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1、第7章 三維變換,7.1 簡(jiǎn)介 7.2 三維幾何變換 7.3 三維坐標(biāo)變換,7.1 簡(jiǎn)介,三維平移變換、比例變換可看成是二維情況的直接推廣。但旋轉(zhuǎn)變換則不然，因?yàn)槲覀兛蛇x取空間任意方向作旋轉(zhuǎn)軸，因此三維變換處理起來更為復(fù)雜。,與二維變換相似，我們也采用齊次坐標(biāo)技術(shù)來描述空間的各點(diǎn)坐標(biāo)及其變換，這時(shí)，描述空間三維變換的變換矩陣是44的形式。 由此，一系列變換可以用單個(gè)矩陣來表示。,7.2 三維幾何變換,7.2.1 基本三維幾何變換 1. 平移變換 若空間平移量為(tx, ty, tz)，則平移變換為,P(x,y,z),P(x,y,z),x,y,z,補(bǔ)充說明：點(diǎn)的平移、物體的平移、多面體的平移、逆

2、變換,2. 比例變換,（1） 相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)的比例變換 一個(gè)點(diǎn)P=(x,y,z)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的比例變換的矩陣可表示為,x,y,z,其中,為正值。,（2） 相對(duì)于所選定的固定點(diǎn)的比例變換,z,x,y,（xf,yf,zf),z,x,y,（xf,yf,zf),z,x,y,（xf,yf,zf),z,x,y,（xf,yf,zf),(1),(2),(3),3. 繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換,三維空間中的旋轉(zhuǎn)變換比二維空間中的旋轉(zhuǎn)變換復(fù)雜。除了需要指定旋轉(zhuǎn)角外，還需指定旋轉(zhuǎn)軸。 若以坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸x,y,z分別作為旋轉(zhuǎn)軸，則點(diǎn)實(shí)際上只在垂直坐標(biāo)軸的平面上作二維旋轉(zhuǎn)。此時(shí)用二維旋轉(zhuǎn)公式就可以直接推出三維旋轉(zhuǎn)變換矩陣

3、。 規(guī)定在右手坐標(biāo)系中，物體旋轉(zhuǎn)的正方向是右手螺旋方向，即從該軸正半軸向原點(diǎn)看是逆時(shí)針方向。,（1）繞 z 軸旋轉(zhuǎn),x,x,x,y,y,y,z,z,z,（2）繞 x 軸旋轉(zhuǎn),（3）繞 y 軸旋轉(zhuǎn),繞 z 軸旋轉(zhuǎn),繞 x 軸旋轉(zhuǎn),繞 y 軸旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)，則該軸坐標(biāo)的一列元素不變。按照二維圖形變換的情況，將其旋轉(zhuǎn)矩陣,中的元素添入相應(yīng)的位置中，即,對(duì)于單位矩陣,旋轉(zhuǎn)變換矩陣規(guī)律:,，繞哪個(gè)坐標(biāo)軸,(1) 繞z軸正向旋轉(zhuǎn),角，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的z坐標(biāo)值不變, x、y,坐標(biāo)的變化相當(dāng)于在xoy平面內(nèi)作正,角旋轉(zhuǎn)。,(2)繞x軸正向旋轉(zhuǎn),角，旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的x坐標(biāo)值不變，,Y、z坐標(biāo)的變化相當(dāng)于在yoz平面內(nèi)作正,角旋

4、轉(zhuǎn)。,即,這就是說，繞y軸的旋轉(zhuǎn)變換的矩陣與繞x軸和z軸變換的矩陣從表面上看在符號(hào)上有所不同。,(3) 繞y軸正向旋轉(zhuǎn),角，y坐標(biāo)值不變，z、x的坐標(biāo)相當(dāng),于在zox平面內(nèi)作正,角旋轉(zhuǎn)，于是,7.2.2 組合變換,物體繞平行于某一坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)變換?；静襟E: (1) 平移物體使旋轉(zhuǎn)軸與所平行的坐標(biāo)軸重合; (2) 沿著該坐標(biāo)軸進(jìn)行指定角度的旋轉(zhuǎn); (3) 平移物體使旋轉(zhuǎn)軸移回到原位置。,x,y,z,x,y,z,(a),(b),y,x,z,(c),x,z,(d),繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換 (1)平移物體使旋轉(zhuǎn)軸通過坐標(biāo)原點(diǎn);,x,y,z,P1,P2,x,y,z,P1,P2,(1),(2)旋轉(zhuǎn)物體使旋轉(zhuǎn)

