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1、第5章 振動(dòng)和波動(dòng),振動(dòng)是指某一物理量（如位移、電壓、電場(chǎng)強(qiáng)度、氣壓等）在一個(gè)定值附近隨時(shí)間反復(fù)變化的現(xiàn)象。,位移隨時(shí)間反復(fù)變化是機(jī)械振動(dòng),電量隨時(shí)間變化反復(fù)變化是電磁振動(dòng),任何周期振動(dòng)都可以看作是不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成。簡(jiǎn)諧振動(dòng)是一種最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)。,物體振動(dòng)時(shí)，決定其位置的坐標(biāo)按余弦（或正弦）函數(shù)規(guī)律隨時(shí)間變化，這樣的振動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)是理想化模型，許多實(shí)際的小振幅振動(dòng)都可以看成簡(jiǎn)諧振動(dòng)。,5.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng),以彈簧振子為例（彈簧質(zhì)量不計(jì)，不計(jì)摩擦）,o點(diǎn)選在彈簧平衡位置，物體受力：,由牛二定律，上式寫為：,令,有：,上式微分方程的解為：,5.1.1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的描述,1. 簡(jiǎn)

2、諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù),判據(jù)1：物體所受回復(fù)力與位移成正比且反向,判據(jù)2：物理量對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)與本身成正比且反向,判據(jù)3：物理量是時(shí)間的余弦（正弦）函數(shù),簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)判據(jù),彈簧振子的速度與加速度是否作諧振動(dòng)？,2 諧振動(dòng)的特征量,（1）圓頻率 ,彈簧振子的圓頻率,（2）振幅 A、初相位,圓頻率由振子的本身特性決定,(設(shè)t=0 時(shí)，x=x0，v=v0 ),由,有,得到,由,可知：當(dāng)振動(dòng)的角頻率和振幅已知時(shí)，由相位可唯一地確定質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。,（3）相位= t+,用位相來描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有兩個(gè)顯著的優(yōu)點(diǎn),頻率：1秒內(nèi)物體完成全振動(dòng)的次數(shù),（1）可以直觀地體現(xiàn)簡(jiǎn)諧振動(dòng)具有周期的特點(diǎn),由,周期,（2

3、）可以方便地比較兩個(gè)同頻率振動(dòng)的步調(diào),有兩個(gè)同頻率振動(dòng),二者同相,二者反相,x2 振動(dòng)較 x1 振動(dòng)超前,x2 振動(dòng)較 x1 振動(dòng)落后,【例1】 求單擺振動(dòng)方程（質(zhì)量集中于小球上）。,【解】取逆時(shí)針為 張角正向，以懸點(diǎn)為軸，只有重力產(chǎn)生力矩。,則有,由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：,令,單擺作諧振動(dòng),當(dāng) 5o 時(shí),得到,有,例2 底面積 S 的長方形木塊，浮于水面，水下部分高度為 a，用手按下 x 后釋放，證明木塊運(yùn)動(dòng)為諧振動(dòng)。,證明 平衡時(shí),任意位置x處，合力,為回復(fù)力，作諧振動(dòng)。,例3 假設(shè)沿地球直徑打一孔，物體從孔中落下。證明：物體作諧振動(dòng)。,證明 物體受萬有引力與內(nèi)層質(zhì)量有關(guān)。,為回復(fù)力，作諧振動(dòng)。,將物

4、理模型轉(zhuǎn)變成數(shù)學(xué)模型,初始角坐標(biāo)為 的矢量 A 以角速度 逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn) M 在 x 軸上投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)描述為：,M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在 x 軸上的投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，可用諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程來描述。,5.1.2 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量法,例4已知質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為,求質(zhì)點(diǎn)從 t=0 開始到 x=-2cm 且沿 x 方向運(yùn)動(dòng)所需要的最短時(shí)間。,解 旋轉(zhuǎn)矢量在由0 t 時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為,所需最短時(shí)間為：,例5 根據(jù)下圖寫出振動(dòng)方程,例6 根據(jù)下圖寫出振動(dòng)方程,簡(jiǎn)諧振動(dòng)過程中諧振子只受保守力的作用，振子系統(tǒng)能量守恒。這種振動(dòng)系統(tǒng)為孤立諧振動(dòng)系統(tǒng)。,以彈簧振子為例，其動(dòng)能和勢(shì)能為,總能量守恒,5.1.3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的

