《中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 圖形的變化 第31講 圖形的相似課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 圖形的變化 第31講 圖形的相似課件.ppt（35頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第 31講 圖形的相似 浙江專用 1 比例線段 ( 1 ) 比例線段：對(duì)于四條線段 a ， b ， c ， d ， 如果 a 與 b 的比等于 c 與 d 的 比 ， 即 a b c d ， 那么這四條線段 a ， b ， c ， d 叫做成比例線段 ， 簡(jiǎn)稱 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 2 ) 比例中項(xiàng)：一般地 ， 如果三個(gè)數(shù) a ， b ， c 滿足比例式 a b b c ( 或 a b b c) ， 那么 b 就叫做 a ， c 的 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 3 ) 黃金分割：把一條線段 ( A B ) 分成兩條線段 ， 使其中較長(zhǎng)線段

2、( A C ) 是原 線段 ( A B ) 與較短線 段 ( B C ) 的比例中項(xiàng) ， 就叫做把這條線段 _ _ _ _ _ _ _ _ 即 AC 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， AC _ _ _ ， AC _ _ _ _ A B . 一條線段 的黃金分割點(diǎn)有 _ 個(gè) 比例線段 比例中項(xiàng) 黃金分割 ABBC 5 12 兩 0.618 2 比例的基本性質(zhì)及定理 ( 1 ) a b c d ad bc ； ( 2 ) a b c d a b b c d d ； ( 3 ) a b c d m n (b d n 0) a c m b d n a b . 3 平行

3、線分線段成比例定理 ( 1 ) 兩條直線被一組平行線所截 ， 所得的對(duì)應(yīng)線段成 _ _ _ ； ( 2 ) 平行于三角形一邊截其他兩邊 ( 或兩邊的延長(zhǎng)線 ) ， 所得的對(duì)應(yīng)線段成 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； 比例 比例 4 相似三角形的定義 對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做 _ 相似比：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比 ， 叫做兩個(gè)相似三角形的 _ 5 相似三角形的判定 (1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 (或兩邊的延長(zhǎng)線 )相交 ， 所截得 的三角形與原三角形相似； (2)兩角對(duì)應(yīng)相等 ， 兩三角形相似； (3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等 ， 兩三角形相似； (4)三邊對(duì)應(yīng)成比

4、例 ， 兩三角形相似； (5)兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例 ， 兩直角三角形相似 ； (6)直角三角形中被斜邊上的高分成的兩個(gè)三角形都與原三角形相似 相似三角形 相似比 6 相似三角形性質(zhì) 相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等 ， 對(duì)應(yīng)邊成比例 ， 對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角 平分線的比都等于相似比 ， 周長(zhǎng)比等于相似比 ， 面積比等于相似比的平 方 7 相似多邊形的性質(zhì) (1)相似多邊形對(duì)應(yīng)角 _， 對(duì)應(yīng)邊 _ (2)相似多邊形周長(zhǎng)之比等于 _， 面積之比等于 _ 8 位似圖形 (1)概念：如果兩個(gè)多邊形不僅 _， 而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交 于 _， 這樣的圖形叫做位似圖形這個(gè)點(diǎn)叫做 _ (2)

5、性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于 _ (3)在平面直角坐標(biāo)系中 ， 如果位似變換是以原點(diǎn)為中心 ， 相似比為 k， 那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于 k或 k. 相等 成比例 相似比 相似比的平方 相似 一點(diǎn) 位似中心 位似比 1 注意問(wèn)題 ( 1 ) 求兩條線段的比時(shí) ， 對(duì)兩條線段要采用同一長(zhǎng)度單位 ( 2 ) 證明兩個(gè)三角形相似時(shí) ， 要注意將對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)寫(xiě)在相應(yīng)位置上 ( 3 ) 相似多邊形的面積比等于相似比的平方 ， 要注意與周長(zhǎng)比的區(qū)別 2 “ 三點(diǎn)定形 ” 法 證明比例式或等積式的方法主要有 “ 三點(diǎn)定形 ” 法： ( 1 ) 橫向定形：欲證 AB DE BC E

