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1、第5章 量綱分析和相似原理,工程流體力學(xué)、水力學(xué)的問(wèn)題，由于邊界條件復(fù)雜，大多數(shù)不能單純依靠數(shù)學(xué)方法求得嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕馕鼋?；即使是少?shù)可以求解的問(wèn)題，也要做相當(dāng)多的簡(jiǎn)化和假定；對(duì)于重要的工程，為確保工程安全，在付諸實(shí)施之前，一般還要經(jīng)過(guò)模型實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證。本章在量綱分析法的基礎(chǔ)上探討流動(dòng)的相似理論，對(duì)流體力學(xué)試驗(yàn)研究具有重要的指導(dǎo)意義。,主要內(nèi)容：,量綱分析的意義和量綱和諧原理,量綱分析法,相似理論基礎(chǔ),模型實(shí)驗(yàn),,（1） 量綱的概念,單位是指量度物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)，單位確定之后，一個(gè)具體的物理量就有了對(duì)應(yīng)的一個(gè)數(shù)值，有了比較意義上的大小，這是物理量的“量”的特征。,量綱是指物理量的物理屬性。它包含物

2、理量的基本物理要素及其結(jié)合形式，表示物理量的類別，是物理量的“質(zhì)”的特征。,任何物理量都是由自身的物理屬性（類別）和為度量該物理屬性而規(guī)定的量度標(biāo)準(zhǔn)（單位）兩個(gè)因素構(gòu)成的。即“質(zhì)”的特征和“量”的特征。,5.1 量綱分析的意義和量綱和諧原理,,,,,基本量綱具有獨(dú)立性，比如與溫度無(wú)關(guān)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題可選取長(zhǎng)度L、時(shí)間T和質(zhì)量M為基本量綱。,基本量綱,誘導(dǎo)量綱,量綱,,誘導(dǎo)量綱可由量綱公式通過(guò)基本量綱導(dǎo)出,稱為量綱指數(shù),如,思考：加速度的量綱是什么？力的量綱是什么？,,,,相同量綱量的比值,幾個(gè)有量綱量通過(guò)乘除組合而成,如三角函數(shù)，無(wú)量綱速度等,定義：物理量的所有量綱指數(shù)為零,如壓力系數(shù),（2） 無(wú)

3、量綱量,無(wú)量綱量的特性 客觀性 不受運(yùn)動(dòng)規(guī)模影響 可進(jìn)行超越函數(shù)運(yùn)算,量綱分析法是用于尋求一定物理過(guò)程中，相關(guān)物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的一種方法。它對(duì)于正確地分析、科學(xué)地表達(dá)物理過(guò)程是十分有益的。,5.2 量綱分析法,量綱分析法是基于量綱和諧原理發(fā)展起來(lái)的。共有2種：瑞利法和 定理。,,（1） 瑞利法,則其中任何一個(gè)物理量qi可以表示為其他物理量的指數(shù)的乘積,瑞利法的基本原理如下：若某一物理過(guò)程可用下面的函數(shù)表示,將各物理量的量綱代入上式，并根據(jù)量綱和諧原理，確定出指數(shù)a,b,c,p,即可得到表達(dá)該物理過(guò)程的方程式。,瑞利法只能用于一些比較簡(jiǎn)單的過(guò)程。,例,求初速度為零的自由落體運(yùn)動(dòng)位移 s的計(jì)算

4、式（不計(jì)空氣阻力）,解： （1）已知位移s和重力加速度 g和時(shí)間 t有關(guān)，物理過(guò)程可寫為,（2）寫出指數(shù)乘積關(guān)系式,（4）根據(jù)量綱和諧原理，有,（3）寫出量綱式,（5）所以,無(wú)量綱系數(shù)K可以用實(shí)驗(yàn)測(cè)定。,物理過(guò)程的有量綱表達(dá)形式為 ,其中 m 個(gè)物理量的量綱被選為基本量綱，余下 n-m 個(gè)物理量可各自與這m 個(gè)物理量組合成無(wú)量綱量 ，定理的結(jié)論是：物理過(guò)程的無(wú)量綱表達(dá)形式為,（2） 定理,若某物理過(guò)程涉及 n 個(gè)物理量，其中有 m 個(gè)物理量的量綱是互相獨(dú)立的（不能相互導(dǎo)出），選這些量綱為基本量綱，可組成 n-m 個(gè)無(wú)量綱量，物理過(guò)程則可由這 n-m 個(gè)無(wú)量綱量的關(guān)系式描述。,（3）基

