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1、人教版數(shù)學(xué)必修五第一章 解三角形 重難點(diǎn)解析第一章 課文目錄11正弦定理和余弦定理 12應(yīng)用舉例 13實(shí)習(xí)作業(yè) 【重點(diǎn)】1、正弦定理、余弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。2、在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無(wú)解等情形；3、三角形各種類(lèi)型的判定方法；三角形面積定理的應(yīng)用；實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問(wèn)題的解決。4、結(jié)合實(shí)際測(cè)量工具，解決生活中的測(cè)量高度問(wèn)題。5、能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點(diǎn)找到已知條件和所求角的關(guān)系。6、推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡(jiǎn)單的相關(guān)題目。【難點(diǎn)】1、已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。2、勾股定理在

2、余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中的作用，正、余弦定理與三角形的有關(guān)性質(zhì)的綜合運(yùn)用。3、根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出示意圖，能觀察較復(fù)雜的圖形，從中找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵條件。4、靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問(wèn)題。5、利用正弦定理、余弦定理來(lái)求證簡(jiǎn)單的證明題?！疽c(diǎn)內(nèi)容】一、正弦定理：在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即= =2R（R為ABC外接圓半徑）1直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 即c=， c= ， c= =2斜三角形中 證明一：（等積法）在任意斜ABC當(dāng)中SABC= 兩邊同除以即得：=證明二：（外接圓法）如圖所示，同理 =2R，2R證明三：（向量法）過(guò)A

3、作單位向量垂直于由+= 兩邊同乘以單位向量 得 (+)=則+=|cos90+|cos(90-C)=|cos(90-A) =同理，若過(guò)C作垂直于得： = =正弦定理的應(yīng)用正弦定理可以用來(lái)解兩種類(lèi)型的三角問(wèn)題：1兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角。（見(jiàn)圖示）已知a, b和A, 用正弦定理求B時(shí)的各種情況:若A為銳角時(shí):若A為直角或鈍角時(shí):2、余弦定理余弦定理用語(yǔ)言可以這樣敘述，三角形一邊的平方等于另兩邊的平方和再減去這兩邊與夾角余弦的乘積的2倍即： 若用三邊表示角，余弦定理可以寫(xiě)為余弦定理可解以下兩種類(lèi)型的三角形：（1）已知三角形的三條邊長(zhǎng)

4、，可求出三個(gè)內(nèi)角；（2）已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊注意：在（0，）范圍內(nèi)余弦值和角的一一對(duì)應(yīng)性若cosA0則A為銳角；若cosA=0，則A為直角；若cosA0，則A為鈍角3、余弦定理與勾股定理的關(guān)系、余弦定理與銳角三角函數(shù)的關(guān)系在ABC中，c2=a2+b2-2abcosC若C=90，則cosC=0，于是c2=a2+b2-2ab0=a2+b2說(shuō)明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣這與RtABC中，C=90的銳角三角函數(shù)一致，即直角三角形中的銳角三角函數(shù)是余弦定理的特例4、三角形的有關(guān)定理：內(nèi)角和定理：A+B+C=180，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)=

5、-cosC,cos=sin, sin=cos面積公式：S=absinC=bcsinA=casinBS= pr = (其中p=, r為內(nèi)切圓半徑)射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA5、求解三角形應(yīng)用題的一般步驟：（1）、分析題意，弄清已知和所求；（2）、根據(jù)提意，畫(huà)出示意圖；（3）、將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，寫(xiě)出已知所求；（4）、正確運(yùn)用正、余弦定理?！镜湫屠}】例1 已知在解：由得 由得例2 在解：例3 解：，例4 已知ABC，B為B的平分線(xiàn)，求證：ABBCAC分析：前面大家所接觸的解三角形問(wèn)題是在一個(gè)三角形內(nèi)研

6、究問(wèn)題，而B(niǎo)的平分線(xiàn)BD將ABC分成了兩個(gè)三角形：ABD與CBD，故要證結(jié)論成立，可證明它的等價(jià)形式：ABADBCDC，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到兩個(gè)三角形內(nèi)，而在三角形內(nèi)邊的比等于所對(duì)角的正弦值的比，故可利用正弦定理將所證繼續(xù)轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)相等角正弦值相等，互補(bǔ)角正弦值也相等即可證明結(jié)論.證明：在ABD內(nèi)，利用正弦定理得：在BCD內(nèi)，利用正弦定理得：BD是B的平分線(xiàn).ABDDBC sinABDsinDBC.ADBBDC180sinADBsin（180BDC）sinBDC評(píng)述：此題可以啟發(fā)學(xué)生利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，并且注意互補(bǔ)角的正弦值相等這一特殊關(guān)系式的應(yīng)用.例5在ABC中，已知a=,