5、能量,例7 豎直懸掛的彈簧振子如圖所示，設(shè)平衡時(shí)彈簧伸長為 x0, 振幅為A，計(jì)算其機(jī)械能：（1）以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以彈簧原長處為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能零點(diǎn)；（2）以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)及勢(shì)能零點(diǎn)。,解：（1）,由,得,（2）以平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn),設(shè),在題給勢(shì)能零點(diǎn)條件下,平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)，Ep=kx2/2 即包括彈性勢(shì)能又包括重力勢(shì)能，稱之為準(zhǔn)彈性勢(shì)能。,例8一質(zhì)點(diǎn)的諧振方程為x =6.010-2cos(t /3 -/4)(SI) （1）周期、頻率各為多少？ （2）當(dāng) x 值為多大時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為總能量的一半？ （3）質(zhì)點(diǎn)從平衡位置移到此位置所需最短時(shí)間為多少？,解,如果,例9 一輕彈簧的勁

6、度系數(shù)為k，其下懸有質(zhì)量為m的盤子，現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為M的物體從離盤h處下落到盤中并和盤粘在一起，于是盤開始振動(dòng)求其振幅多大。,解 以輕彈簧和（m+M）系統(tǒng)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，取向下為正。初始位置為,由,再由,解得,利用旋轉(zhuǎn)矢量法求合振動(dòng),1. 同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,合振動(dòng),5.2. 振動(dòng)的合成,5.2.1 同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,例10同一直線上有n 個(gè)頻率相同的諧振動(dòng)，它們振幅相等且初相依次相差一個(gè)恒量，求合振動(dòng)。,解 設(shè)這 n 個(gè)諧振動(dòng)的頻率為 ，初相依次相差，由旋轉(zhuǎn)矢量法，得到,得到,這種振動(dòng)的合成一般比較復(fù)雜，這里只討論,兩諧振動(dòng)的頻率1、2比較大；,兩諧振動(dòng)的頻率相差比較小

7、： 12,設(shè),合成,合振動(dòng)是一個(gè)振幅被調(diào)制的振動(dòng)，是非周期性的,2. 同方向、不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫做拍,單位時(shí)間內(nèi)合振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)稱為拍頻,所以拍頻：,設(shè)分振動(dòng),1 互相垂直的頻率相同的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成,消去時(shí)間 t ，得到合振動(dòng)的軌道方程：,合振動(dòng)軌道方程是個(gè)橢圓方程,5.2.2 相互垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成,上式變?yōu)椋?質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng),(1),方程為：,(2),質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng),(3),質(zhì)點(diǎn)軌跡為橢圓,方程為：,(4),方程仍為,質(zhì)點(diǎn)軌跡為橢圓,(5),軌道形狀與分振動(dòng)的振幅、頻率比和相位差有關(guān),2.相互垂直的頻率成整數(shù)比的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成,這種軌道圖形稱為

8、李薩如圖形。,軌道形狀與分振動(dòng)的振幅、頻率比和相位差有關(guān)。,1. 振動(dòng)在空間的傳播過程叫做波動(dòng)。,2. 常見的波有兩大類:,(3) 在微觀領(lǐng)域中還有物質(zhì)波。,3. 各種波的本質(zhì)不同, 但其基本傳播規(guī)律有許多相同之處。,5.4 平面簡(jiǎn)諧波,波動(dòng)是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，是能量的傳播，而不是質(zhì)點(diǎn)本身的傳播。,1. 產(chǎn)生機(jī)械波的條件,產(chǎn)生波的條件存在彈性介質(zhì)和波源,波源處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)通過彈性介質(zhì)中的彈性力， 將振動(dòng)傳播開去，從而形成機(jī)械波。,5.4.1 機(jī)械波的產(chǎn)生與描述,1）橫波,各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向垂直的波。,根據(jù)介質(zhì)質(zhì)元的振動(dòng)方向與波的傳播方向間的關(guān)系，可以將機(jī)械波分為兩類：橫波和縱波。,2.

9、波的分類,各質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向平行的波。,縱波是靠介質(zhì)疏密部變化傳播的。,任一波,如水波、地表波，都能分解為橫波與縱波來進(jìn)行研究。,2）縱波,橫軸 x 表示波的傳播方向,坐標(biāo) x 表示質(zhì)點(diǎn)的平衡位置,縱軸 y 表示質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向,坐標(biāo) y 表示質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的位移,表示某一時(shí)刻波中各質(zhì)點(diǎn)位移的圖,橫波的波形圖與實(shí)際的波形是相同的，但是對(duì)于縱波，波形圖表示的是各質(zhì)點(diǎn)位移的分布情況。,3. 波形圖,4. 描述波特性的幾個(gè)物理量,周期T : 傳播一個(gè)完整的波形所用的時(shí)間，或一個(gè)完整的波通過波線上某一點(diǎn)所需要的時(shí)間。,頻率 ：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)傳播完整波形的個(gè)數(shù)。,波長 ：兩相鄰波峰或波谷或相位相同

