《《創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考總復(fù)習(xí)》配套學(xué)案離散型隨機(jī)變量及其分布列》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考總復(fù)習(xí)》配套學(xué)案離散型隨機(jī)變量及其分布列（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4講離散型隨機(jī)變量及其分布列最新考綱1理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念，了解分布列對(duì)于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性2理解超幾何分布及其導(dǎo)出過(guò)程，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用.知識(shí)梳理1離散型隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量2離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個(gè)值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，則表XPx1p1x2p2xipixnpn稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)pi0(i1,2，n)；p1p2pn13常見(jiàn)離散型

2、隨機(jī)變量的分布列(1)兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其分布列為XP01p1p，其中pP(X1)稱為成功概率(2)超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次CkMCNnkM，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，品，則P(Xk)nCNMN，n，M，NN*，稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.XP00n0CMCNMCnN11n1CMCNMCnNmnmCmMCNMCnN學(xué)生用書第188頁(yè)辨析感悟1離散型隨機(jī)變量(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量()(2)離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.()(3)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的

3、事件是彼此互斥的()2分布列的性質(zhì)及兩個(gè)特殊的概率分布(4)如果隨機(jī)變量X的分布列由下表給出：X25P0.30.7則它服從二點(diǎn)分布()(5)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布()i(6)(教材習(xí)題改編)已知隨機(jī)變量X的分布列為P(Xi)2a(i1,2,3,4)，則P(2X4)0.7.()感悟提升1離散型隨機(jī)變量的特點(diǎn)一是在試驗(yàn)之前不能斷言隨機(jī)變量取什么值，即具有隨機(jī)性；二是在大量重復(fù)試驗(yàn)中能按一定統(tǒng)計(jì)規(guī)律取值的變量，即存在統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，如(1)、(3)2分布列的兩條性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的分布列指出了隨機(jī)變量X的取值范圍以及取各值的概率，如(6)；要理解兩種特殊的概

4、率分布兩點(diǎn)分布與超幾何分布，如(4)、(5)；并善于靈活運(yùn)用兩性質(zhì)：一是pi0(i1,2，)；二是p1p2pn1檢驗(yàn)分布列的正誤，如(2)考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)【例1】設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為XP00.210.120.130.34m求隨機(jī)變量Y|X1|的分布列解由分布列的性質(zhì)，知020.10.10.3m1，m0.3.列表X|X1|0110213243P(Y1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(Y0)P(X1)0.1，P(Y2)0.3，P(Y3)0.3.因此Y|X1|的分布列為：YP00.110.320.330.3規(guī)律方法(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時(shí)

5、要注意檢驗(yàn)，以保證每個(gè)概率值均為非負(fù)數(shù)(2)若X是隨機(jī)變量，則Y|X1|仍然是隨機(jī)變量，求它的分布列可先求出相應(yīng)隨機(jī)變量的值，再根據(jù)互斥事件概率加法求Y取各值的概率，進(jìn)而寫出分布列【訓(xùn)練1】隨機(jī)變量X的分布列如下：XP1a0b1cC12C35C22C256C47.C31C4P(X1)C435，P(X2)C435，P(X3)C47，P(X4)C47.其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|1)_.2bac，解析由題意知abc1，12則2b1b，則b3，ac3，2所以P(|X|1)P(X1)P(X1)ac3.2答案3考點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的分布列【例2】(2013天津卷)一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有

6、紅色卡片4張，編號(hào)分別為1,2,3,4；白色卡片3張，編號(hào)分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)(1)求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率；(2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望審題路線(1)編號(hào)為3的卡片來(lái)源有兩類，利用古典概型求事件的概率(2)根據(jù)任取4張卡片的不同情況確定X的所有可能取值，然后求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而確定分布列、計(jì)算數(shù)學(xué)期望解(1)設(shè)“取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片”為事件A，則P(A)76所以取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率為7.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,

7、3,4.47733C52C6477所以隨機(jī)變量X的分布列是XP11352435327447且P(X3)C342，P(X4)C321，C42C155C34P(X5)C314，P(X6)C321.142417隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)13523537475.學(xué)生用書第189頁(yè)規(guī)律方法(1)求隨機(jī)變量的分布列的主要步驟：明確隨機(jī)變量的取值，并確定隨機(jī)變量服從何種概率分布；求每一個(gè)隨機(jī)變量取值的概率；列成表格(2)求出分布列后注意運(yùn)用分布列的兩條性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列是否正確【訓(xùn)練2】(2014青島質(zhì)檢)已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，且規(guī)定：取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分現(xiàn)從該箱中任取(無(wú)放

8、回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球，記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和(1)求X的分布列；(2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X)解(1)由題意得X取3,4,5,6，315C55C4C21099199所以X的分布列為XP3542410215514612113(2)由(1)知E(X)3P(X3)4P(X4)5P(X5)6P(X6)3.考點(diǎn)三超幾何分布問(wèn)題【例3】(2014哈爾濱調(diào)研)PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣

