《高等數學備課資料：第十一章 曲線積分與曲面積分 06 第六節(jié) 高斯公式 通量與散度》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高等數學備課資料：第十一章 曲線積分與曲面積分 06 第六節(jié) 高斯公式 通量與散度（4頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第六節(jié) 高斯公式 通量與散度 格林公式揭示了平面區(qū)域上的二重積分與該區(qū)域的邊界曲線上的曲線積分之間的關系. 本節(jié)要介紹的高斯公式則揭示了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系. 可以認為高斯公式是格林公式在三維空間中的推廣. 分布圖示 ★ 高斯公式 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件 ★ 通量與散度 ★ 例5 ★ 內容小結 ★ 課堂練習 ★ 習題11-6 ★ 返回 內容要點 一、高斯公式 定理1設空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面圍成，函數、、在上具有一階連續(xù)偏導數

2、，則有公式 (6.1) 這里是的整個邊界曲面的外側, 是上點處的法向量的方向余弦. (6.1)式稱為高斯公式. 若曲面與平行于坐標軸的直線的交點多余兩個，可用光滑曲面將有界閉區(qū)域分割成若干個小區(qū)域，使得圍成每個小區(qū)域的閉曲面滿足定理的條件，從而高斯公式仍是成立的. 此外，根據兩類曲面積分之間的關系，高斯公式也可表為 二、通量與散度 一般地，設有向量場 , 其中函數、、有一階連續(xù)偏導數，是場內的一片有向曲面，是曲面的單位法向量. 則沿曲面的第二類曲面積分 稱為向量場通過曲面流向指定側的通量. 而 稱為向量場的散度，記為，即 .

3、(6.5) 例題選講 利用高斯公式計算 例1（E01）計算曲面積分其中為柱面及平面所圍成的空間閉區(qū)域的整個邊界曲面的外側（圖10-6-2）. 解 利用高斯公式，得 原式=（利用柱面坐標） 例2（E02）計算 其中為旋轉拋物面在部分的外側. 解 作輔助平面 則平面與曲面圍成空間有界閉區(qū)域 由高斯公式得 例3（E03）計算 其中為 錐面, 為此曲面外法線向量的方向余弦. 解 補充平面取的上側，則構成封閉曲面， 設其所圍成空間區(qū)域為 于是 而 故 例4（E04）證明: 若為包圍

4、有界域的光滑曲面, 則 其中為函數沿曲面的外法線方向的方向導數，,在上具有一階和二階連續(xù)偏導數，符號稱為拉普拉斯算子. 這個公式稱為格林第一公式. 證 因為 ，其中是在點處 的外法線的方向余弦，于是 將上式右端移至左端即得所要證明的等式. 通量與散度 例5（E05）求向量場的流量 (1) 穿過圓錐的底(向上); (2) 穿過此圓錐的側表面（向外）. 解 設及分別為此圓錐的面，側面及全表面，則穿過全表面向外的流量 (1) 穿過底面向上的流量 (2) 穿過側表面向外的流量 課堂練習 1.利用高斯公式計算 其中為球面的外側. 2.求向量場的散度.