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1、,第1章 期望效用理論,杜 曉 蓉 金融工程系,教學計劃,（一）教學大綱 期望效用理論方面的文獻綜述 期望效用理論 個體風險態(tài)度 資產定價方面的文獻綜述 經(jīng)典資產定價理論及其發(fā)展 有效市場假說,教學計劃,公司財務方面的文獻綜述 資本結構之謎 公司治理,教學計劃,（二）教材及參考文獻 陳雨露，汪昌云. 金融學文獻通論（微觀金融卷）. 中國人民大學出版社，2006年 參考文獻 經(jīng)典論文（具體見各章PPT附錄）,教學計劃,（三）教學方式 專題講授課堂報告、討論 （四）考核方法 平時成績（課堂報告、討論、作業(yè)、出勤）：40 期末成績（課程論文）：60 （五）聯(lián)系方式：,教學計劃,課堂討論的擬定題目：

2、 1、CAPM的缺陷文獻綜述 2、關于APT與CAPM關系研究的文獻綜述 3、股票價格決定因素 4、梳理中國證券市場有效性實證檢驗的文獻 5、債權期限結構影響因素的文獻綜述 6、資本結構之謎的文獻綜述 7、 亞洲家族控股企業(yè)的優(yōu)缺點，及家族控股如何影響公司價值 8、中國上市公司不同的股權結構與公司價值之間的關系文獻綜述。,一、確定條件下的效用函數(shù),主流經(jīng)濟學新古典理性對消費者的基本假定：消費者具有良好的偏好或效用函數(shù)，追求效用最大化。 滿足這一假定的消費者，叫做理性消費者。,一、確定條件下的效用函數(shù),（一）消費集合及其特點 消費集合：商品空間中那些代表可行消費活動的商品向量的全體（用

3、C表示）。 1、閉集,C為閉集，因此消費具有連續(xù)性,,一、確定條件下的效用函數(shù),2、凸集,如果 ，在S中任取兩點，其連線仍在S中，則S為凸集。 對消費集合C為凸集的意思是，如果兩個消費束 ，則對于任意實數(shù) ，消費束,,,,,一、確定條件下的效用函數(shù),一、確定條件下的效用函數(shù),,非凸,一、確定條件下的效用函數(shù),消費集合為凸性的經(jīng)濟學含義：凸性明確指出從一種可行方案過渡到另一種可行方案的最短路徑。 例如：面臨選擇為 4兩米飯 vs 4兩饅頭,,一、確定條件下的效用函數(shù),（二）偏好及其基本假定 效用：消費者消費一定數(shù)量的若干商品后所感受到的滿足程度。

4、效用是一種純主觀的心理感受，因人因時而異。 效用與偏好聯(lián)系在一起。偏好正是消費者對效用進行自我比較后得出的關于各種消費方案好壞的評價。 cardinal utility vs. ordinal utility,一、確定條件下的效用函數(shù),1、消費者的偏好關系 定義1 偏好（preference): A preference is a complete ranking of pairs of consumption (cash flow) streams. 定義2 二元關系(binary relations) ：一個集合上的二元關系是確定這個集合中兩元素之間的一種聯(lián)系。

5、定義3 偏好關系(preference relationship) ：具有完備性、自反性、傳遞性的一個二元關系,一、確定條件下的效用函數(shù),令x、y、z是商品集合C的子集，或者稱之為商品束（commodity bundle）或者消費束（consume boundle）。則可以在消費束的集合上建立下面的偏好關系（preference relation）或者偏好順序（preference ordering） ： （1） 被稱為消費者在商品x、y中，“弱偏好于”x，即消費者認為x至少與y一樣好。,,,一、確定條件下的效用函數(shù),（2） 被稱為消費者“嚴格偏好于”x，即在任何情況下，消費

6、者認為x比y好，即： ，但 不成立 （3）x y 被稱為消費者“無差異于”商品x、y，即消費者認為兩樣東西同樣好，即： x y 且,,,,,,,,,,,,,一、確定條件下的效用函數(shù),2、偏好應滿足的基本公理（Axiom)條件： 公理1 偏好具有完備性（completeness）： 有 、 與 x y 至少一個成立。 公理2 偏好有自反性（reflexivity）： ，有 。 公理3 偏好具有傳遞性(transitivity)： ，如果 ， ，則 。,,,,,,,有序,確定序,非循

