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1、寄 語,,,也不屬于有錢人,而是屬于有心人.,這個世界,不屬于有權人,,第一節(jié)、定積分概念,第三節(jié)、可積條件,本章內容：,第二節(jié)、牛頓-萊布尼茲公式,第四節(jié)、定積分的性質,第五節(jié)、微積分學基本定理-定積分計算,第九章,定積分,*第六節(jié)、可積性理論補敘,,二、定積分的換元法,第五節(jié),一、變限積分與原函數(shù)的存在性,微積分學基本定理,定積分計算（續(xù)）,三、定積分的分部積分法,四、泰勒公式的積分型余項,,一、變限函數(shù)與原函數(shù)的存在性,定理1.,（2）,（1）,,證明：,（1）,,,,則有,(2),證畢.,定理1. (2),原函數(shù)的存在性定理,,牛頓 萊布尼茲公式再證,證明:,根據(jù)定理 1,,故,定理

2、2.,函數(shù) ,,則,,證明:,得,,,證畢.,微積分學基本定理,微積分學基本公式,小 結,牛頓 萊布尼茲公式,原函數(shù)存在定理,,,問題1,問題2,的原函數(shù)如何表示？,兩函數(shù),,說明:,1) 定理 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.,2) 變限積分求導:,例1. 求,,解:,原式,,例2.,確定常數(shù) a , b , c 的值, 使,解:,原式 =,c 0 , 故,又由,,, 得,例3(1),(2),(3) 設函數(shù),是由方程,所確定求,解：方程兩邊同時對,求導得：,例4 已知,解,例5.,證明,,在,內為單調遞增函數(shù) .,證:,,只要證,,,定理2. （積分第二中值定理）,,設函數(shù),1）,若函數(shù)

3、,在 上可積，,在 上單調減，且,則存在,使,2）,若函數(shù),在 上單調增，且,則存在,使,證略！,,推論.,,設函數(shù),若函數(shù),在 上可積，,在 上單調，,則存在,使,證明：,不妨設函數(shù),在 上單調減，令,則h為非負、遞減函數(shù)，由定理2-1）知，存在,使,即,整理即得。,二、定積分的換元法,定理3. 設函數(shù),函數(shù),滿足:,1),2) 在,上,證: 所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù),,因此積分都存在 ,,且它們的原函數(shù)也存在 .,是,的原函數(shù) ,,因此有,則,,則,,1) 當 < , 即區(qū)間換為,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意換元必換限 , 原函數(shù)中的變量不必代回 .,3)

4、 換元公式也可反過來使用 , 即,或配元,配元不換限,,,4）如果定理條件中只假設,為可積函數(shù)，但還要求,是單調函數(shù)，則結論仍然成立。,說明,例1. 計算,解: 令,則, 原式 =,,,且,例2. 計算,解: 令,則, 原式 =,,且,,換元必換限 不換元則不換限,例3.計算,例4.,證:,(1) 若,(2) 若,,,偶倍奇零,,例5 計算下列定積分,解,解,三、定積分的分部積分法,定理4.,則,,證:,,,,,例1. 計算,解:,原式 =,,,,例2. 證明,證: 令,n 為偶數(shù),n 為奇數(shù),則,令,則,,,,,,由此得遞推公式,于是,而,故所證結論成立 .,,,,,例3.計算,解：,第二項

5、用換元積分法：令,則,一般：,,,,,1）佩亞諾(Peano)型 余項,四、泰勒公式的積分型余項,2）拉格朗日(Lagrange)型余項,3）積分型余項,階的連續(xù)導數(shù) ,,4）柯西(Cauchy)型余項,階的連續(xù)導數(shù) ,,內容小結,基本積分法,,換元積分法,分部積分法,換元必換限 配元不換限 邊積邊代限,思考與練習,1.,提示: 令,則,2. 設,解法1,,解法2,對已知等式兩邊求導,,,,思考:,若改題為,提示: 兩邊求導, 得,,,得,3. 設,求,解:,(分部積分),,作業(yè),P229 3；4奇數(shù)題 ; 5； 6 ;7,備用題,1. 證明,證：,是以 為周期的函數(shù).,是以 為周期的周期函數(shù).,,解：,2.,右端,試證,分部積分積分,再次分部積分,= 左端,