《蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件5.4數(shù)列的求和.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件5.4數(shù)列的求和.ppt（41頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、掌握數(shù)列求和的幾種常見方法 【命題預(yù)測(cè)】 數(shù)列的求和在近幾年高考中，填空題與解答題都有出現(xiàn)，重點(diǎn)以容易題和中檔題為主，基本知識(shí)以客觀題出現(xiàn)，綜合知識(shí)則多以解答題體現(xiàn)，主要是探索型和綜合型題目復(fù)習(xí)時(shí)，要具有針對(duì)性地訓(xùn)練，并以“注重?cái)?shù)學(xué)思想方法、強(qiáng)化運(yùn)算能力、重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)訓(xùn)練”的角度做好充分準(zhǔn)備,第4課時(shí) 數(shù)列的求和,【應(yīng)試對(duì)策】 1等差(比)數(shù)列的求和公式是解決其他數(shù)列的求和問題的基礎(chǔ)，在數(shù)列求 和時(shí)往往轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列的求和數(shù)列求和的常用方法： (1)基本公式法：等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列； 1222n2 n(n1)(2n1)；132333n3 n(n1)2. (2)分組

2、求和法：將原來的數(shù)列分拆成兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)列， 然后利用公式法求和,(3)裂項(xiàng)法：將數(shù)列的各項(xiàng)均分拆成兩項(xiàng)的差，然后和式子中的一些項(xiàng)相互抵消，以達(dá)到求和的目的如an ， an an 一般地，若an是公差為d的等差數(shù)列，則,(4)倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法，根據(jù)有些數(shù)列的 特點(diǎn)，將其倒寫后與原數(shù)列相加，以達(dá)到求和的目的 (5)錯(cuò)位相減法：Sna1a2an兩邊同乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)或式，然后把 所得的等式和原等式相減，對(duì)應(yīng)項(xiàng)相互抵消，最后得出前n項(xiàng)和Sn，一般適 用于數(shù)列anbn的前n項(xiàng)求和，其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列,【知識(shí)拓展】 定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果

3、每一項(xiàng)與它們后一項(xiàng)的和為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫該數(shù)列的公和已知數(shù)列an是等和數(shù)列，且a12，公和為5，則a18_.這個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為_,解析：由題意知，該數(shù)列為2,3,2,3,2,3，則a183. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn ；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn Sn 答案：3Sn,1當(dāng)已知數(shù)列an，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求 則可用 求數(shù)列的通項(xiàng)an. 2當(dāng)已知數(shù)列an中，滿足f(an1,an)f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求 則可用 求數(shù)列的通項(xiàng)an. 3等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn ， 推導(dǎo)方法：倒序相加法；,累差法,累積法,等比數(shù)列前n項(xiàng)和S

4、n 推導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減 4常見數(shù)列的前n項(xiàng)和：(1)123n ； (2)135(2n1) ； (3)122232n2 ,n2,5(1)分組求和：把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列 (2)拆項(xiàng)相消：有時(shí)把一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式分成二項(xiàng)差的形式， 相加過程消去中間項(xiàng)，再求和 (3)錯(cuò)位相減：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘 構(gòu)成的數(shù)列求和 (4)倒序相加：例如，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法,6常見的拆項(xiàng)公式有： (1) (2) (3) 思考：用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和的前提是什么？ 提示：數(shù)列中的每一項(xiàng)均能分裂成一正一負(fù)兩項(xiàng)，這是用裂項(xiàng)相消法的前提,1 數(shù)列0.9,0.99,0.999，

5、 的前n項(xiàng)和為_ 解析：數(shù)列的通項(xiàng)公式為an10.1n，其前n項(xiàng)和 Sn(10.1)(10.12)(10.1n)n(0.10.120.1n) 答案：,2 數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(1)n1(4n3)，則S100_. 解析：S100(15)(913)(4993)(41003) (4)50200. 答案：200,3 數(shù)列 ，的前n項(xiàng)和Sn的值等 于_ 解析：Sn(1352n1) 答案：,4 數(shù)列9,99,999，的前n項(xiàng)和為_ 解析：數(shù)列通項(xiàng)an10n1， 分組求和得Sn 答案：,5 (2010南京市第九中學(xué)調(diào)研測(cè)試)已知數(shù)列an滿足：an 則數(shù)列an的前100項(xiàng)的和是_ 解析：an a1a2a1