10、點(diǎn)間的距離，或振動(dòng)在一個(gè)周期中傳播的距離。,周期、頻率與介質(zhì)無關(guān)，波在不同介質(zhì)中頻率不變。,波速u: 單位時(shí)間某種振動(dòng)狀態(tài)（或振動(dòng)相位）所傳播的距離稱為波速u ，也稱之相速 。,機(jī)械波的波速?zèng)Q定于介質(zhì)的慣性和彈性，因此，不同頻率的同一類波在同一介質(zhì)中波速相同。,在各向同性均勻固體中,橫波,縱波,G 切變彈性模量， E 楊氏模量， 密度。,T、 、 、u 的關(guān)系,若波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng), 在波傳到的區(qū)域, 媒質(zhì)中的質(zhì)元 均作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這種波稱為簡(jiǎn)諧波。,5.4.2 平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù),人們用波函數(shù)描述波，波函數(shù)應(yīng)能描述質(zhì)點(diǎn)在空間任一點(diǎn)、 任一時(shí)刻的位移。,這個(gè)函數(shù)表達(dá)式也叫做波動(dòng)方程,【例1】設(shè)原點(diǎn)（

11、非振源，是參考點(diǎn)）處的簡(jiǎn)諧振動(dòng)為 。假設(shè)u為波速, 媒質(zhì)無吸收即質(zhì)元振幅均為A，沿 x 正方向傳播的簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)是什么？,【答】,波從原點(diǎn)傳到任一點(diǎn)P (坐標(biāo)為 x ）所需的時(shí)間是 x / u , 所以任一時(shí)刻 t ,任一點(diǎn) P 的位移（即波函數(shù)）為,或：沿波的傳播方向, 各質(zhì)元的相位依次落后。, 抓住概念：某時(shí)刻某質(zhì)元的相位（振動(dòng)狀態(tài)） 將在較晚時(shí)刻于“下游”某處出現(xiàn)。,如何寫出平面（一維）簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)？, 須知三個(gè)條件：,1. 某參考點(diǎn)的振動(dòng)方程( A, , ) 2. 波長 (或 k,或 u),3. 波的傳播方向,另外常用的幾種寫法：,對(duì)于,思考：波形曲線和振動(dòng)曲線有什么不同？,任意

12、P點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為,P點(diǎn)的振動(dòng)比 a 點(diǎn)落后,【例2】設(shè)媒質(zhì)無吸收，參考點(diǎn) a 的振動(dòng)表達(dá)式為,已知波長為 ，寫出沿+x方向傳播的簡(jiǎn)諧波？,【解】,問：沿 - x方向傳播的簡(jiǎn)諧波表達(dá)式如何?,對(duì)于某一給定的相位,兩邊求導(dǎo)得,說明波的相位的傳播速度就是波速 u ， 所以，波速 u也稱為相速度。它可以超過光速。,相速度,-這就是某一給定的相位的 位置 x 與時(shí)間 t 的關(guān)系。,稱為x 處t 時(shí)刻的相位或相， 它是最活躍的因素， 通常說：它決定了振動(dòng)的狀態(tài)。,【例3】下圖是一平面簡(jiǎn)諧波在t=2秒時(shí)的波形圖，由圖中所給的數(shù)據(jù)求：（1）該波的周期；（2）傳播介質(zhì)O點(diǎn)處的振動(dòng)方程；（3）該波的波動(dòng)方程。,

13、O點(diǎn)振動(dòng)方程為,波動(dòng)方程,【解】利用旋轉(zhuǎn)矢量法求出,隨著波的行進(jìn),能量在傳播。,波的能量 = 振動(dòng)動(dòng)能 + 形變勢(shì)能,考慮細(xì)長棒上一段 小質(zhì)元 x，如圖：, 動(dòng)能密度,以沿 x 軸傳播的平面簡(jiǎn)諧縱波為例：,波在彈性媒質(zhì)中傳播時(shí),各質(zhì)元都在振動(dòng)，,5.4.3 波的能量,1. 波動(dòng)的能量,小質(zhì)元?jiǎng)幽?當(dāng)有平面波傳播時(shí)， x 處，縱向位移,動(dòng)能密度為:, 勢(shì)能密度,考慮細(xì)棒上小質(zhì)元的彈性形變y,彈性拉力：,彈性勢(shì)能 =彈性拉力作的功 （變力的功）,F= k y,因,勢(shì)能密度又寫為:,勢(shì)能密度為:,對(duì)沿 x 軸傳播的平面簡(jiǎn)諧波,y(x,t)=Acos(t-kx),wk、wp 均隨 t 周期性變化,兩者

