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1、時(shí)間序列分析方法講義 第2章 滯后算子及其性質(zhì)第二章 滯后算子及其性質(zhì)滯后算子是對時(shí)間序列進(jìn)行動(dòng)態(tài)線性運(yùn)算的主要工具，利用滯后算子可以使得一些非線性運(yùn)算非常簡潔。2.1 基本概念時(shí)間序列是以觀測值發(fā)生的時(shí)期作為標(biāo)記的數(shù)據(jù)集合。一般情況下，我們是從某個(gè)特定的時(shí)間開始采集數(shù)據(jù)，直到另一個(gè)固定的時(shí)間為止，我們可以將獲得的數(shù)據(jù)表示為：如果能夠從更早的時(shí)間開始觀測，或者觀測到更晚的時(shí)期，那么上面的數(shù)據(jù)區(qū)間可以進(jìn)一步擴(kuò)充。相對而言，上述數(shù)據(jù)只是一個(gè)數(shù)據(jù)的片段，整個(gè)數(shù)據(jù)序列可以表示為：例2.1 幾種代表性的時(shí)間序列(1) 時(shí)間趨勢本身也可以構(gòu)成一個(gè)時(shí)間序列，此時(shí)：；(2) 另一種特殊的時(shí)間序列是常數(shù)時(shí)間序列

2、，即：，是常數(shù)，這種時(shí)間的取值不受時(shí)間的影響；(3) 在隨機(jī)分析中常用的一種時(shí)間序列是高斯白噪聲過程，表示為：，是一個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量序列，每個(gè)隨機(jī)變量都服從分布。時(shí)間序列之間也可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換，類似于使用函數(shù)關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換。它是將輸入時(shí)間序列轉(zhuǎn)換為輸出時(shí)間序列。例2.2 幾種代表性的時(shí)間序列轉(zhuǎn)換(1) 假設(shè)是一個(gè)時(shí)間序列，假設(shè)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：，這種算子是將一個(gè)時(shí)間序列的每一個(gè)時(shí)期的值乘以常數(shù)轉(zhuǎn)換為一個(gè)新的時(shí)間序列。(2) 假設(shè)和是兩個(gè)時(shí)間序列，算子轉(zhuǎn)換方式為：，此算子是將兩個(gè)時(shí)間序列求和。定義2.1 如果算子運(yùn)算是將一個(gè)時(shí)間序列的前一期值轉(zhuǎn)化為當(dāng)期值，則稱此算子為滯后算子，記做。即對任意時(shí)間序列，滯后算子

3、滿足： (1)類似地，可以定義高階滯后算子，例如二階滯后算子記為，對任意時(shí)間序列，二階滯后算子滿足： (2)一般地，對于任意正整數(shù)，有： (3)命題2.1 滯后算子運(yùn)算滿足線性性質(zhì)：(1) (2) 證明：(1) 利用滯后算子性質(zhì)，可以得到：(2) End由于滯后算子具有上述運(yùn)算性質(zhì)和乘法的交換性質(zhì)，因此可以定義滯后算子多項(xiàng)式，它的作用是通過它對時(shí)間序列的作用獲得一個(gè)新的時(shí)間序列，并且揭示這兩個(gè)時(shí)間序列之間的關(guān)系。顯然，滯后算子作用到常數(shù)時(shí)間序列上，時(shí)間序列仍然保持常數(shù)，即：。2.2 一階差分方程利用滯后算子，可以將前面的一階差分方程表示成為滯后算子形式： (4)也可以表示為： (5)在上述等式

4、兩邊同時(shí)作用算子：，可以得到：計(jì)算得到：利用滯后算子性質(zhì)得到： (6)上述差分方程的解同利用疊代算法得到的解是一致的。注意到算子作用后的等式：如果時(shí)間序列是有界的，即存在有限的常數(shù)，使得任意時(shí)間均有：，并且，則上式當(dāng)中的尾項(xiàng)隨著時(shí)間增加趨于零。從而有： (7)如果利用“1”表示恒等算子，則有： (8)記(需要注意的是，這里只是表示一個(gè)運(yùn)算符號(hào))： (9)因此得到了“逆算子”的表達(dá)式，這類似于以滯后算子為變量的函數(shù)展開式。定義2.2 當(dāng)時(shí)，定義算子的逆算子為，它滿足：(1) (10)其中表示單位算子，即對任意時(shí)間序列，有：(2) 在形式上逆算子可以表示為： (11)這表示逆算子作為算子運(yùn)算規(guī)則是

5、：對于任意時(shí)間序列，有：當(dāng)時(shí)，逆算子的定義以后討論。如果時(shí)間序列是有界的，則一階差分方程的解可以表示為：可以驗(yàn)算上述表達(dá)式確實(shí)滿足一階線性差分方程。但是解并惟一，例如對于任意實(shí)數(shù)，下述形式的表達(dá)式均是方程的解。上述差分方程的解中含有待定系數(shù)，這為判斷解的性質(zhì)留出一定的余地。2.3 二階差分方程我們考察二階差分方程的滯后算子表達(dá)式：將其利用滯后算子表示為： (12)對二階滯后算子多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，即尋求和使得：顯然和是差分方程對應(yīng)的特征方程的根： (13)當(dāng)特征根和落在單位圓內(nèi)的時(shí)候(這也是差分方程的穩(wěn)定性條件)，滯后算子多項(xiàng)式分解為：，這時(shí)二階差分方程解可以表示為：注意到算子分式也可以進(jìn)行分