6、00 答案：,數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差或等比或可求數(shù)列前n項(xiàng)和的數(shù)列來求之,已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an3n2n1，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn. 思路點(diǎn)撥：從數(shù)列的通項(xiàng)公式可看出，數(shù)列an是由一個(gè)等差數(shù)列 3n1和一個(gè)等比數(shù)列2n構(gòu)成的，均可應(yīng)用求和公式 解：Sna1a2an(253n1)(2222n) ,【例1】,求下面數(shù)列的前n項(xiàng)和： ，. 解：前n項(xiàng)和為Sn 147(3n2)， 設(shè)T1 當(dāng)a1時(shí)，T1n；當(dāng)a1時(shí)，T1 T2147(3n2),變式1：,當(dāng)a1時(shí)，SnT1T2 當(dāng)a1時(shí)，SnT1T2,1利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定

7、只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)或前后剩的項(xiàng)更多，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等,則 此外根式在分母上時(shí)可考慮利用有理化因式相消求和,2一般情況如下，若an是等差數(shù)列，,【例2】 設(shè)正數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，滿足 (1)求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn ，記數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn. 思路點(diǎn)撥：由anSnSn1(n2)可求得an；采用裂項(xiàng)求和,解：(1)當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1 (an1)2(an11)2 整理得(anan1)(anan12)0，anan10，anan12. 當(dāng)n1時(shí)，a1S1

8、 ( a11)2，解得a11. 數(shù)列an是以a11為首項(xiàng)，以d2為公差的等差數(shù)列 an2n1.,(2),變式2：(2010東北師大附中模擬)已知數(shù)列an： ，求它的前n項(xiàng)和 解： 前n項(xiàng)和Sn,1一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前 n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法 2用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù) 列公比為負(fù)數(shù)的情形更值得注意在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng) 特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確寫出“SnqSn”的表達(dá) 式應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q1這一前提條件，如果不能 確定公比q是否為1，應(yīng)分兩種情況討論，這在近

9、幾年高考中經(jīng)?？疾?【例3】 已知數(shù)列an滿足a1，a2a1，a3a2，anan1，是首項(xiàng) 為1，公比為2的等比數(shù)列 (1)求an；(2)如果bn(2n1)an，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn. 思路點(diǎn)撥：(1)根據(jù)題意得到表達(dá)式，再用累加法求通項(xiàng)； (2)利用錯(cuò)位相減法求和,解：(1)由a11，當(dāng)n2時(shí)，anan12n1， ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)12222n1 2n1. (2)bn(2n1)an(2n1)(2n1)(2n1)2n(2n1)， Snb1b2bn 2322523(2n1)2n135(2n1) 令Tn2322523(2n1)2n 則2Tn22323524(2n3)

10、2n(2n1)2n1,得 Tn222222322n(2n1) 2n1 22(22232n)(2n1)2n1 22 (2n1)2n1 22n28(2n1)2n16(32n) 2n1， Tn(2n3)2n16，Sn(2n3)2n16 (2n3)2n1n26.,變式3：求數(shù)列ann2n的前n項(xiàng)和 解：ann2n，Sna1a2an2222n2n， 2Sn22223(n1)2nn2n1. 得：Sn222232nn2n12(2n1)n2n1， Sn(n1)2n12.,1數(shù)列求和，如果是等差、等比數(shù)列的求和，可直接用求和公式求解，公 式要做到靈活運(yùn)用 2非等差、等比數(shù)列的一般數(shù)列求和，主要有兩種思路： 轉(zhuǎn)化

11、的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法 往往通過通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相消來完成； 不能轉(zhuǎn)化為等差或等比的特殊數(shù)列，往往通過裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減 法，倒序相加法等來求和，要將例題中的幾類一般數(shù)列的求和方法記牢,【規(guī)律方法總結(jié)】,3數(shù)列求和的方法技能： 倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)相關(guān)聯(lián)的數(shù)列求和 錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和 分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和數(shù)列的求和 折項(xiàng)相消：常用的拆項(xiàng)公式有：,【例4】 已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a1 ，公比q 的等比數(shù)列， 設(shè)bn2 an(nN*)，數(shù)列cn滿足cnanbn. (1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)

