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1、第六章 回歸分析 變量之間的聯(lián)系 確定型的關(guān)系：指某一個或某幾個現(xiàn)象的變動必然會 引起另一個現(xiàn)象確定的變動，他們之間的關(guān)系可以使 用數(shù)學(xué)函數(shù)式確切地表達(dá)出來，即 y=f(x)。當(dāng)知道 x的 數(shù)值時，就可以計算出確切的 y值來。如圓的周長與 半徑的關(guān)系：周長 =2r。 非確定關(guān)系：例如，在發(fā)育階段，隨年齡的增長，人 的身高會增加。但不能根據(jù)年齡找到確定的身高，即 不能得出 11歲兒童身高一定就是 1.40米公分。年齡與 身高的關(guān)系不能用一般的函數(shù)關(guān)系來表達(dá)。研究變量 之間既存在又不確定的相互關(guān)系及其密切程度的分析 稱為相關(guān)分析。 回歸分析 如果把其中的一些因素作為自變量，而另一 些隨自變量的變化

2、而變化的變量作為因變量， 研究他們之間的非確定因果關(guān)系，這種分析 就稱為 回歸分析 。 回歸分析是研究一個自變量或多個自變量與 一個因變量之間是否存在某種線性關(guān)系或非 線性關(guān)系的一種統(tǒng)計學(xué)方法。 線性回歸分析； 曲線回歸分析； 二維 Logistic回歸分析； 多維 Logistic回歸分析； 概率單位回歸分析； 非線性回歸分析； 權(quán)重估計分析； 二階段最小二乘分析； 最優(yōu)編碼回歸。 一、線性回歸 （一）一元線性回歸方程 直線回歸分析的任務(wù)就是根據(jù)若干個觀測（ xi， yi） i=1 n 找出描述兩個變量 x、 y之間關(guān)系的直線回歸方程 y=a+bx。 y是變量 y的估計值。求直線回歸方程 y

3、=a+bx,實際上是用 回歸直線擬合散點(diǎn)圖中的各觀測點(diǎn)。常用的方法是最小二乘 法。也就是使該直線與各點(diǎn)的縱向垂直距離最小。即使實測 值 y與回歸直線 y之差的平方和 (y-y)2達(dá)到最小。 (y-y)2 也稱為剩余（殘差）平方和。因此求回歸方程 y=a+bx的問 題，歸根到底就是求 (y-y)2取得最小值時 a和 b的問題。 a稱 為截距， b為回歸直線的斜率，也稱回歸系數(shù)。 1、一元線性回歸方程的適用條件 線形趨勢 ：自變量與因變量的關(guān)系是線形的，如果不 是，則不能采用線性回歸來分析。 獨(dú)立性 ：可表述為因變量 y的取值相互獨(dú)立，它們之 間沒有聯(lián)系。反映到模型中，實際上就是要求殘差間 相互獨(dú)

4、立，不存在自相關(guān)。 正態(tài)性： 自變量 x的任何一個線形組合，因變量 y均服 從正態(tài)分布，反映到模型中，實際上就是要求隨機(jī)誤 差項 i服從正態(tài)分布。 方差齊性 ：自變量的任何一個線形組合，因變量 y的 方差均齊性，實質(zhì)就是要求殘差的方差齊。 2、一元線性回歸方程的檢驗 檢驗的假設(shè)是總體回歸系數(shù)為 0。另外要檢驗回歸方 程對因變量的預(yù)測效果如何。 （ 1）回歸系數(shù)的顯著性檢驗 對斜率的檢驗，假設(shè)是：總體回歸系數(shù)為 0。檢驗該 假設(shè)的 t值計算公式是； t=b/SEb,其中 SEb是回歸系 數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。 對截距的檢驗，假設(shè)是：總體回歸方程截距 a=0。檢 驗該假設(shè)的 t值計算公式是： t=a/SEa