6、項(xiàng)分式分解(如此分解需要證明，參見Sargent，1987，p. 184)：將上述表達(dá)式帶入到二階差分方程解中：其中：，利用上述公式，可以得到外生擾動(dòng)的動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子為：， (14)上述利用滯后算子運(yùn)算得到的乘數(shù)與以前所得完全一致。例2.3 對于二階差分方程而言，其特征方程是：得到特征根為：，上述方程的穩(wěn)定性與滯后算子多項(xiàng)式的根落在單位圓內(nèi)是一致的。2.4 p階差分方程上述算子多項(xiàng)式的分解方法可以直接推廣到p階差分方程情形。將p階差分方程表示成為滯后算子形式： (15)將上式左端的算子多項(xiàng)式分解為： (16)這相當(dāng)于尋求使得下述代數(shù)多項(xiàng)式恒等： (17)定義，則可以將上述多項(xiàng)式表示成為： (18

7、)這意味著算子多項(xiàng)式的分解，就相當(dāng)于求出差分方程特征方程的根。如果差分方程的根相異，且全部落在單位圓內(nèi)，則可以進(jìn)行下述分式分解： (19)通過待定系數(shù)法，可以得到上述分式中的參數(shù)為：， (20)顯然有： (21)利用上述算子多項(xiàng)式分解，可以得到差分方程的解為： (22)通過上述方程通解，可以得到動(dòng)態(tài)反應(yīng)乘子為：， (23)命題2.2 外生變量對現(xiàn)值的影響和外生變量持續(xù)擾動(dòng)對的動(dòng)態(tài)影響乘子是：證明：將差分方程的解表示為：，其中：，設(shè)：利用算子多項(xiàng)式表示：對現(xiàn)值的影響可以表示為：注意到：因此有：長期乘數(shù)相當(dāng)于的情形，從而得到公式所示的公式。 End上述命題結(jié)論是利用滯后算子多項(xiàng)式推導(dǎo)的，其結(jié)論同利

8、用差分方程矩陣表示所得到的結(jié)論是一致的。2.5 初始條件和無界序列假設(shè)給定下述線性差分方程： (24)一般情況下，求解p階差分方程的特解，需要p個(gè)初值：，也需要外生變量的一個(gè)輸入序列：，這樣一來根據(jù)差分方程結(jié)構(gòu)，便可以確定的時(shí)間路徑。但是，在一些常見的經(jīng)濟(jì)或者金融時(shí)間序列當(dāng)中，無法給定具體的初值或者完整的外生輸入變量，那么這時(shí)差分方程解的性質(zhì)如何？例2.4 假設(shè)變量表示股票價(jià)格，表示股票派發(fā)的紅利。如果一個(gè)投資者在時(shí)刻買入股票，然后在時(shí)刻賣出股票，則他將獲得實(shí)際紅利收入和價(jià)格收益，因此投資者的收益率為： (25)在簡單的股票市場模型當(dāng)中，假設(shè)收益率是常數(shù)，則上述方程可以轉(zhuǎn)化為股票價(jià)格的差分方程

9、模型： (26)如果知道紅利序列和股票價(jià)格的初值，則可以得到股票價(jià)格路徑為： (27)但是如果僅僅知道紅利序列，而不知道股票價(jià)格初值，則可能有很多價(jià)格軌跡滿足價(jià)格的差分方程。為了說明這個(gè)問題，進(jìn)一步假設(shè)紅利為常數(shù)，則有： (28)(1) 如果初始時(shí)期股票價(jià)格等于紅利貼現(xiàn)，即，則有：，此時(shí)股票價(jià)格保持常數(shù)，股價(jià)等于紅利除以收益率。這種股票價(jià)格被稱為在收益率是常數(shù)情形的股價(jià)基礎(chǔ)成分。(2) 假設(shè)初始股價(jià)超過了，即，這時(shí)股票價(jià)格出現(xiàn)了擴(kuò)散現(xiàn)象，這與資產(chǎn)定價(jià)理論相符。因?yàn)闉榱吮３仲Y產(chǎn)收益率不變，股票的價(jià)格就會(huì)出現(xiàn)持續(xù)上升，同時(shí)假設(shè)紅利是固定的，紅利帶來的實(shí)際收益減少將被股價(jià)的加速增長所彌補(bǔ)，這樣就出現(xiàn)