9、質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)從某自然保護(hù)區(qū)2013年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方25,35(35,45(45,55(55,65(65,75(75,85P(A)C340.P(Xk)C3(k0,1,2,3)，P(X0)C324，P(X1)C340，P(X2)C340，P(X3)C337120，米)頻數(shù)311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)記X表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求X的分布列審

10、題路線(1)由頻數(shù)分布表，知10天中僅有3天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)，利用古典概型可求第(1)問(wèn)中的概率(2)超標(biāo)的天數(shù)X服從超幾何分布利用超幾何分布的概率公式代入求解解(1)記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)”為事件A，則17C3C22110(2)依據(jù)條件，X服從超幾何分布，其中N10，M3，n3，且隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3.k7kC3C31007C3C371017C3C2211027C3C1710C3C0110因此X的分布列為XP072412140274031120C10x7則P(A)1C29，其中P(Xk)C3，k0,1,2,3.規(guī)律方法

11、(1)求解本題的關(guān)鍵在于：從統(tǒng)計(jì)圖表中準(zhǔn)確提取信息；明確隨機(jī)變量X服從超幾何分布(2)超幾何分布描述的是不放回抽樣問(wèn)題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)超幾何分布的特征是：考察對(duì)象分兩類；已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型【訓(xùn)練3】一袋中裝有10個(gè)大小相同的黑球和白球已知從袋中任意摸出2個(gè)7球，至少得到1個(gè)白球的概率是9.(1)求白球的個(gè)數(shù)；(2)從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列解(1)記“從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球”為事件A，設(shè)袋中白球的個(gè)數(shù)為

12、x，210得到x5.故白球有5個(gè)(2)X服從超幾何分布，其中N10，M5，n3，k5C5C3k10于是可得其分布列為XP01121512251231121求分布列的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的所有可能值及對(duì)應(yīng)的概率，要注意避免分類不全面或計(jì)算錯(cuò)誤2注意運(yùn)用分布列的兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)求得分布列的正誤3求概率分布的常見(jiàn)類型(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)表求離散型隨機(jī)變量的分布列；(2)由古典概型求離散型隨機(jī)變量的分布列；(3)由互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率求離散型隨機(jī)變量的分布列學(xué)生用書第190頁(yè)思想方法11分類討論思想在概率中的應(yīng)用【典例】在一個(gè)盒子中，放有標(biāo)號(hào)分別為1,

13、2,3的三張卡片，現(xiàn)從這個(gè)盒子中，有放回地先后抽得兩張卡片的標(biāo)號(hào)分別為x，y，記X|x2|yx|.(1)求隨機(jī)變量X的最大值，并求事件“X取得最大值”的概率；(2)求隨機(jī)變量X的分布列解(1)x，y可能的取值為1,2,3，|x2|1，|yx|2，X3，且當(dāng)x1，y3或x3，y1時(shí)，X3.因此，隨機(jī)變量X的最大值為3.有放回地抽兩張卡片的所有情況有339(種)，2P(X3)9.2故隨機(jī)變量X的最大值為3，事件“X取得最大值”的概率為9.(2)X的所有取值為0,1,2,3.X0時(shí)，只有x2，y2這一種情況，X1時(shí)，有x1，y1或x2，y1或x2，y3或x3，y3四種情況，X2時(shí)，有x1，y2或x3

14、，y2兩種情況142P(X0)9，P(X1)9，P(X2)9.則隨機(jī)變量X的分布列為XP0191492293298C32因此P(X0)C211，故P(X2)C211，反思感悟(1)解決本題的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的所有可能值及對(duì)應(yīng)的概率(2)隨機(jī)變量X的值是x，y的函數(shù)，所以要對(duì)x，y的取值進(jìn)行分類討論(3)分類不全面或計(jì)算錯(cuò)誤是本題易錯(cuò)點(diǎn)【自主體驗(yàn)】(2012江蘇卷)設(shè)X為隨機(jī)變量，從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，X0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，X的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，X1.求隨機(jī)變量X的分布列解若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為正方體8個(gè)頂點(diǎn)中的1個(gè)，過(guò)任意1個(gè)頂點(diǎn)恰

15、有3條棱，所以共有8C23對(duì)相交棱，412若兩條棱平行，則它們的距離為1或2，其中距離為2的共有6對(duì)，6112416于是P(X1)1P(X0)P(X2)1111111，所以隨機(jī)變量X的分布列是XP041116112111基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1(2014武漢模擬)從裝有3個(gè)白球，4個(gè)紅球的箱子中，隨機(jī)取出了3個(gè)球，恰好是2個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率是4A.3512C.35()6B.3536D.343問(wèn)題，故所求概率為PC335.解析如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個(gè)超幾何分布4C23C1127答案C2設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為：XP10.5012q1

16、q2則q等于A12C12解析由分布列的性質(zhì)得：()2B122D12q12.012q1，0q21，0.512qq2120q1，22q12.答案C3設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X0)等于112A0B.2C.3D.3()解析由已知得X的所有可能取值為0,1，且P(X1)2P(X0)，1由P(X1)P(X0)1，得P(X0)3.答案C4在15個(gè)村莊有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于C10的是8C47C615()AP(X2)CP(X4)BP(X2)DP(X4)解析X服從超幾何分布，故P(

