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1、第五章 無源網(wǎng)絡(luò)綜合第五章 無源網(wǎng)絡(luò)綜合5.1 網(wǎng)絡(luò)分析與網(wǎng)絡(luò)綜合（a） (b)圖5.1 網(wǎng)絡(luò)分析與網(wǎng)絡(luò)綜合網(wǎng)絡(luò)綜合：研究科學(xué)的數(shù)學(xué)的設(shè)計方法。網(wǎng)絡(luò)分析與網(wǎng)絡(luò)綜合的區(qū)別：1 “分析”問題一般總是有解的(對實際問題的分析則一定是有解的)。而“設(shè)計”問題的解答可能根本不存在。圖5.2 網(wǎng)絡(luò)綜合解答不存在情況一(a) (b)圖5.3 網(wǎng)絡(luò)綜合解答不存在情況二2“分析”問題一般具有唯一解，而“設(shè)計”問題通常有幾個等效的解。 (a) (b) (c)圖5.4 網(wǎng)絡(luò)綜合存在多解情況3“分析”的方法較少，“綜合”的方法較多。網(wǎng)絡(luò)綜合的主要步驟：(1) 按照給定的要求確定一個和實現(xiàn)的逼近函數(shù)。(2) 尋找一個具

2、有上述逼近函數(shù)的電路。5.2 網(wǎng)絡(luò)的有源性和無源性 輸入一端口網(wǎng)絡(luò)N的功率從任何初始時刻到，該網(wǎng)絡(luò)的總能量式中為在初始時刻時該一端口儲存的能量。若對所有以及所有時間，有 （1）則此一端口N為無源的。如果一端口不是無源的，達就是有源的。就是說，當(dāng)且僅當(dāng)對某個激勵和某一初始值以及某一時間，有，則此一端口就是有源的。換句話說，如果一個一端口是有源的，就一定能找到某一激勵以及至少某一時間，式（1）對這個一端口不能成立。在以上有關(guān)無源性的定義中必須計及初始儲存能量。例如，對時不變的線性電容，設(shè)它的電容值為C，則有式中。所以時，電容元件為無源的，而當(dāng)時（線性負電容），則為有源的。但是，如不計及式中的初始能

3、量項，則為從到輸入網(wǎng)絡(luò)的能量。這樣即使，在某些時間將小于零。事實上充電的電容有可能向外釋放儲存的能量，但是計及初始能量，它不可能釋放多余原先儲存的能量。為了考慮這種情況，引入了有關(guān)“無損性”的概念。設(shè)一端口的所有從為“平方可積”，即有： 如果對任何初始時間，下式成立式中為在初始時刻時該一端口儲存的能量，則稱此一端口為無損網(wǎng)絡(luò)。以上關(guān)于和平方可積的條件，也即就是說，一端口在和時均為松弛的。假設(shè)一端口在時無任何存儲能量，則無源性可按下式定義 （2）以上關(guān)于有源性的定義可以推廣到N端口。如果全部端口的電壓電流允許信號對是真實的，且對所有，輸入端口的總能量為非負的，則此N端口為無源的，即對全部，有這里

4、設(shè)時，。如果對某些信號對，且對某些，有則此N為有源的。如果對所有平方可積有限值允許信號對，有則稱此N端口為無損的。一個無損的N端口將最終把輸入端口的能量全部返回。 線性（正）電阻元件、電容元件、電感元件均為無源元件。例如，對二端電阻，按式（2）有可見，只要，對所有，總是非負的。同理，對于非零的和，將是的單調(diào)非遞減正值函數(shù)，因此當(dāng)時，不可能是零值，所以線性電阻是無源的、非無損的。線性負電阻、負電感、負電容是有源元件。對于理想變壓器，有按式（125）所以理想變壓器是無源的且是無損的。練習(xí)：討論回轉(zhuǎn)器和負阻抗變換器的有源性和無源性?；剞D(zhuǎn)器：，負阻抗變換器：5.3歸一化和去歸一化歸一化定義：用一些合適

