diǎn)，不適用給定位移邊界條件；,2.4 邊界條件的處理,3）乘大數(shù)法,處理方法：將與約束自由度對(duì)應(yīng)整體剛度矩陣

12、對(duì)角線元素乘以一個(gè)大數(shù)N (1010-1015)，將同一行荷載分量置換成N與對(duì)角線元素的乘積與給定位移之積。,N,N,N,NK33b1,NK44b2,NK66b3,優(yōu)點(diǎn)：處理工作量小，適用于給定位移情況；,0,0,0,2.5 單元軸力及支座反力的計(jì)算,單元軸力：,(1)整體坐標(biāo)系下的單元桿端位移,(2)整體坐標(biāo)系下的單元軸力,2.5.1 單元軸力的計(jì)算,位移和荷載向量分解為自由結(jié)點(diǎn)和約束結(jié)點(diǎn)兩部分，剛度矩陣相應(yīng)分塊，如下所示：,2.5.2 支座反力的計(jì)算,其中：,為自由位移;,為約束位移;,為外荷載;,為約束自由度結(jié)點(diǎn)力;,因此：,為支座反力;,為約束自由度結(jié)點(diǎn)荷載;,其中：,2.5 單元軸力

13、及支座反力的計(jì)算,1、計(jì)算分析題 平面桁架結(jié)構(gòu)網(wǎng)格如圖所示，已知EA=1500 kN，采用乘大數(shù)方法引入支撐條件，試求后處理法引入支撐條件后的滿陣存貯的整體剛度矩陣 K。結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算公式如下：,例題,式中：,2、計(jì)算分析題 按照有限元法的計(jì)算步驟，求圖示桁架結(jié)構(gòu)各桿軸力。已知：EA=10 kn。結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算公式如下： ：,例題,式中：,2.6 程序設(shè)計(jì),程序設(shè)計(jì)原則 完整性 擴(kuò)充性 兼容性 邏輯性 可讀性 可維護(hù)性 模塊化,2.6 程序設(shè)計(jì),程序設(shè)計(jì)流程圖（程序框圖） 什么是流程圖？ “程序流程圖”常簡(jiǎn)稱為“流程圖”，是一種傳統(tǒng)的算法表示法，程序流程圖是人們對(duì)

14、解決問題的方法、思路或算法的一種描述。它利用圖形化的符號(hào)框來代表各種不同性質(zhì)的操作，并用流程線來連接這些操作。,2、如何畫流程圖,編碼和單元測(cè)試 這個(gè)階段的任務(wù)是程序員根據(jù)目標(biāo)系統(tǒng)的性質(zhì)和實(shí)際環(huán)境，選取一種適當(dāng)?shù)母呒?jí)程序設(shè)計(jì)語言(必要時(shí)用匯編語言)，把詳細(xì)設(shè)計(jì)的結(jié)果翻譯成用選定的語言書寫的程序，并且仔細(xì)測(cè)試編寫出的每一個(gè)模塊。 程序員在書寫程序模塊時(shí)，應(yīng)使它的可讀性、可理解性和可維護(hù)性良好。,綜合測(cè)試,這個(gè)階段的任務(wù)是通過各種類型的測(cè)試，使軟件達(dá)到預(yù)定的要求。 最基本的測(cè)試是集成測(cè)試和驗(yàn)收測(cè)試。集成測(cè)試是根據(jù)設(shè)計(jì)的軟件結(jié)構(gòu)，把經(jīng)單元測(cè)試的模塊按某種選定的策略裝配起來，在裝配過程中對(duì)程序進(jìn)行必要

