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1、1計(jì)算下列各題的差分:;【解】?!窘狻?。2求下列差分方程的通解:;【解】這是一階常系數(shù)非齊次線性差分方程,先求其對應(yīng)齊次差分方程的通解:由得,可知通解為,再求非齊次線性差分方程的一個(gè)特解:由于方程右邊為一次多項(xiàng)式,可知可以為多項(xiàng)式,而一階差分的結(jié)果比高一次,因此可設(shè)方程有特解,將該特解代入方程,得,即為,對比應(yīng)有,解之得,故有,從而所求方程的通解為。;【解】這是一階常系數(shù)非齊次線性差分方程,先求其對應(yīng)齊次差分方程的通解:由得,可知通解為,再求非齊次線性差分方程的一個(gè)特解:由于方程右邊為二次多項(xiàng)式,可知可以為多項(xiàng)式,再因的結(jié)果與同次,因此可設(shè)為方程的一個(gè)特解,代入方程,得,即為,對比應(yīng)有,解之得
2、,故方程有特解,從而所求方程的通解為。;【解】這是一階常系數(shù)非齊次線性差分方程,先求其對應(yīng)齊次差分方程的通解:由得,可知通解為,再求非齊次線性差分方程的一個(gè)特解:由于方程右邊含指數(shù)函數(shù),可知應(yīng)含,又因,可知應(yīng)含多項(xiàng)式,易見所含的多項(xiàng)式與所含的多項(xiàng)式同次,而方程右邊所含多項(xiàng)式為0次的,故可設(shè)所含的多項(xiàng)式為0次的,因此可設(shè)為方程的一個(gè)特解,代入方程,得,整理得,解得,故有,從而所求方程的通解為?!窘狻窟@是一階常系數(shù)非齊次線性差分方程,先求其對應(yīng)齊次差分方程的通解:由得,可知通解為,再求非齊次線性差分方程的一個(gè)特解:由于方程右邊為0次多項(xiàng)式1,可知可以為多項(xiàng)式,再因的結(jié)果與同次,因此可設(shè)方程特解為,
3、代入方程,得,亦即,解得即得,故有,從而所求方程的通解為。3求下列二階差分方程的通解:;【解】這是二階常系數(shù)線性齊次差分方程,其特征方程有兩個(gè)相異實(shí)根,根據(jù)相異特征根,對應(yīng)方程有兩個(gè)特解,可知方程有兩個(gè)特解為,由于常數(shù),知與線性無關(guān),從而得差分方程的通解為。;【解】這是二階常系數(shù)線性齊次差分方程,其特征方程,方程有兩個(gè)共軛復(fù)根,根據(jù)共軛復(fù)根對應(yīng)方程兩個(gè)特解,其中,可得:由于,而得,于是方程有兩個(gè)特解為,由于常數(shù),知與線性無關(guān),從而得差分方程的通解為。;【解】這是二階常系數(shù)線性非齊次差分方程,先求齊次差分方程的通解:由于特征方程有兩個(gè)實(shí)重根,于是方程有一個(gè)特解為,可以驗(yàn)證,方程有另一特解為,由于
4、常數(shù),知與線性無關(guān),從而得差分方程的通解為。再求非齊次差分方程的一個(gè)特解:由于方程右邊為0次多項(xiàng)式3,可知可以為多項(xiàng)式,再因的運(yùn)算結(jié)果與同次,因此可設(shè)方程有特解為,代入方程,得,整理得,即知方程有特解為。綜上得,方程的通解為?!窘狻窟@是二階常系數(shù)線性非齊次差分方程,先求齊次差分方程的通解:由于特征方程有兩個(gè)實(shí)重根,于是方程有一個(gè)特解為,可以驗(yàn)證,方程有另一特解為,由于常數(shù),知與線性無關(guān),從而得差分方程的通解為。再求非齊次差分方程的一個(gè)特解:由于方程右邊含因子,可知必含因子,去掉因子后,還可以含多項(xiàng)式,因此可設(shè)方程有特解,代入方程,得,整理得,再因的運(yùn)算結(jié)果比低2次,因此可設(shè)為,代入方程,得,可取,即知方程有特解為。綜上得,方程的通解為。