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1、2020/9/8,1,如果時(shí)間被作為離散變量，即變量t僅取整數(shù)值，那么，導(dǎo)數(shù)的概念將不再適用。微分方程被差分方程所取代。 差分方程就是同時(shí)包含了內(nèi)生變量現(xiàn)值和滯后值的等式。,CH7 差分方程,2020/9/8,2,一、離散時(shí)間、差分與差分方程,在離散情況下，僅當(dāng)變量t從一個(gè)整數(shù)變?yōu)榱硗庖粋€(gè)整數(shù)值時(shí)，例如t=1變?yōu)閠=2時(shí)，y的值才會(huì)變化。 現(xiàn)在的變化模式用差商y/t來表示。它是導(dǎo)數(shù)dy/dt在離散時(shí)間下的對應(yīng)物。 由于時(shí)間變量t僅取整數(shù)值，因此在分析相鄰兩個(gè)連續(xù)時(shí)期的y的變化時(shí)， t=1，差商y/t可以簡化為y，稱為y的一階差分。 一階差分： yt=yt+1-yt 二階差分： 2yt= ( y

2、t) = (yt+1-yt)= (yt+2-yt+1)- (yt+1-yt),2020/9/8,3,一階差分方程：yt+1=f(yt) 例子：一階線性差分方程 yt=2yt+1-yt=2 yt=yt yt+1-yt=yt yt+1=2yt 一階線性差分方程一般形式： yt+1+ayt=x(t) 如果x(t)=0，方程是齊次方程：如果數(shù)列yt滿足方程，則數(shù)列kyt也滿足方程。 m階差分方程： yt+m=f(yt+m-1, yt+m-2,，yt),2020/9/8,4,二、一階差分方程的解法,解法： 1、作圖。 2、解析解。,2020/9/8,5,1、圖解法,一階差分方程：yt+1=f(yt) 第

3、一步：計(jì)算穩(wěn)態(tài)值或均衡值。 當(dāng)yt+1=yt=y*，即y*=f(y*)時(shí)，離散動(dòng)態(tài)系統(tǒng)達(dá)到均衡， y*是系統(tǒng)的均衡值。 第二步：以yt+1為縱軸，以yt為橫軸，判斷均衡是否是穩(wěn)定的。,2020/9/8,6,例1：yt+1-0.5yt=1 寫成：yt+1=0.5yt+1 令yt+1=yt=y*，帶入原方程，可以得到均衡值：y*=2。 例2：yt+1-2yt=-1,yt,yt+1,yt+1=0.5yt+1,2,2,y0,y1,y1,y2,穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài),變化過程： 給定一個(gè)初始值y0，運(yùn)動(dòng)開始。在第1期得到y(tǒng)1，通過45線可以在橫軸上得到y(tǒng)1。由此可以得到第2時(shí)期的y2。,2020/9/8,7,例3：

4、一階非線性差分方程 yt+1=2yt-yt2 首先計(jì)算均衡點(diǎn)： y=2y-y2 y*=0,y*=1。 令yt+1=0,可以得到在橫軸上的截距：0和2。,yt,yt+1,0,2,1,1,系統(tǒng)在y*=0點(diǎn)是不穩(wěn)定的；在y*=1點(diǎn)是穩(wěn)定的。,y0,y1,y1,y2,2020/9/8,8,穩(wěn)定性總結(jié),一階差分方程：yt+1=f(yt) 均衡值為y*。,2020/9/8,9,練習(xí)：蛛網(wǎng)模型,在時(shí)間t的需求qtd取決于當(dāng)前市場價(jià)格pt，供給qts取決于上期的價(jià)格pt-1。當(dāng)需求等于供給時(shí)，市場出清。 判斷供求均衡是否穩(wěn)定。 供求模型： qtd=a-bpt qts=-c+dpt-1 qtd= qts a,b

5、,c,d0,q,p,p0,q1,p1,q2,p2,S斜率=1/d,D斜率=-1/b,結(jié)論： 當(dāng)供給曲線的斜率大于需求曲線的斜率，即db時(shí)，模型是收斂的。反之則是發(fā)散的。當(dāng)二者相等時(shí)，模型是循環(huán)的。,2020/9/8,10,蛛網(wǎng)模型,將需求曲線和供給曲線代入到均衡方程，得到： pt=(a+c)/b-(d/b)pt-1 這是一個(gè)一階非齊次線性差分方程。 當(dāng)價(jià)格不變時(shí)，供求達(dá)到均衡。 p*=(a+c)/b-(d/b)p* 均衡價(jià)格p*=(a+c)/(b+d),Pt-1,pt,p*,當(dāng)(d/b)1時(shí)，模型是發(fā)散的；反之則是收斂的。,2020/9/8,11,2、解析法,迭代法 例1：yt+1=yt+2，