5、,其中 SEa是截 距的標(biāo)準(zhǔn)誤。 （ 2） R2判定系數(shù) 在判定一個線性回歸直線的擬合度的好壞時， R2系 數(shù)是一個重要的判定指標(biāo)。 R2判定系數(shù)等于回歸平方和在總平方和 中所占的比率 ， 即 R2體現(xiàn)了回歸模型所能解釋的因 變量變異性的百分比。 如果 R2=0.775，則說明變量 y 的變異中有 77.5是由變量 X引起的。當(dāng) R2 1時， 表示所有的觀測點(diǎn)全部落在回歸直線上。當(dāng) R2=0時， 表示自變量與因變量無線性關(guān)系。 為了盡可能準(zhǔn)確的反應(yīng)模型的擬合度， SPSS輸出中 的 Adjusted R Square是消除了自變量個數(shù)影響的 R2 的修正值。 )( )( 2 2 2 yy yy

6、R i i （ 3）方差分析 體現(xiàn)因變量觀測值與均值之間的差異的偏差平方和 SSt是由兩個部分組成： SSt=SSr SSe SSr：回歸平方和，反應(yīng)了自變量 X的重要程度； SSe ：殘差平方和，它反應(yīng)了實驗誤差以及其他意外 因素對實驗結(jié)果的影響。 這兩部分除以各自的自由度， 得到它們的均方。 統(tǒng)計量 F=回歸均方殘差均方。當(dāng) F值很大時，拒 絕接受 b=0的假設(shè)。 （ 4） Durbin Watson檢驗 在對回歸模型的診斷中，有一個非常重要的 回歸模型假設(shè)需要診斷，那就是 回歸模型中 的誤差項的獨(dú)立性 。如果誤差項不獨(dú)立，那 么對回歸模型的任何估計與假設(shè)所作出的結(jié) 論都是不可靠的。其參數(shù)

7、稱為 DW或 D。 D的 取值范圍是 0 D 4，統(tǒng)計學(xué)意義如下： 當(dāng)殘差與自變量互為獨(dú)立時 D2； 當(dāng)相鄰兩點(diǎn)的殘差為正相關(guān)時， D2 （ 5）殘差圖示法 在直角坐標(biāo)系中，以預(yù)測值 y為橫軸，以 y與 y之間的誤差 et為縱軸 (或?qū)W生化殘差與擬和 值或一個自變量），繪制殘差的散點(diǎn)圖。如 果散點(diǎn)呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律性則 ,認(rèn)為存在自相 關(guān)性或者非線性或者非常數(shù)方差的問題。 （二）多元線性回歸 多元線性回歸：根據(jù) 多個自變量 的最優(yōu)組合建立回歸 方程來預(yù)測因變量的回歸分析稱為多元回歸分析。多 元回歸分析的模型為： y=b0+b1x1+b2x2+ +bnxn 其中 y為根據(jù)所有自變量 x計算出的估計

8、值 , b0為常 數(shù)項 , b1、 b2 bn稱為 y對應(yīng)于 x1、 x2 xn的偏回歸 系數(shù)。 偏回歸系數(shù)表示假設(shè)在其他所有自變量不變 的情況下，某一個自變量變化引起因變量變化的比 率。 多元線性回歸模型也必須滿足一元線性回歸方程中所 述的假設(shè)理論。 2.多元線性回歸分析中的參數(shù) （ l） 復(fù)相關(guān)系數(shù) R 復(fù)相關(guān)系數(shù)表示因變量 xi 與他的自變量 y之間 線性相關(guān)密切程度的指標(biāo)，復(fù)相關(guān)系數(shù)使用 字母 R表示。 復(fù)相關(guān)系數(shù)的取值范圍在 0 1之間。其值越 接近 1表示其線性關(guān)系越強(qiáng)，越接近 0表示線 性關(guān)系越差。 （ 2） R2判定系數(shù)與經(jīng)調(diào)整的判定系數(shù) 與一元回歸方程相同，在多元回歸中也 使

9、用判定系數(shù) R2來解釋回歸模型中自變量的變異在因變量變異中 所占比率。 但是，判定系數(shù)的值隨著進(jìn)入回歸方程的自變量的 個數(shù)（或樣本容量的大小 n）的增加而增大。因此， 為了消除自變量的個數(shù)以及樣本量的大小對判定系數(shù) 的影響，引進(jìn)了經(jīng)調(diào)整的判定系數(shù)（ Adjusted R Square）。 )1( )1(1 )( )( 2 2 2 ni kni yy yyA d j u s t e d R K為自變量的個數(shù)， n為觀 測量數(shù)目。自變量的個數(shù) 大于 時，其值小于判定系 數(shù)。自變量個數(shù)越多，與 判定系數(shù)的差值越大。 （ 3）零階相關(guān)系數(shù)、部分相關(guān)與偏相關(guān)系數(shù) 零階相關(guān)系數(shù)（ Zero Order）計

