《同濟(jì)六版高數(shù)第四章第4節(jié)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《同濟(jì)六版高數(shù)第四章第4節(jié)（22頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、4.4 有理函數(shù)的積分,一、有理函數(shù)的積分,二、可化為有理函數(shù)的積分舉例,,一、有理函數(shù)的積分,有理函數(shù)的形式,當(dāng)nm時(shí), 稱這有理函數(shù)是真分式; 而當(dāng)nm時(shí), 稱這有理函數(shù)是假分式.,有理函數(shù)是指由兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù), 即具有如下形式的函數(shù):,假分式總可以化成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和的形式. .,有理函數(shù),多項(xiàng)式 + 真分 式,,,分解,其中部分分式的形式為,若干部分分式之和,例如,例1. 將下列真分式分解為部分分式 :,解:,(1) 用拼湊法,(2) 用賦值法,,,故,四種典型部分分式的積分:,,變分子為,再分項(xiàng)積分,提示：,求真分式的不定積分時(shí), 如果分母可因式分解, 則先因式

2、分解, 然后化成部分分式再積分.,解,例1,分母可因式分解的真分式的不定積分,AB1 2A3B3,A6 B5,提示：,解,例2,求真分式的不定積分時(shí), 如果分母可因式分解, 則先因式分解, 然后化成部分分式再積分.,分母可因式分解的真分式的不定積分,提示：,解,例3,分母是二次質(zhì)因式的真分式的不定積分,例4. 求,解:,說明: 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,,但不一定簡便 ,,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求,簡便的方法.,例5. 求,解: 原式,注意本題技巧,,按常規(guī)方法較繁,,,按常規(guī)方法解:,第一步 令,比較系數(shù)定 a , b , c , d . 得,第二步 化為部分分式 .

3、即令,比較系數(shù)定 A , B , C , D .,第三步 分項(xiàng)積分 .,此解法較繁 !,二、可化為有理函數(shù)的積分舉例,三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù).,用于三角函數(shù)有理式積分的變量代換,三角函數(shù)有理式的積分,提示：,,解,例4,,解,例4,說明：,并非所有的三角函數(shù)有理式的積分都要通過上述代換化為有理函數(shù)的積分. 因?yàn)檫@種代換不一定是最簡捷的代換.,請(qǐng)看如下積分:,,無理函數(shù)的積分一般采用第二類換元法把根號(hào)消去.,解,簡單無理函數(shù)的積分,例5,解,無理函數(shù)的積分一般采用第二類換元法把根號(hào)消去.,簡單無理函數(shù)的積分,例6,設(shè) ,即xu32,則,解,無理函數(shù)的積分一般采用第二類換元法把根號(hào)消去.,簡單無理函數(shù)的積分,例7,設(shè)xt6,于是dx6t5dt,從而,解,無理函數(shù)的積分一般采用第二類換元法把根號(hào)消去.,簡單無理函數(shù)的積分,例8,內(nèi)容小結(jié),1. 可積函數(shù)的特殊類型,有理函數(shù),,分解,多項(xiàng)式及部分分式之和,三角函數(shù)有理式,,萬能代換,簡單無理函數(shù),,三角代換,,根式代換,2. 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出,,但不一定,要注意綜合使用基本積分法 ,,簡便計(jì)算 .,簡便 ,,思考與練習(xí),如何求下列積分更簡便 ?,解: 1.,,2. 原式,