7、b=,B=45，求A,C及邊c解：由正弦定理得：sinA=,因?yàn)锽=4590且ba,所以有兩解A=60或A=120(1)當(dāng)A=60時(shí),C=180-(A+B)=75， c=,(2)當(dāng)A=120時(shí),C=180-(A+B)=15 ，c=思維點(diǎn)撥：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形問(wèn)題，用正弦定理解，但需注意解的情況的討論例6ABC中，若，判斷ABC的形狀。解一：由正弦定理：2A = 2B 或 2A = 180 - 2B 即：A= B 或 A + B = 90ABC為等腰或直角三角形解二： 由題設(shè)：化簡(jiǎn)：b2(a2 + c2 - b2) = a2(b2 + c2 - a2) (a2 -b2)(a2 +

8、b2 - c2)=0a = b或 a2 + b2 = c2 ABC為等腰或直角三角形思維點(diǎn)撥：判斷三角形的形狀從角或邊入手例7在ABC中，已知，成等差數(shù)列，b=1, 求證：1a+c2.解：由正弦定理:,得a+c=(sinA+sinC)= (sinA+sinC)= sinA+sin(120A)=2sin(A+30)，因?yàn)?A120，所以30A+30150,故12sin(A+30)2.法二B=60,b=1，a2+c2-b2=2accos60, a2+c2-1=ac, a2+c2-ac=1,(a+c) 2+3(a-c) 2=4, (a+c) 2=4-3(a-c) 2.0a-c1 03(a-c)21,

9、 1c2（銳角三角形），a2b2c2（鈍角三角形）或sin(AB)0，sinAsinB，sinC1或cosC0等一些等式，進(jìn)而判定其形狀，但在選擇轉(zhuǎn)化為邊或是角的關(guān)系上，要進(jìn)行探索【范例2】中，內(nèi)角.的對(duì)邊分別為.，已知.成等比數(shù)列，且（1）求的值；（2）若，求的值解析（1）由得，由得，（2）由得：，因，所以：，即：由余弦定理得于是： 故【點(diǎn)晴】 以三角形為載體，以三角變換為核心，結(jié)合正弦定理和余弦定理綜合考查邏輯分析和計(jì)算推理能力是高考命題的一個(gè)重要方向，因此要特別關(guān)注三角函數(shù)在解斜三角形中的靈活應(yīng)用.【文】在ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，.(1)求角A的度數(shù)；(2)若a=，

10、b+c=3，求b和c的值.解析 【點(diǎn)睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中應(yīng)用比較廣泛.【范例3】已知ABC的周長(zhǎng)為6，成等比數(shù)列，求（1）ABC的面積S的最大值；（2）的取值范圍解析 設(shè)依次為a，b，c，則a+b+c=6，b=ac 在ABC中得,故有又從而（），即（） 【點(diǎn)睛】 三角與向量結(jié)合是高考命題的一個(gè)亮點(diǎn).問(wèn)題當(dāng)中的字母比較多，這就需要我們采用消元的思想，想辦法化多為少，消去一些中介的元素，保留適當(dāng)?shù)闹髯冊(cè)髯冊(cè)墙獯饐?wèn)題的基本元素，有效的控制和利用對(duì)調(diào)整解題思路是十分有益處的 【變式】在ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c, ABC的外接圓半徑R=，且滿(mǎn)足.(1) 求角B和邊

11、b的大??；(2) 求ABC的面積的最大值。解析 (1) 由整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosBsin(B+C)= 2sinAcosB sinA=2sinAcosB cosB= B= b=2RsinB b=3(2)= 當(dāng)A=時(shí), 的最大值是【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的最值問(wèn)題在三角形中的應(yīng)用【范例4】某觀測(cè)站C在城A的南20西的方向上，由A城出發(fā)有一條公路，走向是南40東，在C處測(cè)得距C為31千米的公路上B處有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到達(dá)D處，此時(shí)C、D間距離為21千米，問(wèn)還需走多少千米到達(dá)A城？解析 據(jù)題意得圖02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千

12、米，CAB=60設(shè)ACD = ，CDB = 在CDB中，由余弦定理得：，在ACD中得所以還得走15千米到達(dá)A城【點(diǎn)晴】 運(yùn)用解三角形的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是把題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為三角形中的已知元素，然后解三角形求之【變式】已知半圓O的直徑AB=2，P為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，OP=2，Q為半圓上任意一點(diǎn)，以PQ為一邊作等邊三角形PQR（P、Q、R為順時(shí)針排列），問(wèn)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，四邊形OPRQ面積最大，并求這個(gè)最大面積.解析 設(shè)面積，而POQ面積S2=，四邊形OPRQ面積.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用問(wèn)題.自我提升1在直角三角形中，兩銳角為A和B，則sinAsinB( B )（A）.有最大值和