10、算所有自變量與因 變量之間的簡單相關(guān)系數(shù)。 部分相關(guān)（ Part Correlation）表示：在排除了其他自 變量對 xi的影響后，當(dāng)一個自變量進(jìn)入回歸方程模型 后，復(fù)相關(guān)系數(shù)的平均增加量。 偏相關(guān)系數(shù)（ Partial Correlation ）表示：在排除了 其他變量的影響后；自變量 Xi與因變量 y之間的相關(guān) 程度。部分相關(guān)系數(shù)小于偏相關(guān)系數(shù)。偏相關(guān)系數(shù)也 可以用來作為篩選自變量的指標(biāo)，即通過比較偏相關(guān) 系數(shù)的大小判別哪些變量對因變量具有較大的影響力。 3、多元線性回歸分析的檢驗 建立了多元回歸方程后，需要進(jìn)行顯著性檢 驗，以確認(rèn)建立的數(shù)學(xué)模型是否很好的擬和 了原始數(shù)據(jù)，即該回歸方程是

11、否有效。利用 殘差分析，確定回歸方程是否違反了假設(shè)理 論。對各自變量進(jìn)行檢驗。 其假設(shè)是總體的 回歸方程自變量系數(shù)或常數(shù)項為 0。 以便在回 歸方程中保留對因變量 y值預(yù)測更有效的自變 量。以便確定數(shù)學(xué)模型是否有效。 （ l）方差分析 多元回歸方程也采用方差分析方法對回歸方程進(jìn)行 檢驗， 檢驗的 H0假設(shè)是總體的回歸系數(shù)均為 0（無效 假設(shè)）， H1假設(shè)是總體的回歸系數(shù)不全為 0（備選假 設(shè)）。 它是對整個回歸方程的顯著性檢驗。使用統(tǒng) 計量 F進(jìn)行檢驗。原理與一元回歸的方程分析原理相 同。 )1( )( )( MS 2 i 2 i pnyy yy F MS 殘差 回歸 （ 2）偏回歸系數(shù)與常數(shù)

12、項的檢驗 在多元回歸分析中，可能有的自變量對因變 量的影響很強(qiáng)，而有的影響很弱，甚至完全 沒有作用，這樣就有必要對自變量進(jìn)行選擇， 使回歸方程中只包含對因變量有統(tǒng)計學(xué)意義 的自變量； 檢驗的假設(shè)是：各自變量回歸系數(shù)為 0，常數(shù) 項為 0。它使用的統(tǒng)計量是 t； t=偏回歸系數(shù) /偏回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤 （ 3）方差齊性檢驗 方差齊性是指殘差的分布是常數(shù)，與預(yù)測變 量或因變量無關(guān)。即殘差應(yīng)隨機(jī)的分布在一 條穿過 0點(diǎn)的水平直線的兩側(cè)。在實際應(yīng)用中， 一般是繪制因變量預(yù)測值與學(xué)生殘差的散點(diǎn) 圖。在線性回歸 Plots對話框中的源變量表中 , 選擇 SRESID（學(xué)生氏殘差）做 Y軸；選擇 ZPRED（

13、標(biāo)準(zhǔn)化預(yù)測值）做 X軸就可以在執(zhí) 行后的輸出信息中顯示檢驗方差齊性的散點(diǎn) 圖。 共線性診斷 在回歸方程中，雖然各自變量對因變量都是有意義的， 但 某些自變量彼此相關(guān)，即存在共線性的問題。 給 評價自變量的貢獻(xiàn)率帶來困難。因此，需要對回歸方 程中的變量進(jìn)行共線性診斷；并且確定它們對參數(shù)估 計的影響。 當(dāng)一組自變量精確共線性時，必須刪除引起共線性 的一個和多個自變量，否則不存在系數(shù)唯一的最小 二乘估計。因為刪除的自變量并不包含任何多余的 信息，所以得出的回歸方程并沒有失去什么。當(dāng)共 線性為近似時，一般是將引起共線性的自變量刪除， 但需要掌握的原則是：務(wù)必使丟失的信息最少。 進(jìn)行共線性論斷常用的參數(shù)