5、的系數(shù)(常數(shù))按比例換算所有電量，而不改變電路性質(zhì)。例如，用50作為電阻的換算系數(shù)(歸一化常數(shù))，則(實際值)變成(歸一化值)。歸一化值、實際值、歸一化常數(shù)之間的關(guān)系，對實際值適用的物理關(guān)系，對歸一化值網(wǎng)絡(luò)應(yīng)保持不變，因此得共七個關(guān)系式。綜上得知，只有兩個獨立的歸一化常數(shù)，若選擇多于兩個，則有可能破壞電量之間的關(guān)系。通常選擇和。此時【例】圖5.5(a)所示電路歸一化電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)為中心角頻率為。(1) 如要求中心頻率為10kHz，求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。(2) 如固定，求L，C。(3) 如固定C=0.1F,求R，L。 (a) (b)圖5.5 歸一化例題圖【解】：(1) 頻率歸一化常數(shù)為將代入已知的得：(2)

6、 H， F(3)3.4正實函數(shù)1 定義 設(shè)是復(fù)變量的函數(shù)，如果(1) 當(dāng)時，；(2) 當(dāng)時，。則稱為正實函數(shù)，簡稱PR函數(shù)。正實函數(shù)的映射關(guān)系如圖5.6所示。2 正實函數(shù)的性質(zhì)(1) F(s)的全部極點位于s平面的閉左半平面，F(xiàn)(s)在s的右半平面是解析的。證明思路：設(shè)F(s)在s的右半平面存在極點，級數(shù)展開，F(xiàn)(s)變號，與正實函數(shù)矛盾，假設(shè)不成立。(2) 位于軸上的極點是一階的，且其留數(shù)為正實數(shù)。(包括0和)(3) 正實函數(shù)的倒數(shù)仍為正實函數(shù)(對正實函數(shù)的零點也做了規(guī)定)。(4) 設(shè)。則，。因為， 在和處為一階極點(零點)。3 布隆定理(Otto Brune 1931年提出) （a） (b

7、)圖5.7 布隆定理的證明對圖5.7(b)， 定理：當(dāng)且僅當(dāng)Z(s)是s的正實函數(shù)時，阻抗函數(shù)Z(s)使用集中參數(shù)的RLCM元件(非負值)才是可實現(xiàn)的。必要性的證明：(充分性留在后續(xù)各節(jié)) (5.1)其中由式(5.1) 得(1) 當(dāng)時，。(2) 設(shè)則所以Z(s)是正實函數(shù)。4 等價的正實條件一(1) 當(dāng)s為實數(shù)時，F(xiàn)(s)也是實數(shù)；(2) 對全部實頻率，； (3) F(s)的全部極點位于s平面的閉左半平面，位于軸上的極點是一階的，且具有正實留數(shù)。 以Z(s)為例解釋如下：(1) 。所以Z(s)中的系數(shù)一定是實數(shù)，即Z(s)是s的有理實函數(shù)。(2)在正弦穩(wěn)態(tài)下，一端口的等效電路為它消耗的平均功率

8、為(因為是無源網(wǎng)絡(luò))所以。(3) 設(shè)，即，則沖激響應(yīng)電壓為若或，則發(fā)散；若(位于軸上)，則對應(yīng)高階極點的響應(yīng)項發(fā)散。以上對無源RLCM網(wǎng)絡(luò)是不可能的。5 等價正實條件二設(shè)(1) M(s)、N(s)全部系數(shù)大于零；(2) M(s)、N(s)的最高次冪最多相差1，最低次冪最多也相差1；(3) F(s)在軸上的極點是一階的，且具有正實留數(shù)；(4) ；(5) M(s)、N(s)均為Hurwitz多項式。例5.1 判斷下列正實函數(shù)是否為正實函數(shù)。(a) ；(b) 解 (a) 顯然滿足(1)、(3)。又，滿足(2)，是正實函數(shù)。(b) 顯然滿足(1)、(3)。但。不是正實函數(shù)。5.5 LC一端口的實現(xiàn)LC