5、軸與某個(gè)坐標(biāo)軸(如z軸)重合; (3)關(guān)于該坐標(biāo)軸進(jìn)行指定角度的旋轉(zhuǎn);,x,y,z,P1,P2,(2),y,x,z,P1,P2,(3),(4) 應(yīng)用逆旋轉(zhuǎn)變換將旋轉(zhuǎn)軸回到原方向; (5) 應(yīng)用逆平移變換將旋轉(zhuǎn)軸變換到原位置。,x,y,z,P1,P2,(4),x,y,z,P1,P2,(5),例. 求變換AV，使過原點(diǎn)的向量V=(a,b,c)與z軸的正向一致。,x,y,z,V,x,y,z,實(shí)現(xiàn)步驟: (1)將V繞x軸旋轉(zhuǎn)到xz 平面上; (2)再繞y軸旋轉(zhuǎn)使之與z軸正向重合。,旋轉(zhuǎn)角度的確定：繞x軸旋轉(zhuǎn)的角度 等于向量V在yz 平面上的投影向量與z 軸正向的夾角。,x,y,z,V=(a,b,c),

6、V1=(0,b,c),V,V,根據(jù)矢量的點(diǎn)乘與叉乘，可以算出:,因此，,類似地，可以求出:,利用這一結(jié)果，則繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣可表示為：,x,y,z,P1,P2,x,y,z,P1,P2,1) T,x,y,z,P1,P2,2),x,z,P1,P2,3),給定具有單位長的旋轉(zhuǎn)軸A=ax,ay,az和旋轉(zhuǎn)角 ，,則物體繞OA軸旋轉(zhuǎn)變換的矩陣表示可確定如下：,A,軸角旋轉(zhuǎn),7.2.3 繞任意軸旋轉(zhuǎn)變換的簡(jiǎn)單算法,x,y,z,o,其中,表示M的轉(zhuǎn)置矩陣。,利用這一結(jié)果，則繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣可表示為：,傳統(tǒng)的方法通過繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)變換的乘積表示繞任意軸旋轉(zhuǎn)的變換。與之相比，這種方法更直觀。,x,y,

7、z,P1,P2,x,y,z,P1,P2,其中旋轉(zhuǎn)軸A=ax,ay,az為,A,7.2.4 三維變換矩陣的功能分塊,（1）三維線性變換部分 （2）三維平移變換部分 （3）透視變換部分 （4）整體比例因子,7.3 三維坐標(biāo)變換,幾何變換：在一個(gè)參考坐標(biāo)系下將物體從一個(gè)位置移動(dòng)到另一個(gè)位置的變換。 坐標(biāo)變換： 一個(gè)物體在不同坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換。如從世界坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換；觀察坐標(biāo)到設(shè)備坐標(biāo)之間的變換。再如，對(duì)物體造型時(shí)，我們通常在局部坐標(biāo)系中構(gòu)造物體，然后重新定位到用戶坐標(biāo)系。,坐標(biāo)變換的構(gòu)造方法: 與二維的情況相同，為將物體的坐標(biāo)描述從一個(gè)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為另一個(gè)系統(tǒng)，我們需要構(gòu)造一個(gè)變換矩陣，它

8、能使兩個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)重疊。具體過程分為兩步： （1）平移坐標(biāo)系統(tǒng)oxyz，使它的坐標(biāo)原點(diǎn)與新坐標(biāo)系統(tǒng)的原點(diǎn)重合； （2）進(jìn)行一些旋轉(zhuǎn)變換，使兩坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸重疊。 有多種計(jì)算坐標(biāo)變換的方法，下面我們介紹一種簡(jiǎn)單的方法。,x,y,z,(0,0,0),x,z,y,設(shè)新坐標(biāo)系oxyz 原點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0,y0,z0），相對(duì)原坐標(biāo)系其單位坐標(biāo)矢量為：,將原坐標(biāo)系xyz下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成新坐標(biāo)系xyz的坐標(biāo)可由以下兩步完成： 首先， 平移坐標(biāo)系xyz，使其原點(diǎn)與新坐標(biāo)系xyz的原點(diǎn)（x0,y0,z0）重合；,x,y,z,(0,0,0),x,z,y,x,y,z,(0,0,0),平移矩陣為：,(x,y,z),第二步，利用單位坐標(biāo)向量構(gòu)造坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)矩陣,該矩陣R將單位向量,分別變換到x,y和z 軸。,綜合以上兩步，從oxyz到oxyz的坐標(biāo)變換的矩陣為,說明：變換矩陣TR將一個(gè)直角坐標(biāo)系變換為另一個(gè)坐標(biāo)系。即使一個(gè)坐標(biāo)系是右手坐標(biāo)系，另一個(gè)為左手坐標(biāo)系，結(jié)論依然成立。,，也即坐標(biāo)變換公式為：,習(xí)題7 7-1 對(duì)于點(diǎn)P(x,y,z) ，(1) 寫出它繞x 軸旋轉(zhuǎn) 角，然后再繞y軸旋轉(zhuǎn) 角的變換矩陣。 (2)寫出它繞 y 軸旋轉(zhuǎn) 角，然后再繞 x 軸旋轉(zhuǎn) 角的變換矩陣。所得到的變換矩陣的結(jié)果一樣嗎? 7-2 寫出繞空間任意軸旋轉(zhuǎn)的變換矩陣。,