6、已知y0=10。 求解： y1=y0+2 y2=y1+2=y0+2+2=y0+22 y3=y2+2=y0+22+2=y0+32 yt=y0+t2=10+2t,例2：yt+1-byt=0 求解： yt+1=byt y1=by0 y2=by1=bby0=b2y0 yt=bty0,b的絕對值小于1，y收斂。,2020/9/8,12,一般方法,1、常系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的一階線性差分方程： yt+1+ayt=c 其中，a和c是兩個(gè)常數(shù)。 方程的通解由兩部分的和構(gòu)成：特別積分yp（它是方程的一個(gè)任意解），余函數(shù)yc（它是齊次方程yt+1+ayt=0的通解）。 解的含義：特別積分表示系統(tǒng)的瞬時(shí)均衡值，余函數(shù)表示時(shí)

7、間路徑與均衡的偏離。 余函數(shù)的計(jì)算： 假設(shè)變量的解為：yt=Abt 代入齊次方程得到：Abt+1+aAbt=0 消去非零公因子Abt，得到b=-a 因此，余函數(shù)為：yc=A(-a)t,2020/9/8,13,特別積分的計(jì)算： 特別積分是原方程的任意解，假設(shè)為常數(shù)k。則yt+1=yt=k，即k為系統(tǒng)的瞬時(shí)均衡值。 將k代入原方程，得到:k+ak=c 特別積分為：yp=k=c/(1+a)，a-1。 如果a=-1，那么就假設(shè)yt=kt，yt+1=k(t+1)。 代入原方程得到：k=c。 特別積分為：yp=kt=ct，a=-1。表示移動(dòng)均衡。,2020/9/8,14,將特別積分和余函數(shù)相加就可以得到原

8、方程的通解。,a-1,a=-1,2020/9/8,15,練習(xí),求解一階線性差分方程： yt+1-5yt=1,y0=7/4 余函數(shù)：yc=A5t 特別積分：yp=-1/4 通解為：yt=A5t -1/4 初始條件：t=0時(shí),y0=7/4,代入得到：A=2。 答案： yt=25t -1/4,2020/9/8,16,2、常系數(shù)和可變項(xiàng)的一階線性差分方程 yt=ayt-1+mt mt是一個(gè)外生的時(shí)間函數(shù)，也被稱為強(qiáng)制性函數(shù)。 如果系數(shù)a的絕對值小于1，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之則是不穩(wěn)定的。 第一種情況：a的絕對值小于1。 對于任意變量yt，定義滯后因子L為： Lyt=yt-1, Lnyt=yt-n。 原方程

9、可以表述為：(1-aL)yt=mt 由于(1-aL)(1+aL+a2L2+a3L3+)=1 所以(1-aL)-1= 1+aL+a2L2+a3L3+,2020/9/8,17,該項(xiàng)即為特別積分。當(dāng)mt為常數(shù)m時(shí)，yt=m/(1-a)。余函數(shù)為齊次方程的解。,例子：定義Kt為t期期末的資本存量。資本存量的變化如下：,解為：,t時(shí)期的資本存量等于第1時(shí)期到t時(shí)期的未折舊的投資總量加上0時(shí)期的未折舊的初始資本存量。,2020/9/8,18,第二種情況：a的絕對值大于1。 yt=ayt-1+mt 在這種情況下，yt是發(fā)散的。對于一些經(jīng)濟(jì)問題來說，這樣的結(jié)果沒有意義。另外，一些前瞻性（forward-loo