6、F ， 橫向觀察 ， 比例式中分子的兩條線段是 AB 和 BC ， 三個(gè)字母 A ， B ， C 恰為 A B C 的頂點(diǎn)；分母的兩條線段是 DE 和 EF ， 三個(gè)字母 D ， E ， F 恰為 DEF 的三個(gè)頂點(diǎn) 因此只需證 A BC DEF ； ( 2 ) 縱向定形：欲證 AB BC DE EF ， 縱向觀察 ， 比例式中左邊的兩條線段 AB 和 BC 中的三個(gè)字母 A ， B ， C 恰為 A B C 的頂點(diǎn)；右邊的兩條線段 DE 和 EF 中的三個(gè)字母 D ， E ， F 恰為 DEF 的三個(gè)頂點(diǎn) 因此只需證 A B C DE F ； ( 3 ) 由于運(yùn)用三點(diǎn)定形法時(shí)常會(huì)碰到三點(diǎn)共線

7、或四點(diǎn)中沒(méi)有相同點(diǎn)的情況 ， 此時(shí)可考慮運(yùn)用等線、等比或等積進(jìn)行變換后 ， 再考慮運(yùn)用三點(diǎn)定形法尋 找相似三角形 ， 這種方法就是等量代換法 在證明比例式時(shí) ， 常常要用到 中間比 3 判定兩個(gè)三角形相似的技巧 ( 1 ) 先找兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等 ， 一般這個(gè)條件比較簡(jiǎn)單； ( 2 ) 若只能找到一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等 ， 則判斷相等角的兩夾邊是否對(duì)應(yīng)成比例； ( 3 ) 若找不到角相等 ， 就判斷三邊是否對(duì)應(yīng)成比例； ( 4 ) 若題目出現(xiàn)平行線 ， 則直接運(yùn)用基本定理得出相似的三角形 4 分類討論思想 近幾年中考常出現(xiàn)有關(guān)相似形的多解問(wèn)題 ， 這類題特征是不給出幾 何圖形 ， 要求分類討論 ， 不要漏

8、解 1 ( 2 0 1 6 杭州 ) 如圖 ， 已知直線 a b c ， 直線 m 交直線 a ， b ， c 于點(diǎn) A ， B ， C ， 直線 n 交直線 a ， b ， c 于點(diǎn) D ， E ， F ， 若 AB BC 1 2 ， 則 DE EF ( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D 1 B 2 (2016鹽城 )如圖 ， 點(diǎn) F在平行四邊形 ABCD的邊 AB上 ， 射線 CF交 DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E， 在不添加輔助線的情況下 ， 與 AEF相似的三角 形有 ( ) A 0個(gè) B 1個(gè) C 2個(gè) D 3個(gè) C 3 ( 2 0 1 6 安徽 ) 如圖 ， A B C 中

9、， AD 是中線 ， BC 8 ， B D AC ， 則線段 AC 的長(zhǎng)為 ( ) A 4 B 4 2 C 6 D 4 3 B 4 ( 2 0 1 6 泰安 ) 如圖 ， A B C 內(nèi)接于 O ， AB 是 O 的直徑 ， B 30 ， CE 平分 AC B 交 O 于 E ， 交 AB 于點(diǎn) D ， 連結(jié) AE ， 則 S A DE ： S CDB 的值等于 ( ) A 1 2 B 1 3 C 1 2 D 2 3 D 點(diǎn)撥： AB 是 O 的直徑 ， A C B 90 ， B 30 ， BC 3 2 AB 3 OA . CE 平分 AC B ， E 為 A EB 中點(diǎn) ， OE AB ，

10、AE 2 OA ， E B ， B A E ECB ， A DE C D B ， S ADE S CDB ( AE BC ) 2 ( 2 OA 3 OA ) 2 2 3. 5 ( 2 0 1 6 杭州 ) 如圖 ， 在 AB C 中 ， 點(diǎn) D ， E 分別在邊 AB ， AC 上 ， A ED B ， 射線 AG 分別交線段 DE ， BC 于點(diǎn) F ， G ， 且 AD AC DF CG . ( 1 ) 求證： A DF AC G . ( 2 ) 若 AD AC 1 2 ， 求 AF FG 的值 解： ( 1 ) 證明： A ED B ， DA E D A E ， A D F C ， 又

11、AD AC DF CG ， A D F AC G ； ( 2 ) A DF AC G ， AD AC AF AG ， 又 AD AC 1 2 ， AF AG 1 2 ， AF FG 1. 比例的基本性質(zhì)、黃金分割 【例 1 】 ( 1 ) ( 2 0 1 5 東營(yíng) ) 若 y x 3 4 ， 則 x y x 的值為 ( ) A 1 B . 4 7 C. 5 4 D. 7 4 D ( 2 ) ( 2 0 1 5 山西 ) 寬與長(zhǎng)的比是 5 1 2 ( 約 0 .6 1 8 ) 的矩形叫做黃金矩形 ， 黃金 矩形蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值 ， 給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感我們可以用 這樣的方法畫(huà)出黃金矩形：