14、有 （ l）容許度（ Tolerance） 在只有兩個自變量的情況下，自變量 X1與 X2之間共 線性體現(xiàn)在兩變量間相關(guān)系數(shù) r12上。精確共線性時 對應(yīng) r122 1，當(dāng)它們之間不存在共線性時 r122 0。 r122越接近于 1，共線性越強(qiáng)。 多于兩個自變量的情況， Xi與其他自變量 X之間的復(fù) 相關(guān)系數(shù)的平方體現(xiàn)其共線性，稱它為 Ri2。它的 值 越接近 1，說明自變量之間的 共線性程度越大 。 容許度定義為 Toli l一 Ri2 當(dāng)容許度的值較小時，自變量 Xi 與其他自變量 X之間 存在共線性。 使用容許度作為共線性量度指標(biāo)的條件是，觀測量 應(yīng)大致近似于正態(tài)分布，但在大多數(shù)情況下觀

15、測量的 正態(tài)分布的假設(shè)是不被接受的。而且，由于容許度中 相關(guān)系數(shù)對極端值極為敏感 , 所以用它來作為共線性 的量度指標(biāo)是不適合的。 （ 2）方差膨脹因子（ VIF） 方差膨脹因于（ VIF）定義為 VIF 1/(l一 Ri2 )，即它是 容許度的倒數(shù)。 它的值越大，自變量之間存在共線性的 可能性越大。 （ 3）條件參數(shù)（ Condition Index） 條件參數(shù)是在計算特征值時產(chǎn)生的一個統(tǒng)計量，其具體 含義尚不大清楚，但己經(jīng)提出一些原則： 其數(shù)值越大， 說明自變量之間的共線性的可能性越大； 有些學(xué)者提議， 條件參數(shù) 30時認(rèn)為有共線性存在的可能性，但理論上 并沒有得到證明。 特征值（ Eig

16、envalue）如果很小，就 應(yīng)該懷疑共線性的存在。 例 題 Data09-03美國某銀行雇員情況調(diào)查，建立一 個使用初始工資（ salbegin）、工作經(jīng)驗 （ prevexp）、工作時間（ jobtime）、工作 類型（ jobcat）、受教育年限（ educ）預(yù)測 當(dāng)前工資（ salary）的回歸方程。 1變量間線性關(guān)系的初步探索 在獲得數(shù)據(jù)后，應(yīng)將所得到的數(shù)據(jù)繪圖，探索因變量 隨自變量變化的趨勢。以便確定數(shù)據(jù)是否適合線性模 型。如果數(shù)據(jù)之間大致呈線性關(guān)系，可以建立線性回 歸方程。如果圖中數(shù)據(jù)不呈線性分布，那么還可以根 據(jù)其他回歸方程模型的觀測量分布圖形特點(diǎn)以及建立 各方程后所得的判定系

17、數(shù) R2進(jìn)行比較后確定一種最 佳模型。見曲線擬合及非線性回歸。 通過散點(diǎn)圖還可以發(fā)現(xiàn)奇異值，如圖中畫圈的觀測值 要認(rèn)真檢查數(shù)據(jù)的合理性。 2、選擇自變量和因變量 3、選擇回歸分析方法 Enter選項，強(qiáng)行進(jìn)入 法 ，即所選擇的自變量 全部進(jìn)人回歸模型，該 選項是默認(rèn)方式。 Remove選項，消去法， 建立的回歸方程時，根 據(jù)設(shè)定的條件剔除部分 自變量。 Forward選項，向前選擇 法， 根據(jù)在 option對話框中 所設(shè)定的判據(jù)，從無自變 量開始。在擬合過程中， 對被選擇的自變量進(jìn)行方 差分析，每次加入一個 F值 最大的變量，直至所有符 合判據(jù)的變量都進(jìn)入模型 為止。第一個引入歸模型 的變量