9、一端口： 一 或的性質(zhì)1 在s=0處或是一零點或是一極點。端口處要么等效為短路，要么等效為斷路。分別對應(yīng)的零點和極點。2在處或是一零點或是一極點。解釋同上。3 Z(s)的全部極點和零點位于軸上。(因此是一階，留數(shù)大于零)LC一端口，R=0，沖激響應(yīng)不衰減(因為無損)，等幅振蕩，故全部極點位于軸上。的零點就是的極點，也應(yīng)位于軸上。極點(零點)成對出現(xiàn)。4 為s的奇函數(shù)，即。解釋(1)N(s)、D(s)或為奇函數(shù)或為偶函數(shù)。(2)P(s)為偶函數(shù)為實數(shù)； P(s)為奇函數(shù)為虛數(shù)。(4) ，純虛數(shù)，電抗性質(zhì)。所以N(s)、D(s)必為一偶一奇Z(s)為s的奇函數(shù)。5 Z(s)的零、極點交替出現(xiàn)在軸上

10、。示意圖如下：(a) (b)圖5.10 LC導(dǎo)抗函數(shù)的零極點分布圖綜上得LC導(dǎo)抗函數(shù)的充要條件：1 Z(s)或Y(s)為正實函數(shù)；2零、極點均位于軸上且交替出現(xiàn)。二 LC一端口的Foster綜合(基于部分分式展開)1 Foster第一種形式串聯(lián)形式，用Z(s)圖5.11 LC導(dǎo)抗函數(shù)的Foster第一種綜合形式2 Foster 第二種形式并聯(lián)形式，用Y(s)圖5.12 LC導(dǎo)抗函數(shù)的Foster第二種綜合形式【例】5.2 分別用Foster 第一和第二種形式綜合阻抗函數(shù)【解】 (1) 對Z(s)進行展開圖5.13 例題5.2的Foster第一種綜合形式(2) 對Y(s)進行展開圖5.14 例題

11、5.2的Foster第二種綜合形式三 Cauer(考爾) 綜合 (基于連分式)1 Cauer 第一種形式(特點：逐次移出處的極點。串臂為電感，并臂為電容)【例】5.3 設(shè)。試用Cauer第一種形式綜合?！窘狻繛閆(s)的零點，故首先用Y(s)。使用長除運算得到上式。(多項式按降冪排列)2 Cauer 第二種形式(特點：逐次移出s=0處的極點。串臂為電容，并臂為電感)例5.4 設(shè)。試用Cauer第二種形式綜合?！窘狻渴褂瞄L除運算得到上式。(多項式按升冪排列)圖5.18練習(xí) 1 試確定下列驅(qū)動點阻抗函數(shù)能否用LC一端口來實現(xiàn)？ 2 試用Foster兩種形式綜合阻抗函數(shù)。3 試用Cauer兩種形式綜

12、合阻抗函數(shù)。4 設(shè)計一個LC一端口網(wǎng)絡(luò)，要求時，阻抗為零；時，阻抗為無限大；時，阻抗為200。參考答案2 35.6 RC 一端口的實現(xiàn)一 RC一端口的性質(zhì)(必要條件)1 所有零極點位于負實軸上，而且是一階的。解釋：若不位于實軸沖激響應(yīng)振蕩同時存在LC元件；若位于正實軸沖激響應(yīng)發(fā)散。以上對無源RC網(wǎng)絡(luò)是不可能的。證明：（1） 位于負實軸：, ,令 得,令 得 (2) 零極點是一階的 (設(shè)為n階極點，則時，。令，得 故圖5.192 極點留數(shù)為正實數(shù)(它們與R、C值成比例)3 最低的臨界頻率(即最靠近原點的零極點)為極點，原點處要么是極點，要么是常數(shù)。(a) (b)圖5.20 4 最高的臨界頻率為零

13、點，在處要么為零點，要么為常數(shù)。5 零極點交替出現(xiàn)在負實軸上。圖5.21 RC阻抗函數(shù)的零極點分布二 Y(s)的性質(zhì)1 全部零極點位于負實軸上，而且是一階的。2 Y(s)的極點留數(shù)為負實數(shù)，而Y(s)/s的極點留數(shù)為正實數(shù)。3 最低的臨界頻率為零點。4 最高的臨界頻率為極點。5 零極點交替出現(xiàn)。三 Foster綜合(基于部分分式展開)1 Foster第一種形式(并串聯(lián)形式)圖5.22 Foster 第一種綜合形式Foster 第二種形式(串并聯(lián)形式)展開得 因為，所以對進行展開。 圖5.23 Foster 第二種綜合形式【例】5.5 試用Foster兩種形式綜合?！窘狻?1) Foster 第