12、作正方形 A B C D ， 分別取 AD ， BC 的中點(diǎn) E ， F ， 連結(jié) EF ；以點(diǎn) F 為圓心 ， 以 FD 為半徑畫(huà)弧 ， 交 BC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G ； 作 GH AD ， 交 AD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) H ， 則圖中下列矩形是黃金矩形的是 ( ) D A 矩形 ABFE B矩形 EFCD C 矩形 EFGH D矩形 DCGH 【點(diǎn)評(píng)】 ( 1 ) 此題考查了比例的性質(zhì) 此題比較簡(jiǎn)單 ， 解題的關(guān)鍵是注 意掌握比例的性質(zhì)與比例變形； ( 2 ) 此題主要考查了黃金分割 ， 解決問(wèn) 題的關(guān)鍵是掌握黃金矩形的概念 解題時(shí)注意 ， 寬與長(zhǎng)的比是 5 1 2 的 矩形叫做黃金矩形 ， 圖中

13、的矩形 AB GH 也為黃金矩形 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 ( 1 ) ( 2 0 1 5 六盤(pán)水 ) 已知 c 4 b 5 a 6 0 ， 則 b c a 的值為 _. ( 2 ) 已知 a 2 b 5 c 7 ， 且 a b c 0 ， 則 2a 3b 2c a b c 的值為 ( ) A. 5 14 B. 5 11 C. 14 5 D. 16 17 3 2 點(diǎn)撥：設(shè) a 2 k ， b 5 k ， c 7 k ， 則 2 a 3 b 2 ca b c 4 k 15 k 14 k2 k 5 k 7 k 5 k14 k 514 . A 三角形相似的性質(zhì)及判定 【 例 2】 (2016泰州 )如圖 ， A

14、BC中 ， AB AC， E在 BA的延長(zhǎng) 線上 ， AD平分 CAE. (1)求證： AD BC； (2)過(guò)點(diǎn) C作 CG AD于點(diǎn) F， 交 AE于點(diǎn) G， 若 AF 4， 求 BC的長(zhǎng) ( 1 ) 證明： AD 平分 C A E ， D A G 1 2 C A G ， AB AC ， B A C B ， C A G B A C B ， B 1 2 C A G ， B D A G ， AD BC ； ( 2 ) 解： CG AD ， AF C AFG 90 ， 在 A F C 和 AFG 中 ， C A F G AF ， AF AF ， AFC AFG A F C AFG( AS A )

15、， CF GF ， AD BC ， AGF B GC ， GF GC AF BC 1 2 ， BC 2 A F 2 4 8. 【 點(diǎn)評(píng) 】 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)注意證 得 AGF BGC是解題的關(guān)鍵 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2 (2016臨夏州 )如圖 ， 已知 EC AB， EDA ABF. (1)求證：四邊形 ABCD是平行四邊形； (2)求證： OA2 OEOF. 證明： ( 1 ) EC AB ， EDA D A B ， ED A A B F ， DA B A B F ， AD BC ， DC AB ， 四邊形 AB C D 為平行四 邊形 ( 2 ) EC AB ， O A B O

16、ED ， OA OE OB OD ， AD BC ， OB F OD A ， OB OD OF OA ， OA OE OF OA ， OA 2 OE OF . 相似三角形綜合問(wèn)題 【 例 3】 (2016呼和浩特 )如圖 ， 已知 AD是 ABC的外角 EAC的平 分線 ， 交 BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D， 延長(zhǎng) DA交 ABC的外接圓于點(diǎn) F， 連結(jié) FB， FC. (1)求證： FBC FCB； (2)已知 FAFD 12， 若 AB是 ABC外接圓的直徑 ， FA 2， 求 CD的長(zhǎng) ( 1 ) 證明： 四邊形 A FB C 內(nèi)接于圓 ， FB C F A C 1 8 0 ， C A D F

17、AC 180 ， FB C C A D ， AD 是 A B C 的外角 E AC 的平分線 ， E AD C AD ， E A D F A B ， F A B C A D ， 又 F A B F C B ， FB C F C B ( 2 ) 解：由 ( 1 ) 得： FB C F C B ， 又 F C B F A B ， F A B FB C ， B F A B FD ， A F B B FD ， BF FD FA BF ， BF 2 F A FD 12 ， BF 2 3 ， FA 2 ， FD 6 ， AD 4 ， AB 為圓的直徑 ， B F A BCA 90 ， ta n F B A