18、應(yīng)該與因變量間相 關(guān)系數(shù)絕對值最大。 Backward選項，向后 剔除法 ，根據(jù)在 option 對話框中所設(shè)定的判據(jù)， 先建立全模型，然后根 據(jù)設(shè)置的判據(jù)，每次剔 除一個使方差分析中的 F值最小的自變量，直 到回歸方程中不再含有 不符合判據(jù)的自變量為 止。 Stepwise選項，逐步進(jìn)入法 ，它 是向前選擇變量法與向后剔除變量 方法的結(jié)合。根據(jù)在 option對話框 中所設(shè)定的判據(jù)，首先根據(jù)方差分 析結(jié)果選擇符合判據(jù)的自變量且對 因變量貢獻(xiàn)最大的進(jìn)入回歸方程。 根據(jù)向前選擇變量法則選入變量。 然后根據(jù)向后剔除法，將模型中 F 值最小的且符合剔除判據(jù)的變量剔 除出模型，重復(fù)進(jìn)行直到回歸方程 中

19、的自變量均符合進(jìn)入模型的判據(jù)， 模型外的自變量都不符合進(jìn)入模型 的判據(jù)為止。 4、選擇參與回歸的觀測量 根據(jù)變量值選擇參與回 歸分析的觀測量，將作 為參照的變量進(jìn)入 Selection Variable框中， 單擊 Rule按鈕。打開 Set Rule對話框。 5、 Statistics按鈕 Estimates：輸出回歸系數(shù) B、 B的標(biāo)準(zhǔn)誤、標(biāo)準(zhǔn)回歸 系數(shù) beta、 B的 t值及 t值的雙側(cè)檢驗的顯著性水平； Confidence interval：輸出每一個非標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù) 95的可信區(qū)間； Covariance maxtrix：輸出非標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)的協(xié)方 差矩陣、各變量的相關(guān)系數(shù)矩陣；

20、 Model fit（模型擬合）：輸出引入模型與從模型中剔除的變量， 提供復(fù)相關(guān)系數(shù) R， R2及其修正值，估計值的標(biāo)準(zhǔn)誤，方差分 析表； R squared change：表示回歸方差中引入或剔除一個自變量后 的 R2變化量； Descriptives：輸出合法觀測量的數(shù)目、變量的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、 相關(guān)系數(shù)矩陣和單側(cè)檢驗顯著性水平 Part and partial correlations：輸出部分相關(guān)系數(shù)、偏相關(guān) 系數(shù)、零階相關(guān)系數(shù)； Collinearity diagnostics：輸出方差膨脹因子及特征值； Durbin Watson：輸出 Durbin Watson統(tǒng)計量及可能的 奇

21、異值； Casewise diagnostics：輸出觀測量檢測表； 6、 plot按鈕 Dependent：因變量； ZPRED:標(biāo)準(zhǔn)化預(yù)測值 ZRESID:標(biāo)準(zhǔn)化殘差 DRESID:剔除殘差 ADJPRED:修正后預(yù)測值 SRESID:學(xué)生化殘差 SDRESID：學(xué)生化剔除殘差 Histogrom：輸出帶有正態(tài)曲 線的標(biāo)準(zhǔn)化殘差的直方圖； Normal probability plot：殘 差的正態(tài)概率圖，檢查殘差 的正態(tài)性； Produce all partial plots：輸 出一個自變量殘差相對于因 變量殘差的散布圖。 Option按鈕 Stepping method criter

22、ia(設(shè) 置變量引入模型或從模型中 剔除的判據(jù) ) Use probability of F：采用 F 概率作為變量引入模型或從 模型中剔除的判據(jù)。 Entry： 0.05當(dāng)一個變量的 sigT值 0.05時該變量被引入 方程； Removal： 0.10當(dāng)一個變量 的 sigT值 0.10時該變量從回 歸方程剔除。 Use F values（采用 F值作為 變量引入模型或從模型中剔 除的判據(jù)） Entry： 0.05當(dāng)一個變量的 sigF值 3.84時該變量被引入 方程； Removal： 0.10當(dāng)一個變量 的 sigF值 2.71時該變量從回 歸方程剔除。 練習(xí)題 為研究男性高血壓患者血