7、環(huán)序,,,,,,,,,,例5 不服從傳遞性公理將導致富翁變窮人的例子 張三是窮人，李四是富翁；張三只有一個蘋果，而李四不但有一個桃子，還有一個梨子；但李四的偏好不傳遞，他認為，桃比蘋果好，蘋果比梨好，梨比桃好。,張三提出用蘋果換梨子，并要求李四找一分錢。僅花一分錢就能換來更大的滿足，李四不會不答應，成交！ 張三提出用梨子換桃子，并要求李四找一分錢，李四還會答應，成交！ 張三提出用桃子換蘋果，并要求李四找一分錢，李四依然同意，成交！,交換一直循環(huán)進行下去，李四變成窮光蛋，張三變成富翁。顯然，這樣的事情不可能發(fā)生在理性消費者身上。,梨,桃,李四的不傳遞的偏好,,,,蘋果,Money pump,一、

8、確定條件下的效用函數(shù),注：若一個二元關系同時滿足公理1-3，則稱此二元關系為等價關系（equivalence relation)或無差異關系。這樣可以將有等價關系的東西放在一起，得到無差異曲線。即對于 xC，集合 x=yC: y x 稱作 x 的等價類或者無差異類或者無差異曲線，它由兩兩無差異(一樣好)的消費方案構成。 例如：,,,,,,,一、確定條件下的效用函數(shù),（三）效用函數(shù)的存在性和唯一性 定義：假設是 定義在X上的一個正實數(shù)值函數(shù)，如果對于C中的任意兩個商品組合x，y， 的充分必要條件是 ，那么就稱函數(shù) 是消費者的效用函數(shù)。 注：但是僅在前面三個理性偏好

9、的假定下，這樣的效用函數(shù)是不一定存在的，例如字典序偏好。,,,一、確定條件下的效用函數(shù),,,衣,食,A,B,x,字典序偏好,一、確定條件下的效用函數(shù),公理4 偏好具有連續(xù)性（continuity） ： 如果 ，那么與x“充分接近的”商品組合z，也滿足 。,,,微小變動的序,,,一、確定條件下的效用函數(shù),定理：如果消費者的偏好關系滿足公理14的假定，那么這一偏好關系可以由一個連續(xù)的效用函數(shù)來表示，即可以得到一個連續(xù)的無差異曲線。 注意：這里得到的效用函數(shù)并不唯一，一個效用函數(shù)通過正單調的變換得到的另一個效用函數(shù)與原來的效用函數(shù)具有相同的偏好關系。即,公理5 偏好關系具有單調

10、性（monotonicity） ： ，如果有 ，則有 。 強單調性 ： ， 例如： 1 0 0 1 Time 0 1 Time,,,,,,,,,多總比少好,,,,,,,,,,,一、確定條件下的效用函數(shù),,,一、確定條件下的效用函數(shù),公理6 偏好具有凸性（convexity） 嚴格凸性（strict convexity） 其中，,,,,,,無差異曲線凸 向原點,,（四）確定條件下消費者效用最大化 max(u), s.t.W 其中W是由收入或財富構成的預算約束，包含收入和商品價

11、格等方面的要素。假定消費集C中的所有商品都具有一個唯一的公開市場價格： 這通常被稱為瓦爾拉預算集（walrasian budget set） ，記為： 則最大化問題為：,,,,,一、確定條件下的效用函數(shù),,一、確定條件下的效用函數(shù),,,,,消費者效用最大化的解法 1、圖示法：無差異曲線與預算線的最高切點 x1 x*1 x*2 x2,,,一、確定條件下的效用函數(shù),2、Lagrangian法 假定：（1）消費者只消費兩種不同商品x1、x2，其效用函數(shù)為U（x1.x2)，滿足： （非滿足性）， （邊際