14、同相同大 。,怎么動(dòng)能和勢(shì)能之和不等于常數(shù),也不相互轉(zhuǎn)化 ？,E=u2,由于,w = wk+wp = 2A2sin2 (t-x/u), 能量密度,2. 波的強(qiáng)度,單位時(shí)間內(nèi)通過垂直于波的傳播方向的 單位面積的平均能量,稱為平均能流密度, 又稱為 波的強(qiáng)度 I 。,平均能流密度(波的強(qiáng)度)即,【解】,【例4】 一平面簡(jiǎn)諧波，波速為 340ms-1，頻率為 300Hz在橫截面積為 3.00 10-2m2的管內(nèi)的空氣中傳播，若在10秒內(nèi)通過截面的能量為 2.70 10-2J，求：（1）通過截面的平均能流；（2）波的平均能流密度；（3）波的平均能量密度。,5.6.1 惠更斯原理,“媒質(zhì)中波傳到的各點(diǎn),

15、都可看作開始發(fā)射 子波(次級(jí)波)的子波源(點(diǎn)波源)，,在以后的任一時(shí)刻,這些子波面的包絡(luò)面 就是新的波前 ”。,研究波的傳播方向：知道某時(shí)刻波前的位置， 能否知道下一時(shí)刻的波前位置？,若媒質(zhì)均勻、各向同性 ,各子波都是 以波速 u 向外擴(kuò)展的球面波。,5.6 波的疊加,例：已知 t 時(shí)刻的波面，得出 t + t 時(shí)刻的波面, 就可得出波的傳播方向 .,實(shí)驗(yàn)說明了惠更斯原理的正確性。,5.6.2 波的疊加原理,媒質(zhì)中同時(shí)有幾列波時(shí),每列波都將保持 自己原有的特性,不受其它波的影響 -波傳播的獨(dú)立性。,“在幾列波相遇而互相交疊的區(qū)域中,某點(diǎn)的振動(dòng)是各列波單獨(dú)傳播時(shí)在該點(diǎn)引起的振動(dòng)的合成”-波的疊加

16、原理.,當(dāng)波的振幅、強(qiáng)度過大時(shí)，媒質(zhì)形變與彈力的關(guān)系不再呈線性，疊加原理就不再成立。,考慮頻率相同、振動(dòng)方向相同、有恒定的相位差的兩列波相遇時(shí)情況,設(shè)波源 S1 、 S2的振動(dòng)方程為：,兩列波在P點(diǎn)的振動(dòng)方程為：,P點(diǎn)合振動(dòng)振幅：,5.6.3 波的干涉,相遇點(diǎn)振動(dòng)加強(qiáng),當(dāng),相遇點(diǎn)振動(dòng)減弱,當(dāng),頻率相同、振動(dòng)方向相同、有恒定的相位差的兩列波相遇時(shí)，使某些地方振動(dòng)始終加強(qiáng)，某些地方振動(dòng)始終減弱的現(xiàn)象叫做波的干涉。,S1 、 S2在P點(diǎn)引起振動(dòng)的相位差為：,波程差為波長的整數(shù)倍時(shí)干涉加強(qiáng)。,當(dāng),時(shí),加強(qiáng)條件,寫為,減弱條件,寫為,波程差為半波長的奇數(shù)倍時(shí)干涉減弱。,【例5】相干波源 A、B 位置如圖

17、所示，頻率 =100Hz，波速 u =10 m/s，A-B=，求：P 點(diǎn)振動(dòng)情況。,【解】,P點(diǎn)干涉減弱,【例6】兩相干波源分別在 PQ 兩點(diǎn)處，初相相同，它們相距 3 / 2，由 P、Q 發(fā)出頻率為 ，波長為的兩列相干波，R 為 PQ 連線上的一點(diǎn)。求：自P、Q 發(fā)出的兩列波在 R 處的相位差。兩波源在 R 處干涉時(shí)的合振幅。,【解】,合振幅最小,5.6.4 駐波,駐波是兩列振幅、頻率和傳播速率都相同的相干波在同一直線上沿相反方向傳播時(shí)疊加而形成的。,設(shè)有向左傳播的波和向右傳播的波在原點(diǎn)處相位相同，它們的波動(dòng)方程分別寫作：,它們的合振動(dòng),駐波方程,1. 駐波,波節(jié)振幅始終為 0 的位置,波腹