15、的測(cè)試。驗(yàn)收測(cè)試是按照需求規(guī)格說明書的規(guī)定，由用戶對(duì)目標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行驗(yàn)收。 通過對(duì)軟件測(cè)試結(jié)果的分析可以預(yù)測(cè)軟件的可靠性；反之，根據(jù)對(duì)軟件可靠性的要求也可以決定測(cè)試和調(diào)試過程什么時(shí)候可以結(jié)束。 在進(jìn)行測(cè)試的過程中，應(yīng)該用正式的文檔把測(cè)試計(jì)劃、詳細(xì)測(cè)試方案以及實(shí)際測(cè)試結(jié)果保存下來，作為軟件配置的一部分。,2.6 程序設(shè)計(jì),2.6.1 程序框圖,輸入數(shù)據(jù),單元局部剛度,坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣,單元整體剛度,集成整體剛度矩陣元素,約束條件處理、解方程,計(jì)算單元軸力、約束反力,單元循環(huán),包括單元、結(jié)點(diǎn)、材料、荷載、約束數(shù)據(jù),2.6 程序設(shè)計(jì),2.6.2 程序說明,1、總體剛度矩陣的半帶寬存儲(chǔ),總體剛度矩陣：,對(duì)稱稀

16、疏矩陣；,0,0,半帶寬：,總體剛度矩陣集成：,2.6 程序設(shè)計(jì),行號(hào)：,0,列號(hào)：,主對(duì)角線,半帶寬存儲(chǔ)下三角：,2.6 程序設(shè)計(jì),2、先處理法處理邊界條件,單元定位向量：,(1,2),(3,4),(5,6),后處理：,(1,2),(0,0),(3,0),劃行劃列法,先處理法：,單元定位向量：,void force() int i,j,ie,m; float dx,dy,dz,l,cx,cy,cz,ea,w7; for(ie=1; ie=ne; ie+) i=jmie1; j=jmie2; m=jmie0; w1=f2*i-2; w2=f2*i-1; w3=f2*j-2; w4=f2*j-1

17、; dx=xyj1-xyi1; dy=xyj2-xyi2;,例題,3、程序說明 下面為一個(gè)平面桁架計(jì)算程序段，試在左端有編號(hào)的程序右面寫出其注釋。（10分）,l=sqrt(dx*dx+dy*dy); cx=dx/l; cy=dy/l; ea=EAm/l; dx=w3-w1; dy=w4-w2; l=ea*(cx*dx+cy*dy); Fie=l; ,1,2,4,5,3,1、運(yùn)用有限單元法，計(jì)算圖示桁架：桿件截面積為A，彈性模量為E，結(jié)點(diǎn)2作用集中力，結(jié)點(diǎn)3給定水平位移b，要求寫出整體平衡方程及邊界條件處理方法。,作業(yè),2、運(yùn)用有限單元法程序,計(jì)算程序書第4頁作業(yè)題，要求打印輸入文件、輸出文件，

18、并畫出各個(gè)桿件的軸力圖。,3、計(jì)算分析題（15分） 平面桁架結(jié)構(gòu)網(wǎng)格如圖所示，已知EA=6000 kN，采用填0置1法（0、1置換法）引入支撐條件，試求后處理法引入支撐條件后的滿陣存貯的整體剛度矩陣 。結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算公式如下：,式中：,作業(yè),4、程序說明（10分） 下面為一個(gè)平面桁架計(jì)算程序段，左端有編號(hào)的程序部分有兩處錯(cuò)誤，請(qǐng)改正，并在沒有錯(cuò)誤的程序右面寫出其注釋。（10分）,int ekzk(int ie ) int i1,j1,i,j,i2,j2,ii,jj,ji; for(i1=1;i1=2;i1+) for(i2=1;i2=2;i2+) 1 i=2*(i1-1)+i2; 2 ii=2*jmiei1+i2; for(j1=1; j1=2; j1+) for(j2=1; j2=2; j2+) j=2*(j1-1)+j2; 3 jj=2*(jmiej1-1)+j2; 4 ji=bw+jj-ii+1; 5 if(ji=bw) Kii-1ji-1=Kii-1ji-1+ekij; ,作業(yè),