《高中數(shù)學(xué)人教a版選修4-1配套課件：2_4 弦切角的性質(zhì)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)人教a版選修4-1配套課件：2_4 弦切角的性質(zhì)（30頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4課時(shí)弦切角的性質(zhì)【課標(biāo)要求】1通過對(duì)弦切角定理的探究，體會(huì)分類思想、特殊化思想和化歸思想在數(shù)學(xué)思想中的作用2理解弦切角定理，能應(yīng)用定理證明相關(guān)的幾何問題【核心掃描】1弦切角定理的理解(重點(diǎn))2用弦切角定理解決有關(guān)問題(難點(diǎn))自學(xué)導(dǎo)引1弦切角的概念定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角如圖所示，ACD和BCD都是弦切角推敲引申：(1)弦切角必須具備三個(gè)條件：頂點(diǎn)在圓上(頂點(diǎn)為圓切線的切點(diǎn))；一邊和圓相切(一邊所在直線為圓的切線)；一邊和圓相交(一邊為圓的過切點(diǎn)的弦)三者缺一不可，例如圖中，CAD很像弦切角，但它不是弦切角，因?yàn)锳D與圓相交，BAE也不一定是弦切角，只有已

2、知AE切圓于點(diǎn)A，才能確定它是弦切角(2)弦切角也可以看做圓周角的一邊繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與圓相切時(shí)所成的角因此，弦切角與圓周角存在密切關(guān)系(2)弦切角定理的證明同圓周角定理的證明極相似，同樣是按圓心與角的位置關(guān)系分情況(如圖所示)進(jìn)行證明圓心在弦切角BAC一邊上；圓心在弦切角BAC外部；圓心在弦切角BAC內(nèi)部(3)由定理可得：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半名師點(diǎn)睛1圓心角、圓周角、弦切角三者之間的區(qū)別圓心角圓周角弦切角圖形頂點(diǎn)位置在圓心O在圓周上在圓周上兩邊與圓的關(guān)系兩邊都和圓相交兩邊都和圓相交一邊和圓相切，一邊和圓相交2.與弦切角定理有關(guān)的結(jié)論(1)弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半

3、(2)弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半(3)如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等如圖所示，因?yàn)锽DE與BED所夾的弧是同一個(gè)弧，所以BDEBED；如果EMDM，也可以得出CEMADM.3在圓中有豐富的相等的角，利用這些相等的角我們能找出許多與圓有關(guān)的相似三角形，進(jìn)而能得到許多線段的數(shù)量關(guān)系因而，充分利用圓的有關(guān)性質(zhì)定理如圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理、弦切角定理等結(jié)論，架設(shè)與三角形有關(guān)問題的橋梁，達(dá)到解決問題的目的由此可見，弦切角是很重要的與圓相關(guān)的角其主要功能在于協(xié)調(diào)與圓相關(guān)的各種角(如圓心角、圓周角等)，是架設(shè)圓與三角形全等、三角形相似、與圓相關(guān)的各種直線(

4、如弦、割線、切線)位置關(guān)系的橋梁，因而弦切角也是確定圓的幾何定理的關(guān)鍵環(huán)節(jié)(如證明切割線定理)反思感悟(1)利用弦切角解決與角有關(guān)問題的步驟：根據(jù)圖形及弦切角的定義找出與題目有關(guān)的弦切角；利用弦切角定理找出與其相等的角；綜合運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行角的求解(2)注意事項(xiàng)：要注意觀察圖形，不要想當(dāng)然圖形是最好的指導(dǎo)，要學(xué)會(huì)讓圖形“說(shuō)話”，尋找解題的突破口，要特別重視數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用要注意圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理、相似三角形、射影定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用【變式1】如圖所示，AB為 O的直徑，C為 O上一點(diǎn)，AD和過C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D.求證：AC平分DAB.證明法一如圖所示，連接OC.C