5、本量依次與余下 n-m 個(gè)物理量組合成無(wú)量綱量,應(yīng)用 定理的基本步驟,（1）找出與物理過(guò)程有關(guān)的n 個(gè)物理量。,（2）選取 m 個(gè)物理量為基本量。不可壓縮流動(dòng)中，m=3，通常取速度、密度和特征長(zhǎng)度為基本量。,（5）整理方程式。,（4）定出各項(xiàng)指數(shù)。,例,求初速度為零的自由落體運(yùn)動(dòng)位移 s的計(jì)算式（不計(jì)空氣阻力）,解： （1）已知位移s和重力加速度 g和時(shí)間 t有關(guān)，物理過(guò)程可寫為,（2）選取基本量,（4）定出指數(shù),（3）組合無(wú)量綱量,（5）整理方程式,無(wú)量綱系數(shù)K可以用實(shí)驗(yàn)測(cè)定。,在量綱分析法中，將物理過(guò)程表示成了無(wú)量綱量的函數(shù)，似乎物理過(guò)程涉及的因素減少了，其實(shí)涉及的物理量并未減少，只是這些

6、物理量組合成了若干無(wú)量綱量相互關(guān)聯(lián)。比起有量綱表達(dá)來(lái)，無(wú)量綱表達(dá)更接近于相關(guān)物理量之間規(guī)律性聯(lián)系的實(shí)質(zhì)，也更具普遍性。,應(yīng)用 定理要點(diǎn)（也是難點(diǎn)）在于：確定物理過(guò)程涉及的物理量時(shí)，既不能遺漏，也不要多列。,例,水流圍繞橋墩流動(dòng)時(shí)，將產(chǎn)生繞流阻力D，該阻力與橋墩尺寸l，水流速度v，水的密度，動(dòng)力粘度及重力加速度g有關(guān)，試求阻力D的表達(dá)式。,解： （1）物理過(guò)程可寫為,（2）選取基本量,（3）組合無(wú)量綱量,（4）定出指數(shù),（5）整理方程式,為解決工程問(wèn)題，需要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。 大多數(shù)實(shí)驗(yàn)都是基于模型進(jìn)行的。（擴(kuò)大或縮?。?欲從模型實(shí)驗(yàn)結(jié)果推知原型流動(dòng)情況，必須保證模型試驗(yàn)中的流動(dòng)和原型流動(dòng)具有相似性。

7、什么樣的流動(dòng)才具有相似性？這就是相似理論要回答的問(wèn)題。,53 相似理論基礎(chǔ),一 相似理論的意義,兩個(gè)流動(dòng)要相似，需滿足以下四方面要求： 幾何相似 運(yùn)動(dòng)相似 動(dòng)力相似 邊界條件和初始條件相似,二 相似的概念,,,幾何相似：流場(chǎng)幾何形狀相似，相應(yīng)長(zhǎng)度成比例，相應(yīng)角度相等。幾何相似還可認(rèn)為包括流場(chǎng)相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，如固體壁面，自由液面等。,長(zhǎng)度比尺,,,,,運(yùn)動(dòng)相似：以幾何相似為前提。兩個(gè)流動(dòng)相應(yīng)點(diǎn)的速度方向一致，大小成比例。,,在對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，流場(chǎng)速度圖相似，即相應(yīng)點(diǎn)速度大小成比例，方向相同。,速度比尺,加速度比尺,,長(zhǎng)度比尺,時(shí)間比尺,動(dòng)力相似：在對(duì)應(yīng)位置和對(duì)應(yīng)瞬時(shí)，流場(chǎng)中各種成分的力（慣性力、質(zhì)量

8、力、壓差力和粘性力）矢量圖都相似，即相應(yīng)點(diǎn)力的大小成比例，方向相同。并且各種成分力的相似比例數(shù)也相同，即力多邊形相似。,作用力比尺,,邊界條件相似：相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，如固體壁面，自由液面等。 初始條件相似：對(duì)非恒定流（非定常流），初始條件要相似。對(duì)恒定流，則與初始條件無(wú)關(guān)。 有時(shí)可將邊界條件相似歸結(jié)為幾何相似。,,不可壓流體的流動(dòng)都受N-S方程的控制，那么我們?cè)鯓觼?lái)保證兩個(gè)不同規(guī)模的流動(dòng)是相似的呢？,三. 相似準(zhǔn)則,用流動(dòng)的時(shí)間、長(zhǎng)度、流速和壓強(qiáng)特征量 ，將方程的自變量和因變量無(wú)量綱化：,帶的量成為無(wú)量綱量。,,將變量代入,連續(xù)方程,N-S方程,得到無(wú)量綱方程,和,其中,將無(wú)量綱 N-S

