《六年級(jí)奧數(shù) 牛吃草問(wèn)題趣談 教師講義》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《六年級(jí)奧數(shù) 牛吃草問(wèn)題趣談 教師講義（4頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 唯思達(dá)——唯有思索才能通達(dá)！ 教師講義 專(zhuān)題一 牛吃草問(wèn)題趣談 牛吃草問(wèn)題是經(jīng)典的奧數(shù)題型之一，這里我只介紹一些比較淺顯的牛吃草問(wèn)題，給大家開(kāi)拓一下思維，首先，先介紹一下這類(lèi)問(wèn)題的背景，大家看知識(shí)要點(diǎn) 知識(shí)要點(diǎn) 一、定義 偉大的科學(xué)家牛頓著的《普通算術(shù)》一書(shū)中有這樣一道題：“12頭牛4周吃牧草3格爾，同樣的牧草，21頭牛9周吃10格爾。問(wèn)24格爾牧草多少牛吃18周吃完?！保ǜ駹枴翀?chǎng)面積單位），以后人們稱(chēng)這類(lèi)問(wèn)題為“牛頓問(wèn)題”的牛吃草問(wèn)題。 這類(lèi)問(wèn)題難在哪呢？大家看看它的特點(diǎn) 二、特點(diǎn)

2、在“牛吃草”問(wèn)題中，因?yàn)椴菝刻於荚谏L(zhǎng)，草的數(shù)量在不斷變化，也就是說(shuō)這類(lèi)問(wèn)題的工作總量是不固定的，一直在均勻變化。 難嗎？難什么啊，一點(diǎn)都不難，只要掌握了方法，以后這樣的題就都會(huì)了，來(lái)，看看這例題 典例評(píng)析 例1 牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿牧草，每天都勻速生長(zhǎng)。這片牧場(chǎng)可供27頭牛吃6天或23頭牛吃9天。問(wèn)可供21頭牛吃幾天？ 【分析】這片牧場(chǎng)上的牧草的數(shù)量每天在變化。解題的關(guān)鍵應(yīng)找到不變量——即原來(lái)的牧草數(shù)量。因?yàn)榭偛萘靠梢苑殖蓛刹糠郑涸械牟菖c新長(zhǎng)出的草。新長(zhǎng)出的草雖然在變，但應(yīng)注意到它是勻速生長(zhǎng)的，因而這片牧場(chǎng)每天新長(zhǎng)出飛草的數(shù)量也是不變的。 從這道題我們看到，草每天在長(zhǎng)，牛每天在吃，都是在變

3、化的，但是也有不變的，都是什么不變啊？草是以勻速生長(zhǎng)的，也就是說(shuō)每天長(zhǎng)的草是不變的;，同樣，每天牛吃草的量也是不變的，對(duì)吧？這就是我們解題的關(guān)鍵。這里因?yàn)槲粗獢?shù)很多，我教大家一種巧妙的設(shè)未知數(shù)的方法，叫做設(shè)“1”法。我們?cè)O(shè)牛每天吃草的數(shù)量為1份，具體1份是多少我們不知道，也不用管它，設(shè)草每天增長(zhǎng)的數(shù)量是a份，設(shè)原來(lái)的草的數(shù)量為b份，那么我們可以列方程了：27*6=b+6a；23*9=b+9a 【思考1】一片草地，每天都勻速長(zhǎng)出青草，如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天，那么可供18頭牛吃幾天？ 15天．設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。則每天新生的草量是（20×10-24×6）÷ (10-

4、6)=14份，原來(lái)的草量是（24-14）×6=60份。可供18頭牛吃60÷（18-14）=15天 例2 因天氣寒冷，牧場(chǎng)上的草不僅不生長(zhǎng)，反而每天以均勻的速度在減少。已知牧場(chǎng)上的草可供33頭牛吃5天，可供24頭牛吃6天，照此計(jì)算，這個(gè)牧場(chǎng)可供多少頭牛吃10天? 【分析】與例1不同的是，不但沒(méi)有新長(zhǎng)出的草，而且原有的草還在勻速減少，但是，我們同樣可以用類(lèi)似的方法求出每天減少的草量和原來(lái)的草的總量 【思考2】由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天以固定的速度在減少，經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供20頭牛 吃5天，或可供16頭牛吃6天。那么，可供11頭牛吃幾天？ 8天，設(shè)一頭牛一天吃的草量為一份。牧場(chǎng)每天