5、D是 O的切線，OCCD.又ADCD，OCAD.由此得ACOCAD.OCOA，CAOACO，CADCAO.故AC平分DAB.法二CD為 O的切線，連接CB，如圖所示，由弦切角定理知ACDB.又AB為直徑，C為 O上一點(diǎn)，ACB90，BCAB90.又ADCD，DACACD90.由知DACCAB，AC平分DAB.題型二利用弦切角解決與長(zhǎng)度有關(guān)的問題【例2】如圖，已知MN是 O的切線，A為切點(diǎn)，MN平行于弦CD，弦AB交CD于E，求證：AC2AEAB.思維啟迪 欲證AC2AEAB，只需證此三條線段所在的ACE與ABC相似，連結(jié)BC.反思感悟(1)此題主要是利用弦切角的性質(zhì)去證明兩個(gè)角相等，再利用三角

6、形相似證比例中項(xiàng)，這種類型的題較常見(2)證明線段相等，借助于弦切角定理和圓的其他性質(zhì)(如等弧所對(duì)的弦相等)以及三角形有關(guān)知識(shí)我們可以得到特殊三角形或全等三角形，從而證得線段相等題型三弦切角的綜合應(yīng)用【例3】如圖所示，CF是 O的直徑，CB是 O的弦，CB的延長(zhǎng)線與過點(diǎn)F的 O的切線交于點(diǎn)P.(1)如圖，如果P45，PF10，求 O的半徑長(zhǎng)；(2)如圖，如果E是BC上的一點(diǎn)，且滿足PE2PBPC，連接EF并延長(zhǎng)交 O于點(diǎn)A，求證：點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)思維啟迪(1)由切線的性質(zhì)定理，知PCF是等腰直角三角形，因此求出CF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出半徑；(2)中，利用弦切角定理，可以求出兩個(gè)三角形中，有一組角相等

7、，然后利用相似三角形的判定及性質(zhì)，可證出AC與AB所對(duì)的圓周角相等，從而證出點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)(1)解PF是切線，PCF是直角三角形，P45，PFCF，2rPF10，r5，O的半徑為5.反思感悟(1)弦切角是很重要的與圓相交的角其主要功能是協(xié)調(diào)與圓相關(guān)的各種角，如圓心角、圓周角等，是連接圓與三角形全等、三角形相似及與圓相關(guān)的各種直線位置關(guān)系的橋梁(2)弦切角定理經(jīng)常作為工具，進(jìn)行三角形相似的證明，然后利用三角形相似進(jìn)一步確定相應(yīng)邊之間的關(guān)系，在圓中證明比例式或等積式，常常需要借助于三角形相似處理(3)弦切角定理有時(shí)還與圓周角定理等知識(shí)綜合運(yùn)用，它們不但在證明方法上相似，在解題功能上也有相似之處，

8、通常都作為輔助工具出現(xiàn)【變式3】如圖所示，O1與 O2交于A、B兩點(diǎn)，過 O1上一點(diǎn)P作直線PA、PB分別交 O2于點(diǎn)C和點(diǎn)D，EF切 O1于點(diǎn)P.求證：EFCD.證明連接AB，EF是 O切線，由弦切角定理知，F(xiàn)PAPBA，又在 O2中，四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，CABP，F(xiàn)PAC，EFCD.高考在線弦切角在三角形相似中的應(yīng)用考點(diǎn)點(diǎn)擊這部分知識(shí)近幾年才從初中知識(shí)中分離出來(lái)，在高考中已有所涉及，題目難度不大【考題1】(2011天津高考)如圖，已知圓中兩條弦AB與CD相交于點(diǎn)F，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DFCF，AF FB BE4 2 1.若CE與圓相切，則線段CE的長(zhǎng)為_【考題2】(2012遼寧高考)如圖，O和 O相交于A，B兩點(diǎn)，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點(diǎn)，連結(jié)DB并延長(zhǎng)交 O于點(diǎn)E.證明(1)ACBDADAB；(2)ACAE.反思感悟本題主要考查相似三角形、圓中有關(guān)定理的應(yīng)用，考查推理論證能力反思感悟本題主要考查圓內(nèi)接四邊形、圓的切線、圓周角、弦切角、三角形相似、弦、弦之間的關(guān)系，題目難易適中，重在考查對(duì)平面幾何中基本知識(shí)的掌握