《小學(xué)數(shù)學(xué)之 容斥原理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《小學(xué)數(shù)學(xué)之 容斥原理(7頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第三十五周 容斥原理專題簡析:容斥問題涉及到一個(gè)重要原理包含與排除原理,也叫容斥原理。即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí),為了不重復(fù)計(jì)數(shù),應(yīng)從它 們的和中排除重復(fù)部分。容斥原理:對(duì) n 個(gè)事物,如果采用不同的分類標(biāo)準(zhǔn),按性質(zhì) a分類與性質(zhì) b 分類(如圖),那么具有性質(zhì) a 或性質(zhì) b 的事物的個(gè) 數(shù)=N N N 。a b abNaNabNb例 1:一個(gè)班有 48 人,班主任在班會(huì)上問:“誰做完語文作業(yè)?請(qǐng)舉手!”有 37 人舉手。又問:“誰做完數(shù)學(xué)作業(yè)?請(qǐng)舉手!”有 42人舉手。最后問:“誰語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒有做完?”沒有人舉手。 求這個(gè)班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)。分析 完成語文作業(yè)的有 37
2、人,完成數(shù)學(xué)作業(yè)的有 42 人,一共有 3742=79 人,多于全班人數(shù)。這是因?yàn)檎Z文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)在統(tǒng)計(jì)做完語文作業(yè)的人數(shù)時(shí)算過一次,在統(tǒng)計(jì)做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)時(shí)又算了一次,這樣就多算了一次。所以,這個(gè)班語文、 數(shù)作業(yè)都完成的有:7948=31 人。練習(xí)一1,五年級(jí)有 122 名學(xué)生參加語文、數(shù)學(xué)考試,每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績。其中語文成績優(yōu)秀的有 65 人,數(shù)學(xué)優(yōu)秀的 有 87 人。語文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人?2,四年級(jí)一班有 54 人,訂閱小學(xué)生優(yōu)秀作文和數(shù)學(xué)大世界兩種讀物的有 13 人,訂小學(xué)生優(yōu)秀作文的有 45 人,每 人至少訂一種讀物,訂數(shù)學(xué)大世界的有多少人?3 ,學(xué)校
3、文藝組每人至少會(huì)演奏一種樂器,已知會(huì)拉手風(fēng)琴的有 24 人,會(huì)彈電子琴的有 17 人,其中兩種樂器都會(huì)演奏的有 8 人。 這個(gè)文藝組一共有多少人?例 2:某班有 36 個(gè)同學(xué)在一項(xiàng)測試中,答對(duì)第一題的有 25 人,答對(duì)第二題的有 23 人,兩題都答對(duì)的有 15 人。問多少個(gè)同學(xué)兩題都 答得不對(duì)?分析與解答:已知答對(duì)第一題的有 25 人,兩題都答對(duì)的有 15人,可以求出只答對(duì)第一題的有 2515=10 人。又已知答對(duì)第二題的有 23 人,用只答對(duì)第一題的人數(shù),加上答對(duì)第二題的人數(shù)就得到至少有一題答對(duì)的人數(shù):1023=33 人。所以,兩題都答得不對(duì) 的有 3633=3 人。練習(xí)二1,五(1)班有
4、40 個(gè)學(xué)生,其中 25 人參加數(shù)學(xué)小組,23 人參加科技小組,有 19 人兩個(gè)小組都參加了。那么,有多少人兩個(gè)小 組都沒有參加?2,一個(gè)班有 55 名學(xué)生,訂閱小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)的有 32 人,訂閱中國少年報(bào)的有 29 人,兩種報(bào)紙都訂閱的有 25 人。兩種 報(bào)紙都沒有訂閱的有多少人?3,某校選出 50 名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)比賽,結(jié)果 3 人兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng)了,有 27 人兩項(xiàng)比賽都沒有獲獎(jiǎng)。已知作文比賽 獲獎(jiǎng)的有 14 人,問數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有多少人?例 3:某班有 56 人,參加語文競賽的有 28 人,參加數(shù)學(xué)競賽的有27 人,如果兩科都沒有參加的有 25 人,那么同時(shí)參加語文、數(shù)學(xué) 兩科競