13、最小值 （B）.有最大值但無(wú)最小值（C）.既無(wú)最大值也無(wú)最小值 （D）.有最大值1但無(wú)最小值2已知非零向量與滿(mǎn)足且則為（ D ）（A）等邊三角形（B）直角三角形（C）等腰非等邊三角形（D）三邊均不相等的三角形3ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，則C的大小是 （ A ）（A） （B） （C）或 （D）或4.一個(gè)直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角為( A )(A)arccos (B)arcsin (C)arccos (D)arcsin 5. 已知a+1，a+2，a+3是鈍角三角形的三邊，則a的取值范圍是 . （0，2）6已知定義在R上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)

14、遞增,若的內(nèi)角A滿(mǎn)足,則A的取值范圍是 _7數(shù)列a n中，首項(xiàng)a12，前n項(xiàng)和為Sn，且.（1）判斷數(shù)列a n是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論？（2）若對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，以a n，a n+1，a n+2為邊長(zhǎng)都能構(gòu)成三角形，求t的取值范圍。解析 (1)略（2）【文】在中，.的對(duì)邊分別為.。（1） 若a,b,c 成等比數(shù)列，求f(B)=sinB+cosB的值域。（2） 若a,b,c 成等差數(shù)列，且A-C=，求cosB的值。解析 (1) , 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào), f(B)=sinB+cosB= 的值域?yàn)?2) sinA+sinC=2sinB C= sin()+sin()=2sinB展開(kāi),化簡(jiǎn),得 , ,

15、 cosB=8在正三角形ABC的邊AB、AC上分別取D、E兩點(diǎn)，使沿線(xiàn)段DE折疊三角形時(shí)，頂點(diǎn)A正好落在邊BC上，在這種情況下，若要使AD最小，求ADAB的值.解析 按題意，設(shè)折疊后A點(diǎn)落在邊BC上改稱(chēng)P點(diǎn)，顯然A、P兩點(diǎn)關(guān)于折線(xiàn)DE對(duì)稱(chēng)，又設(shè)BAP=，DPA=，BDP=2，再設(shè)AB=a，AD=x，DP=x.在ABC中，APB=180ABPBAP=120，由正弦定理知：.BP=在PBD中，, 060，6060+2180，當(dāng)60+2=90，即=15時(shí)，sin(60+2)=1，此時(shí)x取得最小值a，即AD最小，ADDB=23.【文】在中，分別為角的對(duì)邊，且滿(mǎn)足（）求角大??；（）若，當(dāng)取最小值時(shí)，判斷

16、的形狀解析（）， ， （）由余弦定理，得， 所以的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)此時(shí)為正三角形解三角形 檢測(cè)題班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 成績(jī) 一、選擇題:1在ABC中，下列式子不正確的是 A B C D2在ABC中，則的值為 A B C D23在ABC中，若，則ABC是 A等邊三角形 B直角三角形 C銳角三角形 D鈍角三角形4 ，則三角形的形狀為 A直角三角形 B等腰三角形或直角三角形 C正三角形 D等腰直角三角形5在ABC中，則B等于 A B或 C D或 6在ABC中，已知，則此三角形的最大內(nèi)角是 A1200 B1500 C600 D9007在ABC中，“A=B”是“”的 A充分必要條件 B充分不必要條

17、件 C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件8銳角ABC中，B=2A，則的取值范圍是 A B C D二、填空題：9在ABC中，若，則AC= ；10在ABC中，則BAC= ；11一艘船上午9：30在A處，測(cè)得燈塔S在它的北偏東300，處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東750，且與它相距海里，此船的航速是 ；12在銳角三角形ABC中，已知，則BAC= ， .三、 解答題：13已知三角形ABC的外接圓半徑為1，且角A、B、C成等差數(shù)列，若角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，求的取值范圍.14在ABC中，求的值和三角形的面積.15ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C，求當(dāng)A為何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值。16在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是，且. 求的值； 若，求.參考答案一、選擇題：1 C2 C3 B4 A5 A6 B7 B8 D二、填空題：9. 3 10. 30 11.32海里/小時(shí) 12.60 2三、解答題：13 14. 三角形的面積為15解：A、B、C為ABC的三內(nèi)角 令A(yù)是ABC的內(nèi)角 x可以取到，由拋物線(xiàn)的圖像及性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，為其最大值。 此時(shí)16.（1）A，B，C是ABC的內(nèi)角 （2）A 是ABC的內(nèi)角 又 是ABC的一邊 32