9、 方程整理，得到,必須相等。它們都是無(wú)量綱量，分別反映了慣性力、重力、壓差力和粘性力在流動(dòng)動(dòng)力平衡中的相對(duì)重要性。,兩個(gè)相似流動(dòng)的無(wú)量綱解應(yīng)完全相同，則它們的無(wú)量綱方程和無(wú)量綱邊界條件、初始條件應(yīng)該完全一樣，所以兩個(gè)相似流動(dòng)對(duì)應(yīng)的上式中的各項(xiàng)的無(wú)量綱系數(shù),根據(jù)上面得到的四個(gè)無(wú)量綱量（有的作了取倒數(shù)、開(kāi)方等改形）得到流動(dòng)的相似參數(shù)：,它們分別是慣性力、重力、壓差力、粘性力相似的參數(shù)。,,時(shí)變慣性力,位變慣性力,,,表征,斯托哈爾數(shù),,歐拉數(shù),慣性力,,重力,慣性力,,壓差力,,表征,,表征,,表征,流動(dòng)的特征量一般應(yīng)取流動(dòng)中容易測(cè)量到的、能顯著體現(xiàn)流動(dòng)特征，或者對(duì)流動(dòng)起到重要控制作用的量。如,這

10、些特征量常取在邊界處，使相似參數(shù)中自然融進(jìn)邊界條件的相似。,相似準(zhǔn)則：,弗勞德準(zhǔn)則：重力相似準(zhǔn)則，保證兩現(xiàn)象的弗勞德數(shù)相等,非恒定相似準(zhǔn)則：保證兩現(xiàn)象的斯托哈爾數(shù)相等,歐拉準(zhǔn)則：壓差力相似，即歐拉數(shù)相等,雷諾準(zhǔn)則：粘性相似準(zhǔn)則，保證兩現(xiàn)象的雷諾數(shù)相等,,在相似的條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn),應(yīng)該測(cè)量實(shí)驗(yàn)結(jié)果無(wú)量綱表達(dá)式包含的所有物理量,實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)整理成以相似參數(shù)和其它無(wú)量綱量來(lái)表示的函數(shù)關(guān)系式或繪制成曲線；實(shí)驗(yàn)結(jié)果只能應(yīng)用于相似現(xiàn)象之間。,在什么條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?,應(yīng)該測(cè)量哪些物理量?,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如何應(yīng)用?,如何進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?,54 模型實(shí)驗(yàn),,可見(jiàn)粘性和重力相似條件產(chǎn)生矛盾，除非改變 g 和 . 而我們知道改變

11、g 是不大可能的（由此可知為什么有些實(shí)驗(yàn)要在航天飛機(jī)上做），改變 的可能性也不大，因?yàn)榱黧w力學(xué)實(shí)驗(yàn)可供選擇的流體種類是很少的。通常我們只能抓主要矛盾，保證起決定作用的那個(gè)相似參數(shù)相等，稱為 。,部分相似,在相似的條件下進(jìn)行實(shí)驗(yàn),,例如,例,為研究風(fēng)對(duì)高層建筑物的影響，在風(fēng)洞中進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)，當(dāng)風(fēng)速為9m/s時(shí)，測(cè)得迎風(fēng)面壓強(qiáng)為42N/m2，背風(fēng)面壓強(qiáng)為-20N/m2，試求當(dāng)風(fēng)速增至12m/s時(shí)，迎風(fēng)面和背風(fēng)面的壓強(qiáng)。,解： 假設(shè)風(fēng)速為9m/s時(shí)為狀態(tài)1， 12m/s時(shí)為狀態(tài)2，兩種狀態(tài)下流動(dòng)是相似的，則各點(diǎn)的任意無(wú)量綱量均應(yīng)相等。定義一無(wú)量綱量,在迎風(fēng)面處，,在背風(fēng)面處，,例,一個(gè)潮汐模型，按弗勞德準(zhǔn)則設(shè)計(jì)，長(zhǎng)度比尺為2000，問(wèn)原型中的一天，相當(dāng)于模型時(shí)間的多少？,解： 在原型和模型中，弗勞德數(shù)應(yīng)相等，即,整理，得,又因?yàn)椋?習(xí)題,5-13 5-15 5-19 5-20 5-23,