5、賽的有多少人?分析與解答:要求兩科競賽同時(shí)參加的人數(shù),應(yīng)先求出至少參加一科競賽的人數(shù):5625=31 人,再求兩科競賽同時(shí)參加的人數(shù): 282731=24 人。練習(xí)三1,一個(gè)旅行社有 36 人,其中會(huì)英語的有 24 人,會(huì)法語的有 18 人,兩樣都不會(huì)的有 4 人。兩樣都會(huì)的有多少人?2,一個(gè)俱樂部有 103 人,其中會(huì)下中國象棋的有 69 人,會(huì)下國際象棋的有 52 人,這兩種棋都不會(huì)下的有 12 人。問這兩種棋都 會(huì)下的有多少人?3,三年級(jí)一班參加合唱隊(duì)的有 40 人,參加舞蹈隊(duì)的有 20 人,既參加合唱隊(duì)又參加舞蹈隊(duì)的有 14 人。這兩隊(duì)都沒有參加的有 10 人。請(qǐng)算一算,這個(gè)班共有多少
6、人?例 4:在 1 到 100 的自然數(shù)中,既不是 5 的倍數(shù)也不是 6 的倍數(shù)的 數(shù)有多少個(gè)?分析與解答:從 1 到 100 的自然數(shù)中,減去 5 或 6 的倍數(shù)的個(gè)數(shù)。從 1 到 100 的自然數(shù)中,5 的倍數(shù)有 1005=20 個(gè),6 的倍數(shù)有 16 個(gè)(1006=164),其中既是 5 的倍數(shù)又是 6 的倍數(shù)(即5 和 6 的公倍數(shù))的數(shù)有 3 個(gè)(10030=310)。因此,是 6 或5 的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是 16203=33 個(gè),既不是 5 的倍數(shù)又不是 6 的 倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是:10033=67 個(gè)。練習(xí)四1,在 1 到 200 的全部自然數(shù)中,既不是 5 的倍數(shù)又不是 8 的 倍數(shù)的
7、數(shù)有多少個(gè)?2,在 1 到 130 的全部自然數(shù)中,既不是 6 的倍數(shù)又不是 5 的 倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)?3,五(1)班做廣播操,全班排成 4 行,每行的人數(shù)相等。小華排的位置是:從前面數(shù)第 5 個(gè),從后面數(shù)第 8 個(gè)。這個(gè)班共有多 少個(gè)學(xué)生?例 5:光明小學(xué)舉辦學(xué)生書法展覽。學(xué)校的櫥窗里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品,其中有 24 幅不是五年級(jí)的,有 22 幅不是六年級(jí)的,五、六年級(jí)參展的書法作品共有 10 幅,其他年級(jí)參展的書法 作品共有多少幅?分析與解答:由題意知, 24 幅作品是一、二、三、四、六年級(jí)參展作品的總數(shù),22 幅是一、二、三、四、五年級(jí)參展作品的總數(shù)。2422=46 幅,這是一
8、個(gè)五、六年級(jí)和兩個(gè)一、二、三、四年級(jí)參展的作品數(shù),從其中去掉五、六兩個(gè)年級(jí)共參展的 10 幅作品,即得到兩個(gè)一、二、三、四年級(jí)參展作品的總數(shù),再除以 2,即可求出其他年級(jí)參展作品的總數(shù)。(242210)2=18 幅。練習(xí)五1 ,科技節(jié)那天,學(xué)校的科技室里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的科技作品,其中有 110 件不是一年級(jí)的,有 100 件不是二年級(jí)的,一、二年級(jí)參展的作品共有 32 件。其他年級(jí)參展的作品共有多少件?2,六(1)兒童節(jié)那天,學(xué)校的畫廊里展出了每個(gè)年級(jí)學(xué)生的圖畫作品,其中有 25 幅畫不是三年級(jí)的,有 19 幅畫不是四年級(jí)的,三、四兩個(gè)年級(jí)參展的畫共有 8 幅。其他年級(jí)參展的畫共有多少幅?3 ,實(shí)驗(yàn)小學(xué)舉辦學(xué)生書法展,學(xué)校的櫥窗里展出每個(gè)年級(jí)學(xué)生的書法作品,其中有 28 幅不是五年級(jí)的,有 24 幅不是六年級(jí)的,五、六年級(jí)參展的書法作品共有 20 幅。一、二年級(jí)參展的作品總數(shù)比三、四年級(jí)參展作品的總數(shù)少 4 幅。一、二年級(jí)參展的書法作 品共有多少幅?1234