12、效 用遞減）。 （2）假定x1、x2的價格分別為p1、p2，且價格是外生給定的，消費者的財富為w。 消費者的選擇問題可以寫成如下：,一、確定條件下的效用函數(shù),Lagrangian函數(shù)為： F.O.C. 由假定，U的二階偏導小于零，因此一階條件是充要條件。,一、確定條件下的效用函數(shù),結論： （邊際替代率=價格比） （無差異曲線斜率=預算約束線斜率）,常見效用函數(shù)的形式： 完全替代偏好的效用函數(shù)：U（x,y）=ax+by 完全互補偏好的效用函數(shù)：U（x,y）=minax,by 擬線性偏好的效用函數(shù)：U（x,

13、y）=af(x)+by 例如： U（x,y）=2ln(x)+y,一、確定條件下的效用函數(shù),柯布-道格拉斯偏好的效用函數(shù)： 練習：求解如下柯布-道格拉斯偏好效用函數(shù) （1） （2）,,,一、確定條件下的效用函數(shù),解：將（2）式帶入（1）式可得： 求一階導數(shù)： 可得：,,,,,一、確定條件下的效用函數(shù),,（一）不確定性下的理性決策原則 1、確定性下的決策原則收益最大準則 收益最大準則廣泛應用于完全沒有風險的情況下。按照這一法則，只需選取收益率最高的投資機會即可。通過正確的選擇，可以實現(xiàn)投資期末的財富最大化。 經(jīng)濟學

14、中的生產者理論和價值理論使用這一準則。,二、VNM期望效用函數(shù),二、VNM期望效用函數(shù),問題：不確定條件下效用最大化還適用嗎？ 例子 假設某人面臨兩種工作，需要從中選擇出一種。第一種工作是在私營公司里搞推銷，薪金較高，但是收入是不確定的。如果干得好，每月可掙得2000元；干得一般，每月就只能掙得1000元。假定他掙得2000元和掙得1000元的概率各為1/2。第二種工作是在國營商店當售貨員，每月工資1510元。但在國營商店營業(yè)狀況極差的情況下，每月就只能得到510元的基本工資收入。不過，一般情況下國營商店營業(yè)狀況不會極差，出現(xiàn)營業(yè)狀況極差情況的可能性只有1，因此第二種工作獲得月收入1510

15、元的可能性為99。,二、VNM期望效用函數(shù),2、不確定性下理性決策的原則 （1）數(shù)學期望最大化準則 數(shù)學期望最大化準則是指使用投資收益的預期值比較各種投資方案優(yōu)劣。 上例的解： 計算這兩種工作的預期月收入：,二、VNM期望效用函數(shù),計算這兩種工作月收入的方差 這個人會選擇哪一種工作呢？,二、VNM期望效用函數(shù),如果第一種工作在“干得好”和“干得一般”兩種情況下的月收入都比上面所述的收入要增加100元，第二種工作的收入情況還是如上，則: 在這種預期收入不同、風險不同的(工作)選擇面前，人們究竟如何選擇呢？,問題：是否期望收益最大準則就是一個最優(yōu)的決策法則呢？ 典

16、型例子：“圣彼德堡悖論”（Saint Petersburg Paradox）問題： 有這樣一場賭博：擲硬幣直到正面朝上為止。第一次就得到正面朝上的結果，則贏得1元，第二次得到正面朝上的結果，贏得2元；第三次時，得4元，......。一般情形為如果擲n次，則第 n 次贏得 2 的 n-1 次方元。問：應先付多少錢，才能使這場賭博是“公平”的？,,,,二、VNM期望效用函數(shù),二、VNM期望效用函數(shù),試驗表明為了參加這一游戲，人們愿意付出的金額在2-3元之間。 圣彼德堡悖論：人們愿意支付有限的價格與其無窮的數(shù)學期望收益之間的矛盾。,（2）期望效用準則 Daniel Bernoulli （17