18、 AF BF 2 2 3 3 3 ， FB A 30 ， 又 FDB FB A 30 ， CD AD co s 30 4 3 2 2 3 . 【 點(diǎn)評(píng) 】 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、三角 函數(shù)等知識(shí) ， 證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3 ( 2 0 1 5 武漢 ) 已知銳角 AB C 中 ， 邊 BC 長(zhǎng)為 12 ， 高 AD 長(zhǎng)為 8. ( 1 ) 如圖 ， 矩形 EFGH 的邊 GH 在 BC 邊上 ， 其余兩個(gè)頂點(diǎn) E ， F 分別在 AB ， AC 邊上 ， EF 交 AD 于點(diǎn) K. 求 EF AK 的值； 設(shè) EH x ， 矩形 E FGH 的面積

19、為 S ， 求 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式 ， 并求 S 的 最大值； ( 2 ) 若 AB AC ， 正方形 P QMN 的兩個(gè) 頂點(diǎn)在 A B C 一邊上 ， 另兩個(gè)頂點(diǎn) 分別在 A B C 的另兩邊上 ， 直接寫(xiě)出正方形 P QMN 的邊長(zhǎng) 解： ( 1 ) EF BC ， AK AD EF BC ， EF AK BC AD 12 8 3 2 ， 即 EF AK 的值是 3 2 EH x ， KD EH x ， AK 8 x ， EF AK 3 2 ， EF 3 2 ( 8 x ) ， S E H EF 3 2 x ( 8 x ) 3 2 ( x 4 ) 2 2 4 ， 當(dāng) x 4 時(shí) ，

20、 S 的最大值是 24 ( 2 ) 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為 a ， 當(dāng)正方形 P QM N 的兩個(gè)頂點(diǎn)在 BC 邊上時(shí) ， 8 a a 8 12 ， 解得 a 24 5 當(dāng)正方形 P QM N 的兩個(gè)頂點(diǎn)在 AB 或 AC 邊上 時(shí) ， AB AC ， AD BC ， B D CD 1 2 2 6 ， AB AC AD 2 BD 2 6 2 8 2 10 ， AB 或 AC 邊上的高等于： A D B C A B 8 1 2 1 0 48 5 ， 48 5 a a 48 5 10 ， 解得 a 240 49 . 綜上 ， 可得正方形 P QM N 的 邊長(zhǎng)是 24 5 或 240 49 . 相似多邊

21、形與位似圖形 【 例 4】 (2015漳州 )如圖 ， 在 10 10的正方形網(wǎng)格中 ， 點(diǎn) A， B， C， D均在格點(diǎn)上 ， 以點(diǎn) A為位似中心畫(huà)四邊形 ABCD， 使它與四邊形 ABCD位似 ， 且位似比為 2. (1)在圖中畫(huà)出四邊形 ABCD； (2)填空： ACD是 _三角形 等腰直角 解： (1)如圖所示 (2) AC2 42 82 16 64 80， AD2 62 22 36 4 40， CD2 62 22 36 4 40， AD CD， AD2 CD2 AC2， ACD是等腰直角三角形 【 點(diǎn)評(píng) 】 畫(huà)位似圖形的一般步驟為：確定位似中心 ， 分別連結(jié)并 延長(zhǎng)位似中心和能代表原

22、圖的關(guān)鍵點(diǎn)；根據(jù)相似比 ， 確定能代表所作 的位似圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；順次連結(jié)上述各點(diǎn) ， 得到放大或縮小的圖形同 時(shí)考查了勾股定理及其逆定理等知識(shí)熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)以及位似變換 的定義是解題的關(guān)鍵 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 4 ( 1 ) ( 2 0 1 6 煙臺(tái) ) 如圖 ， 在平面直角坐標(biāo)系中 ， 正方形 A B C D 與正方形 B EFG 是以原點(diǎn) O 為位似中心的位似圖形 ， 且相似比為 1 3 ， 點(diǎn) A ， B ， E 在 x 軸上 ， 若正方形 B EFG 的邊長(zhǎng)為 6 ， 則 C 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( ) A (3 ， 2 ) B (3 ， 1 ) C (2 ， 2 ) D (4 ， 2 ) A ( 2

23、) ( 2 0 1 6 威海 ) 如圖 ， 直線 y 1 2 x 1 與 x 軸交于點(diǎn) A ， 與 y 軸交于點(diǎn) B ， B OC 與 B O C 是以點(diǎn) A 為位似中心的位似圖形 ， 且相似比為 1 3 ， 則點(diǎn) B 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 8， 3)或 (4， 3) 試題 如圖 ， A B C 中 ， D ， E 分別為 AB ， BC 上的點(diǎn) ， AE ， CD 相 交于點(diǎn) O. ADDB 23 ， BEEC 54 ， 求 AOOE 和 DOOC 的值 審題視角 三角形內(nèi)從兩個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)