18、振幅始終最大的位置,振幅與位置 x 有關(guān),波節(jié)兩側(cè)的振動(dòng)相位相反，兩波節(jié)間同步振動(dòng),駐波的波形、能量都不能傳播,波節(jié)位置決定于,相鄰波節(jié)距離,相鄰波腹距離,波腹位置決定于,波節(jié)與波腹之間的距離為/4,繩上向某方向傳播的波 與在固定點(diǎn)反射的波合成的結(jié)果形成駐波。在反射點(diǎn)處的繩固定不動(dòng)，是波節(jié)。,反射波與入射波的相位在此正好相反，有“半波損失”。,2. 半波損失,當(dāng)反射點(diǎn)處的繩是自由端時(shí)，反射波沒有 “半波損失”，形成的駐波在此是波腹。,【例7】入圖所示，為一向右傳播的簡(jiǎn)諧波在 t 時(shí)刻的波形圖，當(dāng)波從波疏介質(zhì)入射到波密介質(zhì)表面 BC，在 P 點(diǎn)反射時(shí)，反射波在 t 時(shí)刻波形圖為,（D）,多普勒效

19、應(yīng)：當(dāng)波源S和觀察者R有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，接收器所測(cè)得的頻率R不等于波源振動(dòng)頻率S的現(xiàn)象。, 介質(zhì)中波速u。, 設(shè) S 和 R的運(yùn)動(dòng)沿二者連線。, S 和 R 的速率分別為vS、vR。, 三個(gè)頻率 :,S 波源振動(dòng)頻率, 波在介質(zhì)中的頻率,R 接收頻率,5.7 多普勒效應(yīng),分幾種情況討論,S = ，但 R = ?,1 波源靜止，接收器運(yùn)動(dòng) (vS= 0，vR 0),設(shè)R 向著靜止的S運(yùn)動(dòng)，,單位時(shí)間內(nèi) R 所接收的 波的個(gè)數(shù)為,因?yàn)镾 = ,R 靠近S時(shí)， 上式中u+vR ，RS , 聲音變尖。,R 遠(yuǎn)離S時(shí)， 上式中u-vR ， RS , 聲音變啞。,2. 接收器靜止,波源運(yùn)動(dòng) (vR= 0,vS

20、 0),R = , 但 =?,S發(fā)出“波頭”,前進(jìn)vSTS后再發(fā)“波尾”，S波長縮短。,(vSu 時(shí)不適用),3. 接收器、波源都運(yùn)動(dòng) (vS 0 、vR 0),S R,綜合上面 1、2 兩種情況，有,S、R相互靠近時(shí)，上式中u+vR、u-vS， 得到 RS , 聲音變尖。,S、R相互靠近時(shí)，上式中u-vR、u+vS， 得到 RS , 聲音變啞。,若波源速度超過波速(vSu),產(chǎn)生以S 為頂點(diǎn)的圓錐形的波,例： 超音速飛機(jī)會(huì)在空氣中 激起沖擊波。,例： 船速超過水波波速時(shí) 可以看到這種V形波。,上式失去意義，這時(shí),多普勒效應(yīng)的實(shí)際例子與應(yīng)用,1.測(cè)速,測(cè)定汽車,飛機(jī)等的速度,光波也有多普勒效應(yīng)

21、。,相互接近時(shí) R S 接收頻率變高； 相互遠(yuǎn)離時(shí) R S 接收頻率變低（紅移）。,光波的傳播不依靠媒質(zhì)， 要從相對(duì)論來討論其 多普勒效應(yīng)的原理（略）。,但是，定性的結(jié)論是一樣的：,2. 星體光譜的紅移,星體光譜都有紅移現(xiàn)象- 宇宙在膨脹。,【解】（1）,【例8】一聲源振動(dòng)的頻率為2040Hz，以速度 Vs向一反射面接近，觀察者在A處測(cè)得拍音的頻率 =3 Hz，如果聲速為340m/s，求波源移動(dòng)的速度？如果波源不動(dòng)，反射面以速度V=0.20m/s向觀察者接近，測(cè)得拍頻 =4 Hz，求波源的頻率？,觀測(cè)者直接接收的頻率：,觀察者接收到的反射面反射的頻率（也就是反射面接收到的頻率）：,則：,得出：,（2）,觀察者接收到的運(yùn)動(dòng)的反射面反射的頻率：,反射面接收到的頻率：,觀測(cè)者直接接收的頻率：,則：,得出：,