17、00-1782)1738 年發(fā)表對機遇性賭博的分析提出解決“圣彼德堡悖論”的“風險度量新理論”。指出用“錢的數(shù)學期望”來作為決策函數(shù)不妥。應該用“錢的函數(shù)的數(shù)學期望”。 Bernoulli用期望效用作為最大化的目標，假設投資者關心的是期末財富的效用，從而成功解決了圣彼得堡悖論問題。,二、VNM期望效用函數(shù),二、VNM期望效用函數(shù),伯努利選擇的期望效用函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，即用alog(x) 表示效用函數(shù)，x表示財富。則對投幣游戲的期望值的計算應為對其對數(shù)函數(shù)期望值的計算：,,,其中， 為一個確定值。,二、VNM期望效用函數(shù),因此，理性個人為參加該抽獎活動所愿意支付的最大價格 可以由下列方程

18、解出： 變形得： 所以“理性決策應以4元為界”。,二、VNM期望效用函數(shù),Crammer（1728）采用冪函數(shù)的形式的效用函數(shù)對這一問題進行了分析。假定： 則 因此，理性人參加該抽獎所愿意支付的最大價格 可由下列方程解出： 可得意愿支付價格為：,,,,（二）不確定條件下的選擇問題及其對象 1、概述 金融分析面臨的不確定一般是用隨機過程來描述的，將金融資產的價格或收益的變動作為隨機變量來分析。 隨機變量有兩個要素：一是各種可能的結果，即可能的取值；二是各種可能的結果出現(xiàn)的概率，即隨機變量值的概率分布。 金融分析的不確定性就包括兩個方面：一是結果的不確定性；二是

19、達到各類結果的概率。,二、VNM期望效用函數(shù),（1）關于可能的結果 金融資產本身的性質； 市場條件； 主體約束條件； 宏觀經(jīng)濟及自然條件 金融學把不同的可能結果轉化為博彩商品及其狀態(tài)價格來賦予效用,二、VNM期望效用函數(shù),（2）關于可能結果發(fā)生的概率 客觀概率（objective probability）：在一定條件下，某一隨機事件在大量重復的試驗和統(tǒng)計觀察中出現(xiàn)的頻率。 特點: 穩(wěn)定性依賴于大數(shù)法則； 忽視小概率事件,二、VNM期望效用函數(shù),主觀概率（subjective probability） ：人們對某一隨機事件可能出現(xiàn)的頻率所做的主觀估計，這

20、個頻率就被稱為是主觀概率。包括先驗概率和后驗概率 例如：貝葉斯定理（法則） 特點： 與決策者的知識結構、心理狀態(tài)等有關； 穩(wěn)定性不高； 重視小概率事件，特定信息具有重要意義,三、VNM期望效用函數(shù),2、不確定下的選擇對象：彩票（Lottery)或未定商品（contingent commodity) 投資者的證券組合選擇抽獎lottery (1)簡單抽獎 設想消費者參加一次抽獎（lottery），C中的元素為所有可能各種獎金數(shù)額，假定C的結果是有限的。我們用N=1，，n來標示這些結果，每一結果發(fā)生的概率為 。這樣，我們可將該簡單抽獎（simple

21、lottery）記為： 在一個簡單博彩中，可能出現(xiàn)的結果是確定的,,二、VNM期望效用函數(shù),三、VNM期望效用函數(shù),（2）復合抽獎（compound lottery） 給定K個簡單抽獎 ，它們的概率為 并且 。復合式博彩 就是這樣一種風險選擇，即對于k=1,...,K, 由 的概率引發(fā)一個簡單抽獎Lk,,,,,三、VNM期望效用函數(shù),定義：一個復合抽獎是把K個簡單抽獎中每一個結果i的概率 都乘以每一個簡單抽獎k的概率，然后將它們加總起來。 復合抽彩的預期效用等于其中各抽彩的預期效用的預期效用。,（3）期望效用表述： 如果把n個結果

22、賦給一組數(shù)(u1,...,un)，C R有期望效用形式，那么對每個簡單博彩L=(p1,...,pn) C。對一件抽獎商品的期望效用表示為對抽獎結果的效用函數(shù)的數(shù)學期望: 其中， 是普通序數(shù)效用函數(shù)， 是VNM效用函數(shù)。,三、VNM期望效用函數(shù),更一般地，我們可以表述為： 其中， 是一個隨機變量。其含義為：一種未定商品的效用等于該未定商品所涉及的確定商品的效用的均值。,二、VNM期望效用函數(shù),,二、VNM期望效用函數(shù),（三）不確定條件下關于偏好的公理假定 假定彩票構成的集合為Y，彩票的可能結果構成的集合為L。消費者可以依照自身的愛好對Y中所有的彩票進