24、 ， 分別與其對(duì)邊相交的線段 ， 它們又相交于一 點(diǎn)這時(shí) ， 三角形的兩邊、上述兩條相交線段均被有關(guān)分點(diǎn)分成不同的 線段比 ， 這些線段的比之間存在相互依存和制約的關(guān)系 ， 知道其中任意 兩條線段被分點(diǎn)分成的比 ， 就可以求出其他任一線段被分點(diǎn)所分成的比 這一問(wèn)題的解決辦法 ， 主要是利用平行線 (作輔助線 )輔助線的作法： 主要是過(guò)三角形邊上的點(diǎn)作欲求分比線段的平行線 ， 構(gòu)成兩對(duì)相似三角 形本題可以過(guò)點(diǎn) E作 EG CD交 AB于點(diǎn) G， 則有 BEG BCD， ADO AGE.本題也可過(guò)點(diǎn) D作 AE的平行線 ， 同樣也可以求得相關(guān) 的比值 規(guī)范答題 解：過(guò)點(diǎn) E 作 EG CD 交 A

25、B 于點(diǎn) G ， 則 B EG BCD ， BG GD BE EC 5 4 ， BG GD GD 5 4 4 ， 即 BD GD 9 4 ， AD GD 2 3 DB GD 2 3 9 4 3 2 ， 又 A DO A GE ， AO OE AD DG 3 2 ， DO GE AD AG 3 5 ， GE DC BE BC 5 9 ， DO GE GE DC 3 5 5 9 1 3 ， 即 DO DC 1 3 ， DO OC 1 2 . 答題思路 第一步：審題 ， 理解問(wèn)題 ， 清楚問(wèn)題中的已知條件與未知結(jié)論； 第二步：過(guò)三角形邊上的點(diǎn)作欲求分比線段的平行線 ， 構(gòu)成兩對(duì)相似三 角形； 第三步

26、：根據(jù)相似三角形的性質(zhì) ， 得出與欲求分比線段相關(guān)聯(lián)的兩線段 的比值； 第四步：根據(jù)比例的性質(zhì)逐步求得欲求分比線段的比值； 第五步：反思回顧 ， 查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn) ， 完善解題步驟 試題 如圖 ， 在 Rt A B C 與 Rt A DC 中 ， A C B ADC 90 ， AC 6 ， AD 2 ， 問(wèn)：當(dāng) AB 的長(zhǎng)為多少時(shí) ， 這兩個(gè)直角三角形相似？ 錯(cuò)解 在 Rt A DC 中 ， AC 6 ， AD 2 ， CD AC 2 AD 2 2 . 要使這兩個(gè)三角形相似 ， 有 AC AD AB AC ， AB AC 2 AD （ 6 ） 2 2 3. 故當(dāng) AB 的長(zhǎng)為 3 時(shí) ， 這

27、兩個(gè)直角三角形相似 剖析 (1)此題中 ， Rt ABC與 Rt ADC中 ， ACB ADC 90 ， B可能與 ACD相等 ， 也可能與 CAD相等 ， 三角形 ABC與 ADC相似可能是 ABC ACD或 ABC CAD.根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比 例 ， 有兩種情況需要分類討論 (2)分類討論在幾何中的應(yīng)用也很廣泛 ， 可以說(shuō)整個(gè)平面幾何的知識(shí)結(jié) 構(gòu)貫穿了分類討論的思想方法 (3)在解題過(guò)程中 ， 不僅要掌握問(wèn)題中的條件與結(jié)論 ， 還要在推理的過(guò) 程中不斷地發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件 ， 以便全面、正確、迅速地解決問(wèn) 題忽視已知條件 ， 實(shí)質(zhì)上是對(duì)概念理解不詳、把握不準(zhǔn)的表現(xiàn) 正解 在 Rt A D C 中 ， AC 6 ， AD 2 ， CD AC 2 AD 2 2 . 要使這兩個(gè)三角形相似 ， 有 AC AD AB AC 或 AC CD AB AC ， AB AC 2 AD （ 6 ） 2 2 3 ， 或 AB AC 2 CD （ 6 ） 2 2 3 2 . 故當(dāng) AB 的長(zhǎng)為 3 或 3 2 時(shí) ， 這兩個(gè) 直角 三角形相似