10、king）的經(jīng)濟(jì)變量，如資產(chǎn)價(jià)格，主要取決于未來變化。 定義提前因子L-1為：L-1yt=yt+1 原方程變?yōu)椋?L-1-a)yt-1=L-1mt-1 將上式提前一個(gè)時(shí)期，并乘以-a-1，得到： (1-a-1L-1)yt=-a-1L-1mt 由于(1-a-1L-1)(1+a-1L-1+a-2L-2+a-3L-3+)=1 所以(1-a-1L-1)-1= 1+a-1L-1+a-2L-2+a-3L-3+,2020/9/8,19,在許多經(jīng)濟(jì)模型中，變量會(huì)自動(dòng)調(diào)整使A=0，即經(jīng)濟(jì)中沒有自致的投機(jī)性資產(chǎn)價(jià)格泡沫。余函數(shù)將為零。,2020/9/8,20,3、隨機(jī)線性差分方程,已知隨機(jī)線性差分方程： Et-1

11、yt=ayt-1+Et-1mt a的絕對值大于1。 將方程前推一個(gè)時(shí)期，并引入t時(shí)期的預(yù)期： Etyt+1=aEtyt+Etmt+1, 在該方程中，yt是t時(shí)所知信息惟一決定的變量，因此Etyt=yt 利用提前因子L-1建立t期和t+1期的聯(lián)系： L-1Etyt= EtL-1yt= Etyt+1 由此可以將差分方程表述為： (1-a-1L-1) Etyt=-a-1L-1Etmt,假設(shè)余函數(shù)為零，得到方程的解：,2020/9/8,21,三、均衡的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性,由于一階差分方程的通解由特別積分和余函數(shù)組成，前者一般為常數(shù)，因此，動(dòng)態(tài)的穩(wěn)定性取決于余函數(shù)。 余函數(shù)的一般形式為Abt，因此它的變動(dòng)：,2

12、020/9/8,22,四、二階差分方程,當(dāng)t期的經(jīng)濟(jì)變量yt不僅取決于滯后一期的數(shù)量yt-1，而且取決于滯后兩期的數(shù)量yt-2，這時(shí)就需要二階差分方程。 二階差分： 2yt= ( yt) = (yt+1-yt)= (yt+2-yt+1)- (yt+1-yt)= yt+2-2yt+1+yt 2yt與連續(xù)時(shí)間的d2y/dt2相對應(yīng)。,2020/9/8,23,常系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的二階線性差分方程,求解：yt+2+a1yt+1+a2yt=c 與一階線性差分方程一樣，其解由兩部分組成： 表示y的瞬時(shí)均衡水平的特別積分yp 表示每一時(shí)期與均衡偏離的余函數(shù)yc。,2020/9/8,24,特別積分,2020/9/

13、8,25,余函數(shù),余函數(shù)是齊次方程yt+2+a1yt+1+a2yt=0的通解，形式一般為yt=Abt。代入方程并消去公因子得到原方程或齊次方程的特征方程： b2+a1b+a2=0 具有兩個(gè)特征根：,第一種情況：a124a2，存在不同的實(shí)根。余函數(shù)yc=A1b1t+A2b2t,第二種情況：a124a2，存在相同的實(shí)根。b=b1=b2=-a1/2 余函數(shù)yc=A1bt+A2tbt,時(shí)間路徑的收斂性：b1和b2的絕對值都大于1，余函數(shù)發(fā)散；都小于1則收斂到0；如果一個(gè)絕對值大于1，一個(gè)小于1，那么后者隨時(shí)間推移而消失，路徑發(fā)散。,時(shí)間路徑的收斂性：如果b的絕對值大于1，余函數(shù)發(fā)散；如果b的絕對值小于

14、1，那么bt的衰減力量超過t的放大力量，路徑收斂。,2020/9/8,26,第三種情況：a124a2,特征根為共軛復(fù)根。,時(shí)間路徑的收斂性：時(shí)間路徑為周期性的階梯波動(dòng)。當(dāng)R1時(shí)，波動(dòng)逐漸縮減。,2020/9/8,27,五、差分方程組,求解一階差分方程組：yt=Ayt-1+mt 其中，yt和mt是n1列向量，A是nn常系數(shù)矩陣。 定義zt=V-1yt，V是特征向量矩陣 則zt=V-1yt=V-1Ayt-1+V-1mt=Dzt-1+V-1mt D是特征值對角矩陣 yt=Vzt,例子：二階差分方程組的穩(wěn)定性,2020/9/8,28,系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系數(shù)矩陣的特征根。,如果兩個(gè)特征根的絕對值都小于1，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,如果兩個(gè)特征根的絕對值都大于1，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,如果一個(gè)的絕對值大于1，另一個(gè)的絕對值都小于1，系統(tǒng)是鞍點(diǎn)穩(wěn)定的。,