5、減少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原來(lái)的草量：（20+4）× 5=120份，可供11頭牛吃120÷(11+4)=8天。 總結(jié)：想辦法從變化中找到不變的量。牧場(chǎng)上原有的草是不變的，新長(zhǎng)出的草雖然在變化，但是因?yàn)槭莿蛩偕L(zhǎng)，所以每天新長(zhǎng)出的草量也是不變的。正確計(jì)算草地上原有的草及每天新長(zhǎng)出的草，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。 知識(shí)衍變 牛吃草基本問(wèn)題就先介紹到這，希望大家掌握這種方法，以后出現(xiàn)樣吃草問(wèn)題，驢吃草問(wèn)題也知道怎么做，甚至，以下這些問(wèn)題都可以應(yīng)用牛吃草問(wèn)題解決方法 例3 自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛，小明和小麗從扶梯上樓，已知小明每分鐘走25級(jí)臺(tái)階，小麗每分鐘走20級(jí)臺(tái)

6、階，結(jié)果小明用了5分鐘，小麗用了6分鐘分別到達(dá)樓上。該扶梯共有多少級(jí)臺(tái)階？ 【分析】在這道題中，“總的草量”變成了“扶梯的臺(tái)階總級(jí)數(shù)”，“草”變成了“臺(tái)階”，“?！弊兂闪恕八俣取?所以也可以看成是“牛吃草”問(wèn)題來(lái)解答。 【思考3】?jī)芍晃伵Ｍ瑫r(shí)從一口井的井頂爬向井底。白天往下爬，兩只蝸牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，兩只蝸牛滑行的速度卻是相同的，結(jié)果一只蝸牛恰好用了5個(gè)晝夜到達(dá)井底，另一只恰好用了6個(gè)晝夜到達(dá)井底。那么，井深多少米？ 大家說(shuō)這里什么是牛？什么是草？都什么是不變的？ 15米。 蝸牛每夜下降：（20×5-15×6）÷（6-5）

7、=10分米 所以井深：（20+10）×5=150分米=15米 例4 一條船有一個(gè)漏洞，水以均勻的速度漏進(jìn)船內(nèi)，待發(fā)現(xiàn)時(shí)船艙內(nèi)已進(jìn)了一些水。如果用12人舀水，3小時(shí)舀完。如果只有5個(gè)人舀水，要10小時(shí)才能舀完。現(xiàn)在要想在2小時(shí)舀完，需要多少人？ 【分析】典型的“牛吃草”問(wèn)題，找出“牛”和“草”是解題的關(guān)鍵 【思考4】一個(gè)水池，池底有泉水不斷涌出，用10部抽水機(jī)20小時(shí)可以把水抽干，用15部相同的抽水機(jī)10小時(shí)可把水抽干。那么用25部這樣的抽水機(jī)多少小時(shí)可以把水抽干？ 5小時(shí)。設(shè)一臺(tái)抽水機(jī)一小時(shí)抽水一份。則每小時(shí)涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份，池內(nèi)原有的水

8、是：（10-5）×20=100份.所以,用25部抽水機(jī)需要:100÷(25-5)=5小時(shí) 思維拓展 例5 有一牧場(chǎng)長(zhǎng)滿牧草，牧草每天勻速生長(zhǎng)，這個(gè)牧場(chǎng)可供17頭牛吃30天，可供19頭牛吃24天，現(xiàn)在有若干頭牛在吃草，6天后，4頭牛死亡，余下的牛吃了2天將草吃完，問(wèn)原來(lái)有牛多少頭？ 【分析】“牛吃草”問(wèn)題的特點(diǎn)是隨時(shí)間的增長(zhǎng)，所研究的量也等量地增加。解答時(shí)，要抓住這個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，也就是要求出原來(lái)的量和每天增加的量各是多少。 【思考5】一個(gè)牧場(chǎng)上的青草每天都勻速生長(zhǎng)。這片青草可供27頭牛吃6天，或供23頭牛吃9天，現(xiàn)有一群牛吃了4天后賣(mài)掉2頭，余下的牛又吃了4天將草吃完。這群牛原來(lái)有多少頭？