10、了股票價(jià)格膨脹的現(xiàn)象，即出現(xiàn)股票價(jià)格泡沫。(3) 為了消除股價(jià)中的投資泡沫，一種方法是對股票價(jià)格路徑給予有界性限制。例如，假設(shè)對于所有時(shí)期的股票價(jià)格滿足：，這樣一來，滿足上述約束的股票價(jià)格路徑便是常數(shù)的市場基礎(chǔ)價(jià)格。上面假設(shè)了常數(shù)紅利，現(xiàn)在假設(shè)紅利序列是有界的。將股價(jià)表示為：進(jìn)行向前疊代運(yùn)算有：如果價(jià)格序列滿足約束條件：在假設(shè)和均是有界序列，則得到股票價(jià)格水平滿足：這是紅利隨時(shí)間變化時(shí)股票價(jià)格的市場基礎(chǔ)成分。需要注意的是，對于上述情形的市場基礎(chǔ)成分，需要投資者對于未來紅利具有完全預(yù)期。當(dāng)引入預(yù)期紅利時(shí)，上述表達(dá)式仍然適用，這時(shí)可以修改為：利用紅利預(yù)期的股價(jià)公式，可以確定價(jià)格初值：如此初值是否滿

11、足一般的股價(jià)模型，我們可以代入到具有初值的確定解中驗(yàn)證：將代入上式后得到：這正是在邊界條件下所推導(dǎo)的向前預(yù)期解，由此可見該解與初值選擇是吻合的。例2.5 我們繼續(xù)利用滯后算子方法討論股票價(jià)格路徑的性質(zhì)。利用算子表示為：在上述表達(dá)式中，滯后算子多項(xiàng)式的特征根小于1，無法采用逆算子的一般表達(dá)式，為此我們需要采取新的定義。定義滯后算子的逆算子為，具有性質(zhì)：(1) (2) 這樣一來，滯后算子乘積就具有冪乘的性質(zhì)：對于任意正整數(shù)和，有：對方程(2.12)兩端乘以算子多項(xiàng)式：整理得到：當(dāng)，且紅利序列是有界的，則上述極限為：根據(jù)上述運(yùn)算，可以定義下述算子的逆算子：2.6 差分方程的求解方法上面我們主要論述了

12、差分方程的表示和外生擾動(dòng)的動(dòng)態(tài)乘子，下面我們給出差分方程的一般求解過程。第一步：構(gòu)造p階齊次差分方程，并且尋求齊次方程的p個(gè)解：，第二步：構(gòu)造p階非齊次差分方程的特解。第三步：齊次方程p個(gè)解的線性組合加上非齊次方程的一個(gè)特解，得到非齊次方程的通解。第四步：根據(jù)給定的邊界條件，確實(shí)通解當(dāng)中的未知參數(shù)，得到非齊次方程的確定解。2.6.1 齊次差分方程的通解和穩(wěn)定性p階齊次差分方程的形式是：命題2.3 對于差分方程而言，下述推斷成立：(1) 如果是方程的解，則對任意常數(shù)，也是解。(2) 如果和是方程的解，則對任意實(shí)數(shù)和，也是方程的解。證明：留做練習(xí)。對于p階齊次差分方程，我們嘗試地檢驗(yàn)解的形式是：，

13、代入差分方程為：由此可見，應(yīng)該是上述特征方程的根。因此，如果差分方程具有相異實(shí)數(shù)根的時(shí)候，可以得到p個(gè)解為：，此時(shí)解的穩(wěn)定性要求所有根落在單位圓內(nèi)。命題2.4 對于齊次差分方程而言：(1) 齊次方程所有特征根落在單位圓內(nèi)的必要條件是：；(2) 齊次方程所有特征根落在單位圓內(nèi)的充分條件是：；(3) 齊次方程至少具有一個(gè)單位根的充要條件是：如果齊次方程的特征根出現(xiàn)重根，則應(yīng)該尋求多項(xiàng)式與指數(shù)函數(shù)乘機(jī)形式的解。例如，如果二階齊次差分方程具有重根，則兩個(gè)解應(yīng)該分別是，。2.6.2 非齊次差分方程的特解如何尋求非齊次線性差分方程的特解，需要根據(jù)非齊次項(xiàng)的具體性質(zhì)判斷。(1) 指數(shù)形式的非齊次項(xiàng)此時(shí)方程形式是：可以嘗試特解形式為：，可以求解出特解為：如果，嘗試解的形式為：如果，可以選取其他形式的嘗試解。(2) 確定性時(shí)間趨勢此時(shí)方程形式是：此時(shí)嘗試解的形式選為：2.6.3 非齊次差分方程的通解獲得齊次方程的p個(gè)解以后，它們的線性組合構(gòu)成了齊次方程的通解；如果再獲得一個(gè)非齊次方程的一個(gè)特解，則可以得到非齊次方程的通解，它是齊次方程p個(gè)解的線性組合加上非齊次方程的特解。這里需要注意的是，上述通解中的線性組合中有p個(gè)未知系數(shù)，這是需要p個(gè)條件來確定這些系數(shù)，這些系數(shù)確定以后，就可以得到具有邊界或者初值條件的差分方程的具體解，或者唯一解。這個(gè)唯一解的系數(shù)則具有相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)含義。8