《高中數(shù)學人教a版選修4-1配套課件：2_4 弦切角的性質》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學人教a版選修4-1配套課件：2_4 弦切角的性質（30頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第4課時弦切角的性質【課標要求】1通過對弦切角定理的探究，體會分類思想、特殊化思想和化歸思想在數(shù)學思想中的作用2理解弦切角定理，能應用定理證明相關的幾何問題【核心掃描】1弦切角定理的理解(重點)2用弦切角定理解決有關問題(難點)自學導引1弦切角的概念定義：頂點在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角如圖所示，ACD和BCD都是弦切角推敲引申：(1)弦切角必須具備三個條件：頂點在圓上(頂點為圓切線的切點)；一邊和圓相切(一邊所在直線為圓的切線)；一邊和圓相交(一邊為圓的過切點的弦)三者缺一不可，例如圖中，CAD很像弦切角，但它不是弦切角，因為AD與圓相交，BAE也不一定是弦切角，只有已

2、知AE切圓于點A，才能確定它是弦切角(2)弦切角也可以看做圓周角的一邊繞其頂點旋轉到與圓相切時所成的角因此，弦切角與圓周角存在密切關系(2)弦切角定理的證明同圓周角定理的證明極相似，同樣是按圓心與角的位置關系分情況(如圖所示)進行證明圓心在弦切角BAC一邊上；圓心在弦切角BAC外部；圓心在弦切角BAC內部(3)由定理可得：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半名師點睛1圓心角、圓周角、弦切角三者之間的區(qū)別圓心角圓周角弦切角圖形頂點位置在圓心O在圓周上在圓周上兩邊與圓的關系兩邊都和圓相交兩邊都和圓相交一邊和圓相切，一邊和圓相交2.與弦切角定理有關的結論(1)弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半

3、(2)弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半(3)如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等如圖所示，因為BDE與BED所夾的弧是同一個弧，所以BDEBED；如果EMDM，也可以得出CEMADM.3在圓中有豐富的相等的角，利用這些相等的角我們能找出許多與圓有關的相似三角形，進而能得到許多線段的數(shù)量關系因而，充分利用圓的有關性質定理如圓周角定理、圓內接四邊形性質定理、弦切角定理等結論，架設與三角形有關問題的橋梁，達到解決問題的目的由此可見，弦切角是很重要的與圓相關的角其主要功能在于協(xié)調與圓相關的各種角(如圓心角、圓周角等)，是架設圓與三角形全等、三角形相似、與圓相關的各種直線(

4、如弦、割線、切線)位置關系的橋梁，因而弦切角也是確定圓的幾何定理的關鍵環(huán)節(jié)(如證明切割線定理)反思感悟(1)利用弦切角解決與角有關問題的步驟：根據圖形及弦切角的定義找出與題目有關的弦切角；利用弦切角定理找出與其相等的角；綜合運用相關的知識進行角的求解(2)注意事項：要注意觀察圖形，不要想當然圖形是最好的指導，要學會讓圖形“說話”，尋找解題的突破口，要特別重視數(shù)形結合思想的應用要注意圓周角定理、圓內接四邊形的性質定理、相似三角形、射影定理等知識的綜合應用【變式1】如圖所示，AB為 O的直徑，C為 O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D.求證：AC平分DAB.證明法一如圖所示，連接OC.C

5、D是 O的切線，OCCD.又ADCD，OCAD.由此得ACOCAD.OCOA，CAOACO，CADCAO.故AC平分DAB.法二CD為 O的切線，連接CB，如圖所示，由弦切角定理知ACDB.又AB為直徑，C為 O上一點，ACB90，BCAB90.又ADCD，DACACD90.由知DACCAB，AC平分DAB.題型二利用弦切角解決與長度有關的問題【例2】如圖，已知MN是 O的切線，A為切點，MN平行于弦CD，弦AB交CD于E，求證：AC2AEAB.思維啟迪 欲證AC2AEAB，只需證此三條線段所在的ACE與ABC相似，連結BC.反思感悟(1)此題主要是利用弦切角的性質去證明兩個角相等，再利用三角

6、形相似證比例中項，這種類型的題較常見(2)證明線段相等，借助于弦切角定理和圓的其他性質(如等弧所對的弦相等)以及三角形有關知識我們可以得到特殊三角形或全等三角形，從而證得線段相等題型三弦切角的綜合應用【例3】如圖所示，CF是 O的直徑，CB是 O的弦，CB的延長線與過點F的 O的切線交于點P.(1)如圖，如果P45，PF10，求 O的半徑長；(2)如圖，如果E是BC上的一點，且滿足PE2PBPC，連接EF并延長交 O于點A，求證：點A是BC的中點思維啟迪(1)由切線的性質定理，知PCF是等腰直角三角形，因此求出CF的長，進而求出半徑；(2)中，利用弦切角定理，可以求出兩個三角形中，有一組角相等

7、，然后利用相似三角形的判定及性質，可證出AC與AB所對的圓周角相等，從而證出點A是BC的中點(1)解PF是切線，PCF是直角三角形，P45，PFCF，2rPF10，r5，O的半徑為5.反思感悟(1)弦切角是很重要的與圓相交的角其主要功能是協(xié)調與圓相關的各種角，如圓心角、圓周角等，是連接圓與三角形全等、三角形相似及與圓相關的各種直線位置關系的橋梁(2)弦切角定理經常作為工具，進行三角形相似的證明，然后利用三角形相似進一步確定相應邊之間的關系，在圓中證明比例式或等積式，常常需要借助于三角形相似處理(3)弦切角定理有時還與圓周角定理等知識綜合運用，它們不但在證明方法上相似，在解題功能上也有相似之處，

8、通常都作為輔助工具出現(xiàn)【變式3】如圖所示，O1與 O2交于A、B兩點，過 O1上一點P作直線PA、PB分別交 O2于點C和點D，EF切 O1于點P.求證：EFCD.證明連接AB，EF是 O切線，由弦切角定理知，F(xiàn)PAPBA，又在 O2中，四邊形ABCD為圓內接四邊形，CABP，F(xiàn)PAC，EFCD.高考在線弦切角在三角形相似中的應用考點點擊這部分知識近幾年才從初中知識中分離出來，在高考中已有所涉及，題目難度不大【考題1】(2011天津高考)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點F，E是AB延長線上一點，且DFCF，AF FB BE4 2 1.若CE與圓相切，則線段CE的長為_【考題2】(2012遼寧高考)如圖，O和 O相交于A，B兩點，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點，連結DB并延長交 O于點E.證明(1)ACBDADAB；(2)ACAE.反思感悟本題主要考查相似三角形、圓中有關定理的應用，考查推理論證能力反思感悟本題主要考查圓內接四邊形、圓的切線、圓周角、弦切角、三角形相似、弦、弦之間的關系，題目難易適中，重在考查對平面幾何中基本知識的掌握