9、 25頭。設(shè)每頭牛每天的吃草量為1份。每天新生的草量為：（23×9-27×6）÷（20-10）=15份，原有的草量為（27-15）×6=72份。如兩頭牛不賣(mài)掉，這群牛在4+4=8天內(nèi)吃草量72+15×8+2×4=200份。所以這群牛原來(lái)有200÷8=25頭 例6 有三塊草地，面積分別為5公頃，6公頃和8公頃。每塊地每公頃的草量相同而且長(zhǎng)的一樣快，第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。第三塊草地可供19頭牛吃多少天？ 【分析】由題目可知，這是三塊面積不同的草地，為了解決這個(gè)問(wèn)題，首先要將這三塊草地的面積統(tǒng)一起來(lái)。 鞏固練習(xí) 1.一塊牧場(chǎng)長(zhǎng)滿了草，每天均勻生長(zhǎng)。

10、這塊牧場(chǎng)的草可供10頭牛吃40天，供15頭牛吃20天。可供25頭牛吃＿＿天。 （ ） A. 10 B. 5 C. 20 A 假設(shè)1頭牛1天吃草的量為1份。每天新生的草量為：(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份）。那么愿草量為：10×40-40×5=200（份），安排5頭牛專(zhuān)門(mén)吃每天新長(zhǎng)出來(lái)的草，這塊牧場(chǎng)可供25頭牛吃：200÷（25-5）=10（天）。 2.一塊草地上的草以均勻的速度生長(zhǎng)，如果20只羊5天可以將草地上的草和新長(zhǎng)出的草全部吃光，而14只羊則要10天吃光。那么想用4天的時(shí)間，把這塊草地的草吃

11、光，需要＿＿只羊。 （ ） A. 22 B. 23 C. 24 B假設(shè)1只羊1天吃草的量為1份。每天新生草量是：（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草量是：20×5-8×5＝60（份）安排8只羊?qū)ｉT(mén)吃每天新長(zhǎng)出來(lái)的草，4天時(shí)間吃光這塊草地共需羊：60÷4+8＝23（只） 3．畫(huà)展9時(shí)開(kāi)門(mén)，但早有人來(lái)排隊(duì)等候入場(chǎng)。從第一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)起，每分鐘來(lái)的觀眾人數(shù)一樣多。如果開(kāi)3個(gè)入場(chǎng)口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)了，那么第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間是8點(diǎn)＿＿分。

12、 （ ） A. 10 B. 12 C. 15 C假設(shè)每個(gè)人口每分鐘進(jìn)入的觀眾量是1份。 每分鐘來(lái)的觀眾人數(shù)為（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5（份） 到9時(shí)止，已來(lái)的觀眾人數(shù)為：3×9-0.5×9＝22.5（份） 第一個(gè)觀眾來(lái)到時(shí)比9時(shí)提前了：22.5÷0.5＝45（分） 所以第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間是9時(shí)-45分=8時(shí)15分。 4. 經(jīng)測(cè)算，地球上的資源可供100億人生活100年，或 可供80億人生活300年。假設(shè)地球新生成的資源增長(zhǎng)速度是一樣的。那么，為了滿足人類(lèi)不斷發(fā)展的要求，地球最多只能養(yǎng)活（

13、 ）億人。 70 設(shè)1億人1年所消耗的資源為1份 那么地球上每年新生成的資源量為：（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份） 只有當(dāng)?shù)厍蛎磕晷律Y源不少于消耗點(diǎn)的資源時(shí)，地球上的資源才不至于逐漸減少，才能滿足人類(lèi)不斷發(fā)展的需要。所以地球最多只能養(yǎng)活：70÷1=70（億人） 5. 快、中、慢三車(chē)同時(shí)從A地出發(fā)，追趕一輛正在行駛的自行車(chē)。三車(chē)的速度分別是每小時(shí)24千米、20千米、19千米。快車(chē)追上自行車(chē)用了6小時(shí)，中車(chē)追上自行車(chē)用了10小時(shí)，慢車(chē)追上自行車(chē)用（ ）小時(shí)。 12 自行車(chē)的速度是：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小時(shí)）