23、壓與年齡、身高、 體重等變量間的關(guān)系，隨機(jī)測量了 32名 40歲 以上的男性患者的血壓、年齡、體重以及吸 煙史（過去吸煙或現(xiàn)在吸煙設(shè)置為 1，不吸煙 為 0）。試建立回歸方程。 Mreg2.sav 二、曲線回歸分析 線性回歸可以滿足許多數(shù)據(jù)分析，然而線性 回歸不會對所有的問題都適用，有時因變量 與自變量是通過一個已知或未知的非線性函 數(shù)關(guān)系相聯(lián)系。盡管有可能通過一些函數(shù)的 轉(zhuǎn)換方法，在一定范圍內(nèi)將它們轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性 關(guān)系，但這種轉(zhuǎn)換有可能導(dǎo)致更為復(fù)雜的計 算或數(shù)據(jù)失真。 在很多情況下有兩個相關(guān)的變量，用戶希望 利用其中的一個變量對另一個變量進(jìn)行預(yù)測， 此時可采用的方法也很多；從簡單的直線模 型到復(fù)

24、雜的時間序列模型。如果不能馬上根 據(jù)觀測量數(shù)據(jù)確定一種最佳模型，可以利用 曲線估計在眾多的回歸模型中來建立一個簡 單而又比較適合的模型。 例 題 汽車每加侖汽油行駛的里程數(shù)（ mpg）與汽 車重量（ weight）建立回歸方程。 Data13 01 線形回歸方程 Y=b0+b1X 二次回歸方程 Y=b0+b1X+b2X2 復(fù)合曲線回歸方程 Y=b0(b1X) 等比級數(shù)曲線回歸方程 對數(shù)回歸方程 三次回歸方程 Y=b0+b1X+b2X2+b3X3 三、 Logistic回歸分析 多元線性回歸要求 Y是呈正態(tài)分布的連續(xù)型隨機(jī)變量。 難以處理因變量為二值變量的情況。 在醫(yī)學(xué)中，存在 很多二值化的狀態(tài)

25、，比如生存與死亡、感染與不感 染、有效與無效、患病與不患病等等。這時，我們 往往要分析生存與死亡或感染與不感染與哪些因素 有關(guān)。而這些因素（自變量）可能是二值數(shù)據(jù)或等 級分組資料或是計量資料，此時，可以使用 logistic 回歸來分析因變量（二值變量）與自變量的關(guān)系。 logistic回歸的基本概念： 設(shè) P表示某事件發(fā)生的概率，取值范圍為 0 1， 1 P 是該事件不發(fā)生的概率，將比值 P/（ 1 P）取自然 對數(shù)得 ln(P/1 P)，即對 P作 logit轉(zhuǎn)換，記為 logitP， 則 logitP的取值范圍在 - ， + 之間。以 logitP為因變 量，建立線形回歸方程： logi

26、tP =b0+bixi p=exp（ b0 +bixi） /1+ exp (b0 +bixi) OR=e=exp 可見： b0表示一個不接觸危險因素（自變量 取值全為 0時）的個體發(fā)?。ㄋ劳龌蚋腥荆┑?比值的對數(shù)。 b0是常數(shù)。 bi 表示危險因素改變一個單位時，比值的對 數(shù)的改變量。在實際比較 xi對比值的對數(shù)影響 時，應(yīng)使用標(biāo)準(zhǔn)化的系數(shù)，以克服自變量不 同量綱的影響。 bi稱為 logistic回歸系數(shù)。 數(shù)據(jù)背景（ data13-02） 北京醫(yī)科大學(xué)附屬人民醫(yī)院內(nèi)分泌科盧紋凱教授課題。 頸總動脈中層厚度 imt0.8mm或有斑塊定義為動脈硬 化，因變量 type值為 1；非硬化 imt 0.8mm且無斑塊， 因變量 type值為 0。糖尿病患者 123例數(shù)據(jù)。研究哪 些指標(biāo)可以判斷糖尿病患者是否動脈硬化。自變量 AGE年齡、 ALB尿白蛋白、 BMI體重指數(shù)、 ISI胰島素 敏感指數(shù)、 SBP收縮壓、 TG甘油三脂、 CHO膽固醇、 DURA糖尿病程。其中尿白蛋白、甘油三脂、膽固醇 三項生化指標(biāo)在回歸估計過程中均使用他們的對數(shù)變 量： ALBLN、 TGLN、 CHOLN。