17、Xk)C10，k4.n(n1)k8C7C10k15答案Ca5隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則P2X2的值為15()2A.34C.5解析因?yàn)镻(Xn)an(n1)3B.45D.6(n1,2,3,4)，所以a12233445a122334455a.51，則a4.則P2X2P(X1)P(X2)263a6.aaa111111144a515aa25答案D二、填空題6(2014西安質(zhì)檢)已知隨機(jī)變量X只能取三個(gè)值x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是_解析設(shè)X取x1，x2，x3時(shí)的概率分別為ad，a，ad，1則(ad)a(ad)1，a3，1d

18、0，由1d0，3311得3d3.答案3，3又P(X3)C310，P(X4)C310，P(X5)C35.117設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3，n，如果P(X4)0.3，那么n_.解析由于隨機(jī)變量X等可能取1,2,3，n.1所以取到每個(gè)數(shù)的概率均為n.3P(X4)P(X1)P(X2)P(X3)n0.3，n10.答案108口袋中有5只球，編號(hào)為1,2,3,4,5，從中任意取3只球，以X表示取出的球的最大號(hào)碼，則X的分布列為_解析X的取值為3,4,5.211C33C243555隨機(jī)變量X的分布列為XP30.140.350.6答案XP30.140.350.6三、解答題9(2014長(zhǎng)沙調(diào)研)某商店試銷某

19、種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)頻數(shù)01152935試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率(1)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；(2)記X為第二天開始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列解(1)P(當(dāng)天商店不進(jìn)貨)153P(當(dāng)天商品銷售量為0件)P(當(dāng)天商品銷售量為1件)202010.(2)由題意知，X的可能取值為2,3.51P(X2)P(當(dāng)天商品銷售量為1件)204；P(X3)P(當(dāng)天商品銷售量為0件)P(當(dāng)天商品銷售量為2件)P(當(dāng)天商1953品銷售量為3件)

20、2020204.所以X的分布列為XP21433410.(2013重慶卷)某商場(chǎng)舉行的“三色球”購(gòu)物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有3個(gè)紅球與4個(gè)白球的袋中任意摸出3個(gè)球，再?gòu)难b有1個(gè)藍(lán)球與2個(gè)白球的袋中任意摸出1個(gè)球根據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下：獎(jiǎng)級(jí)摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù)獲獎(jiǎng)金額一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)3紅1藍(lán)3紅0藍(lán)2紅1藍(lán)200元50元10元其余情況無(wú)獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí)(1)求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率；(2)求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)C31C42(1)恰好摸到1個(gè)紅球的概率為P(A1)C335.P(X200)P(A3

21、B1)P(A3)P(B1)C33105；P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)C33105，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)C3335，解設(shè)Ai(i0,1,2,3)表示摸到i個(gè)紅球，Bj(j0,1)表示摸到j(luò)個(gè)藍(lán)球，則Ai與Bj獨(dú)立187(2)X的所有可能值為：0,10,50,200，且C3117C322721C3C41471246P(X0)1105105357.綜上知，獲獎(jiǎng)金額X的分布列為XP0671043550210520011056421從而有E(X)071035501052001054(元)能力提升題組(建議用時(shí)：25分鐘)一、選擇題1(2014蘭州模擬)從4名男

22、生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，則P(X1)等于()1A.53C.52B.54D.5C41C22解P(X1)1P(X2)1C35.46答案D2設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下表所示：X012Pa1316F(x)P(Xx)，則當(dāng)x的取值范圍是1,2)時(shí)，F(xiàn)(x)等于()1A.31C.21B.65D.6111解a361，a2.x1,2)，115F(x)P(Xx)236.答案D二、填空題3(2014青島調(diào)研)為質(zhì)檢某產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)抽取5件，測(cè)量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量(單位：毫克)，測(cè)量數(shù)據(jù)如下：編號(hào)xy1169752178803166774175705180

23、81P(X0)C20.3，如果產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足x175且y75時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品現(xiàn)從上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，則抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)X的分布列為_解析5件抽測(cè)品中有2件優(yōu)等品，則X的可能取值為0,1,2.2C35C31C12C52P(X1)0.6，P(X2)C20.1.C25優(yōu)等品數(shù)X的分布列為XP00.310.620.1答案XP00.310.620.1三、解答題4(2014廣州質(zhì)檢)某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是：40,50)，50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100C96C1C1P(X0)C211，P(X1)C222，C32P(X2)C222.(1)求圖中x的值；(2)從成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，該2人中成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的人數(shù)記為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望解(1)由頻率分布直方圖知(0.00630.01x0.054)101，解得x0.018.(2)由頻率分布直方圖知成績(jī)不低于80分的學(xué)生人數(shù)為(0.0180.006)105012，成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的人數(shù)為0.00610503.因此X可能取0,1,2三個(gè)值91212112X的分布列為XP0611192221226911故E(X)0111222222.學(xué)生用書第191頁(yè)