14、 三車(chē)出發(fā)時(shí)自行車(chē)距A地：（24-14）×6==60（千米） 慢車(chē)追上自行車(chē)所用的時(shí)間為：60÷（19-14）=12（小時(shí)） 6. 一水池中原有一些水，裝有一根進(jìn)水管，若干根抽水管。進(jìn)水管不斷進(jìn)水，若用24根抽水管抽水，6小時(shí)可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，（ ）小時(shí)可將可將水池中的水抽干。 18 設(shè)1根抽水管每小時(shí)抽水量為1份。 （1）進(jìn)水管每小時(shí)卸貨量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份） （2）水池中原有的水量為：21×8-12×8＝72（份） （3）16根抽水管，要將水池中的水全部抽干需：72÷（16-12）=18（小時(shí)） 7. 某碼頭

15、剖不斷有貨輪卸下貨物，又不斷用汽車(chē)把貨物運(yùn)走，如用9輛汽車(chē)，12小時(shí)可以把它們運(yùn)完，如果用8輛汽車(chē)，16小時(shí)可以把它們運(yùn)完。如果開(kāi)始只用3輛汽車(chē)，10小時(shí)后增加若干輛，再過(guò)4小時(shí)也能運(yùn)完，那么后來(lái)增加的汽車(chē)是（ ）輛。 19 設(shè)每?jī)善?chē)每小時(shí)運(yùn)的貨物為1份。 （1）進(jìn)水管每小時(shí)的進(jìn)水量為：（8×16-9×12）÷（16-12）=5（份） （2）碼頭原有貨物量是：9×12-12×5＝48（份） （3）3輛汽車(chē)運(yùn)10小時(shí)后還有貨物量是：48+（5-3）×10=68（份） （4）后來(lái)增加的汽車(chē)輛數(shù)是：（68+4×5）÷4-3=19（輛） 8．有一片草地，每天都在勻速生長(zhǎng)，這片

16、草可供16頭牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？ 8天 （1）按牛的吃草量來(lái)計(jì)算，80只羊相當(dāng)于80÷4=20（頭）牛。 （2）設(shè)1頭牛1天的吃草量為1份。 （3）先求出這片草地每天新生長(zhǎng)的草量：（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份） （4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20＝120（份） （5）最后求出10頭牛與60只羊一起吃的天數(shù)：120÷（10+60÷4-10）=8（天） 9. 某水庫(kù)建有10個(gè)泄洪閘，現(xiàn)在水庫(kù)的水位已經(jīng)超過(guò)安全警戒線，上游的河水還在按一不變的速度增加

17、。為了防洪，需開(kāi)閘泄洪。假設(shè)每個(gè)閘門(mén)泄洪的速度相同，經(jīng)測(cè)算，若打開(kāi)一個(gè)泄洪閘，30小時(shí)水位降到安全線，若打開(kāi)兩個(gè)泄洪閘，10小時(shí)水位降到安全線。現(xiàn)在抗洪指揮部要求在5.5小時(shí)內(nèi)使水位降到安全線，問(wèn)：至少要同時(shí)打開(kāi)幾個(gè)閘門(mén)？ 4個(gè) 設(shè)1個(gè)泄洪閘1小時(shí)的泄水量為1份。 （1）水庫(kù)中每小時(shí)增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份） （2）水庫(kù)中原有的超過(guò)安全線的水量為：1×30-0.5×30＝15（份） （3）在5.5小時(shí)內(nèi)共要泄出的水量是：15+0.5×5.5＝17.75（份） （4）至少要開(kāi)的閘門(mén)個(gè)數(shù)為：17.75÷5.5≈4（個(gè)）（采用“進(jìn)1”法取值） 10. 現(xiàn)有速度不變的甲、乙兩車(chē)，如果甲車(chē)以現(xiàn)在速度的2倍去追乙車(chē)，5小時(shí)后能追上，如果甲車(chē)以現(xiàn)在的速度去追乙車(chē)，3小時(shí)后能追上。那么甲車(chē)以現(xiàn)在的速度去追，幾小時(shí)后能追上乙車(chē)？ 15小時(shí) 設(shè)甲車(chē)現(xiàn)在的速度為每小時(shí)行單位“1”，那么乙車(chē)的速度為： （2×5-3×3）÷（5-3）=0.5 乙車(chē)原來(lái)與甲車(chē)的距離為： 2×5-0.5×5＝7.5 所以甲車(chē)以現(xiàn)在的速度去追，追及的時(shí)間為： 7.5÷（1-0.5）=15（小時(shí)） 小學(xué)六年級(jí)奧數(shù) 第 - 4 - 頁(yè) 共 4 頁(yè)