12、列cn的前n項(xiàng)和Sn.,解本題易出現(xiàn)的第一個(gè)錯(cuò)誤就是求錯(cuò)數(shù)列的通項(xiàng)公式；第二個(gè)錯(cuò)誤是在用“錯(cuò)位相減”求和時(shí)對(duì)相減后的項(xiàng)處理不當(dāng)，導(dǎo)致漏掉項(xiàng)或添加項(xiàng)，這是這類求和問題最容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方,【錯(cuò)因分析】,解：(1)由題意，知an (nN*)， 又bn 2，故bn3n2(nN*) (2)由(1)，知an ，bn3n2(nN*)， cn(3n2) (nN*)， Sn + (3n2) ，,【答題模板】,于是 兩式相減，得,錯(cuò)位相減求和法 錯(cuò)位相減求和法的適用環(huán)境：數(shù)列是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積所組成的，求其前n項(xiàng)和，基本方法是設(shè)這個(gè)和式為Sn，在這個(gè)和式兩端同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比得到另一

13、個(gè)和式，這兩個(gè)和式錯(cuò)一位相減，就把問題轉(zhuǎn)化為以求一個(gè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和或前n1項(xiàng)和為主的求和問題這里最容易出現(xiàn)問題的就是錯(cuò)位相減后對(duì)剩余項(xiàng)的處理，如本例中相減后的和式要分三個(gè)部分：(1) 這個(gè)是原來數(shù)列的第一項(xiàng)；,【狀元筆記】,(2) ，這是一個(gè)等比數(shù)列的前(n1)項(xiàng)的和； (3) ，這是原來數(shù)列的第n項(xiàng)乘以公比 后在作差時(shí)出現(xiàn)的在用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和時(shí)一定要處理好這三個(gè)部分，否則就會(huì)出錯(cuò).,1 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snpn22nq(p，qR)，nN*. (1)求q的值； (2)若a1與a5的等差中項(xiàng)為18，bn滿足an21og2bn，求數(shù)列的bn前n項(xiàng)和 分析：已知數(shù)列前n項(xiàng)和的表

14、達(dá)式，求通項(xiàng)公式時(shí)，可以根據(jù)anSnSn1 消去Sn和Sn1，求得an.注意要驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)是否適合，若適合，即可合并成一個(gè)式子，如果不適合，要寫成分段的形式,解：(1)解法一：當(dāng)n1時(shí)，a1S1p2q. 當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1pn22nqp(n1)22(n1)q2pnp2. an是等差數(shù)列，p2q2pp2，q0. 解法二：當(dāng)n1時(shí)，a1S1p2q. 當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1pn22nqp(n1)22(n1)q2pnp2. 當(dāng)n3時(shí)，anan12pnp22p(n1)p22p. a2p2q2p3p2q. 又a22p2p23p2，所以3p2q3p2，得q0.,(2)a3 ，a318.又a36pp2

15、，6pp218， p4，an8n6.又an2log2bn，得bn24n3. b12， 2416， 即bn是公比為16的等比數(shù)列 所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn,2 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn) (nN*)均在函數(shù)y3x2的圖象上 (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn ，Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)和， 求使得Tn 對(duì)所有nN*都成立的最小正整數(shù)m.,解：(1)依題意得 3n2，即Sn3n22n. 當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5； 當(dāng)n1時(shí)，a1S1312211615，所以an6n5(nN*),分析：把點(diǎn) 代入y3x2，可以得到一個(gè)Sn的表達(dá)式，根據(jù)這個(gè)表達(dá)式，可以求得通項(xiàng)公式，根據(jù)求得的an代入bn ，通過拆項(xiàng)求和表示出Tn.,(2)由(1)得bn 故Tn 因此，使得 (nN*)成立的m必須滿足 ， 即m10， 故滿足要求的最小正整數(shù)m為10.,