23、行排序，即在彩票Y上定義了一個消費者的二元偏好關系。,通常假定偏好關系是理性的，即偏好關系滿足以下的公理假定： 公理1 偏好具有完備性: ， ，有 與 至少一個成立。 公理2 偏好有自返性： ，有 。,,,,,,,二、VNM期望效用函數(shù),公理3 偏好具有傳遞性，即對于Y中任意商品組合 ， 和 ，如果 ， ，則 公理4 偏好具有連續(xù)性，即假設定義在Y上的偏好關系，對于Y中的任意彩票組合 ， 和 ，若 ，則存在一個實數(shù)t， ，滿足 該公理也稱之為阿基米德公理（Archimedean axiom）,其含義：概率的微小變化不會改

24、變原有的兩個抽獎商品之間的順序偏好,,,,,,,,,,,,,二、VNM期望效用函數(shù),二、VNM期望效用函數(shù),公理5 偏好具有獨立性，即對于Y中的任意兩個彩票 、 ，有： （1）若 ，那么對任意的實數(shù)t， ，及任意的 ,滿足 （2）若 ，那么對任意的實數(shù)t， ，及任意的 ,滿足 該公理也被稱為獨立性公理（independent axiom）或替代性公理（substitute axiom） ，其含義：引入一個額外的不確定性的消費計劃不會改變原有的偏好。,,,,,,,,,,,例子：假設明天有兩種狀態(tài)，天晴和下雨?？紤]如下計劃方案： C1：

25、天晴在海灘玩4個小時，下雨就看4個小時電視 C2：天晴在海灘玩2個小時然后再看2個小時電視，下雨就看4個小時電視 假設參與者的偏好為,二、VNM期望效用函數(shù),二、VNM期望效用函數(shù),現(xiàn)在提供另外兩個選擇： C3：天晴在海灘玩4個小時，下雨工作4個小時 C4：天晴在海灘玩2個小時然后再看2個小時電視，下雨就工作4個小時 此時，參與者會在C3和C4中選擇哪一個？ 獨立性公理表明，參與者會選擇C3。因為只要下雨時兩種計劃的選擇是相同的，那么下雨時具體發(fā)生什么對晴天時的偏好沒有影響。,二、VNM期望效用函數(shù),注：1、獨立性公理是不確定條件下決策理論的核心，它導致了不確定條件下

26、的選擇理論與確定條件下的選擇理論的差異。 從假定前提看，在對博彩商品的偏好上，不確定條件下的偏好假定公理用公理化假定取代了確定條件下偏好的單調性假設和凸性假設。 2、獨立性公理表明決策者對各種結果的選擇是獨立進行的，以及不同的結果是可加的。,,二、VNM期望效用函數(shù),John von Neumann (1903-1957),Oskar Morgenstern (1902-1977),1944 年在巨著對策論與經(jīng)濟行為中用數(shù)學公理化方法提出期望效用函數(shù)。這是經(jīng)濟學中首次嚴格定義風險,（四）期望效用函數(shù)（expected utility function)的公理化表述,定理（馮.諾伊曼莫根

27、斯坦(VNM)定理） ：在公理15的假定條件下，一定存在定義在集合Y上的一個實值函數(shù)u，滿足下列條件： （1） ，當且僅當 （2）對任意的 和 ，并且 ，有 u(x)是確定性條件下也成立的普通序數(shù)效用函數(shù) 則滿足這樣條件的效用函數(shù)就是期望效用函數(shù)或VMN效用函數(shù)，并且這樣的期望效用函數(shù)是唯一的,,,,,,,,二、VNM期望效用函數(shù),客觀概率,二、VNM期望效用函數(shù),期望效用函數(shù)：定義在一個隨機變量集合上的函數(shù)，它在一個隨機變量上的取值等于它作為數(shù)值函數(shù)在該隨機變量上取值的數(shù)學期望。 用它來判斷有風險的利益就是比較“錢的函數(shù)的