14、一種形式展開 (2) Foster 第二種形式展開圖5.24 例題5.5圖四 Cauer 型綜合(基于連分式)1 Cauer 第一種形式(串臂為電阻，并臂為電容)，由Z(s)性質(zhì)4得圖5.25 Cauer第一種形式多項式用降冪排列。2 Cauer 第二種形式(串臂為電容，并臂為電阻)。由Y(s)性質(zhì)3得圖5.26 Cauer 第二種形式多項式用升冪排列【例】5.6試用Cauer 兩種形式綜合?！窘狻?1) Cauer 1 圖5.27 用Cauer 1綜合結(jié)果 Cauer 2圖5.28 用Cauer 2 綜合結(jié)果練習(xí)1 試確定下列驅(qū)動點阻抗函數(shù)那些能用RC一端口來實現(xiàn)？(a) ; (b) ；(c

15、) ; (d) 。2 試用Foster兩種形式綜合RC阻抗函數(shù)3 試用Cauer 兩種形式綜合RC導(dǎo)納函數(shù)4 一個阻抗函數(shù)的零極點分布如圖5.29所示，。試用梯形電路實現(xiàn)此函數(shù)。圖5.29 5.7 RLCM一端口的實現(xiàn)一 定義1 不含軸上極點的阻抗(導(dǎo)納)函數(shù)，稱為極小電抗(電納)函數(shù)。2 在軸上某一點具有零實部的阻抗（導(dǎo)納）函數(shù)，稱為極小實部函數(shù)；3 如果一個導(dǎo)抗函數(shù)同時是極小電抗函數(shù)、極小電納函數(shù)，極小實部函數(shù)，則稱之為極小函數(shù)。（極小函數(shù)是正實函數(shù)）。示例 極點 (極小電抗函數(shù))，零點(極小電納函數(shù))。（極小實部函數(shù)）。二 從正實函數(shù)中分解出極小函數(shù)1 移出軸上的極點：設(shè) 移出上的極點：

16、, (在軸上無零極點)。2 電阻約簡（移出實部最小值）。當(dāng)時， -極小函數(shù)。圖5.28從正實函數(shù)中分解出極小函數(shù)示例三 極小函數(shù)的布隆綜合設(shè)為極小函數(shù)，則存在，使得。1 以情況為例：提取串聯(lián)元件，使余函數(shù),即要求。(1) 設(shè)串聯(lián)元件為電容，則。進一步分析如下：(a) 在s=0處存在極點，且極點留數(shù)為-1/C10,Z2(s)不是正實函數(shù)。(b) Z1(s)=Z2(s)+1/(sC1)在s=0處存在極點，Z1(s)非極小函數(shù)，矛盾。故串聯(lián)元件不能為電容。(2) 設(shè)串聯(lián)元件為電感，則(a) 兩個正實函數(shù)之和仍為正實函數(shù)。在處存在零點(一定成對出現(xiàn))，移出之圖 5.29(b) ，時，圖5.30仍為正實函數(shù)，化為極小函數(shù)后重復(fù)上述過程。在處無極點。（c）解決負電感問題學(xué)習(xí)電路等效變換：圖5.31可實現(xiàn)的必須滿足條件： (1)由圖5.30得當(dāng)時， (為有限值)因為是極小函數(shù)，在處無極點，所以 驗證條件（1）全部滿足條件(1)?！纠?.7設(shè)。試綜合之?！窘狻?移出軸上的極點。, , 2 電阻約簡，令得, -極小函數(shù)3 ， (為零點)4 ， 5 ， ，圖5.32消去負電感后得圖5.332 時，與對偶圖5.34消去負電感。圖5.35練習(xí)1 試綜合。參考答案：2 試綜合。參考答案：528