28、數(shù)學期望”（“而不是錢的數(shù)學期望”）。,二、VNM期望效用函數(shù),例子：若一個人的效用函數(shù)有期望效用的性質，那么當他拋硬幣決定得失一美元時，這個博彩的效用是 其中，w是初始財富 問題：這是否意味著 =0? 答：不。我們實際上并沒有定義結果的效用。,,（一） 阿萊斯悖論（關于期望效用的悖論）： 對效用理論最早的挑戰(zhàn)來自于Allais的“阿萊悖論”（Allais Paradox)的問題(1953)。,三、期望效用準則的矛盾,（法）Maurice Allais (1911-) 1986 年諾貝爾經(jīng)濟獎獲得者,現(xiàn)有A1，A2兩個備選方案，其收益情況如下所示：

29、 A1：確定地獲取100萬的凈收益； A2：以0.1的概率獲取500萬的凈收益；以0.89的概率獲取100萬的凈收益；以0.01的概率獲取0 又有另外兩個備選方案B1，B2，其收益情況為： B1：以0.1的概率獲取500萬凈收益；以0.9的概率獲取0 B2：以0.11的概率獲取100萬凈收益；以0.89的概率獲取0,三、期望效用準則的矛盾,如果面臨這樣的雙重選擇，且你選擇了A1和B1，你的偏好就和期望效用理論不一致。 理由： 與A2相比更偏好A1，表示A1的期望效用嚴格大于A2的期望效用，因此有： U(100)0.10U(500)+0.89U(100)

30、+0.01U(0) (1) 或 0.11U(100)0.10U(500)+0.01U(0) (2),三、期望效用準則的矛盾,三、期望效用準則的矛盾,同理，與B2相比更偏好B1，表示B1的期望效用嚴格大于B2，即為： 0.10U(500)+0.90U(0)0.11U(100)+0.89U(0) (3) 或 0.11U(100)<0.10U(500)+0.01U(0) (4) 顯然公式(1)、(2)與公式(3)、(4)相矛盾。要做到與效用理論一致，就要求有一個前提：與A2相比更偏好A1，當且僅當與B1相比更偏好B2。 阿萊悖論說明，實際中人們往往并不是

31、按預期效用大小來對風險行為進行評價的。,(二）阿萊斯悖論的解決方法 薩維奇（Savage）的主觀預期效用函數(shù) ：真實的效用可能采用主觀概率的非線性加權。用公式表示為： 其中，,,,三、期望效用準則的矛盾,主觀概率,三、期望效用準則的矛盾,（三）艾爾斯伯格悖論(Ellsberg paradox)(主觀概率的悖論) 袋中有紅、藍、綠三種顏色的球共300個，其中紅球100個?，F(xiàn)有四種形式的賭博： 賭博A：從袋中摸出一球，如果為紅球，可得1000元。 賭博B：從袋中摸出一球，如果為藍球，可得1000元。 賭博C：從袋中摸出一球，若不是紅球，可得1000元。 賭博D：從袋

32、中摸出一球，若不是藍球，可得1000元。 請問你會選擇哪一種賭博方式？,三、期望效用準則的矛盾,通過調查發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)人基本上都認為A優(yōu)于B，C優(yōu)于D。但這樣的偏好不符合主觀概率理論。 為了說明上述偏好違背主觀概率理論這一事實，用P表示賭博者所依據(jù)的主觀概率，u表示在這個主觀概率下的預期效用函數(shù)，F(xiàn)表示摸出紅球這一事件，G表示摸出藍球這一事件。則 表示摸出的球不是紅球， 表示摸出的球不是藍球。 從概率論知識可知： ，,三、期望效用準則的矛盾,計算一下四種賭博的效用：,四、期望效用準則的矛盾,A B，即u(A)u(B)，因此 C D，即u(C)u(D)，因此 如此得到的兩個不等式相互矛盾，這說明按照主觀概率理論不可能有 且 。然而事實卻是如此，調查發(fā)現(xiàn) 且 卻是同時發(fā)生了。因此，主觀概率理論也有不切實際的地方和時候。,,,課堂討論 股票市場指數(shù)熔斷機制及其在我國運用時的注意事項,