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1、2.1 向量的加法 陸川縣實驗中學 張藝耀 北京 廣州 上海 1.飛機從廣州飛往上海 ,再從上海 飛往北京 ,這兩次位移的結果與飛 機從廣州直接飛往北京的位移相同 嗎？ 我們把后面這樣一次位移叫作 前面兩次位移的合位移 . 相同 A B C D 2.在大型生產車間里 ,一重物被天車從 A處搬運到 B處 . 的合位移。 與豎直運動的分位移 水平運動的分位移 ，可以看作它的實際位移 AD AC AB 由分位移求合位移 ,稱為位移的合成 . 在上一節(jié)課中我們知道位移是向量，因此位移合 成就是向量的加法，那么向量的加法怎么體現？ 符合哪些規(guī)律呢？這就是我們今天要探究的內容 . 1.掌

2、握向量加法的概念；能熟練運用三角形法則和 平行四邊形法則求幾個向量的和向量 .（重點 ) 2.能準確表述向量加法的交換律和結合律，并能熟練 運用它們進行向量計算 . （重點） 3.向量加法的概念和向量加法的法則及運算律 .（難點） 既然向量的加法可以類比位移的合成，想一想，求 兩個向量的和是否也可以類比前面位移的合成呢？ 探究點 1 向量加法的三角形法則 b a a,b,如下圖，已知向量 如何求這兩向量的和？ 這種作法叫作向量求和的 三角形法則 . A C 作法 ： 1.在平面內任取一點 A. 討論： 作圖的關鍵點在哪？ 首尾順次相連 . B a b a b ab a, b

3、類比前面的廣 州至北京的飛 機位移的合成 . 再作向量 AC (1)同向 (2)反向 a b a b 思考： 當向量 a， b是共線向量時， a+b又如何作？ a b A B B C = A C (3)規(guī)定： a 0 0 a a . A B C B A a C b a b A B B C = A C A 探究點 2 向量加法的平行四邊形法則 思考： 類比位移的合成方法，作兩向量的和還有 沒有其他的方法呢？ B D C b a 作法： 作 以 AB， AD為鄰邊 作平行四邊形，則 A B a , A D b , A C a b + 上述

4、這種方法叫作向量求和的 平行四邊形法則 . 思考： 這種方法的作圖關鍵點是什么呢？ 提示： 共起點 . 提升總結： 三角形法則和平行四邊形法則的使用范 圍 . （ 1） 三角形法則適用于任意兩個向量的加法 ; （ 2） 平行四邊形法則適用于不共線的兩個向量的加 法 . 例 輪船從港沿東偏北 30 方向行駛了 40 n mile （海里）到達 B 處 ,再由 B處沿正北方向行駛 40 n mile 到達 C 處 .求此時輪船與 A港的相對位置 . 北 A B 30 D 東 C C AB B AC AC AB B ： 如 圖 ， 設 , 分 別 表 示 輪 船 的 兩 次 位 移 , 則

5、 表 示 輪 船 的 合 位 移 , 解 . C 東 北 A B 30 C R t A D B , A D B 90 , D A B 30 , | A B | 40 n m i l e | D B | 20 n m i l e , | A D | 20 3 n m i l e 在 中 ， 所 以 22 22 R t A DC , A DC 90 , | DC | 60 n m i l e | A C | | A D | | DC | ( 20 3 ) 60 40 3 ( n m i l e ) . 在 中 ， 所 以 D | A C | 2 | A

6、D |, CA D 6 0 所 以 . 因為 答 : 輪船此時位于 A港東偏北 60 ，且距 A港 40 n mile 的 C處 . 3 探究點 3 向量加法的運算律 數的加法滿足交換律與結合律 ，即對任意 a， bR ，有 a+b=b+a，（ a+b） +c=a+（ b+c） .任意向量 的加法是 否也滿足交換律和結合律？ a,b 向量的加法滿足交換律和結合律 D A C B A B C D a + b + c = a + b + c（ ） （ ） A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+ +A n-2An-1+An-1An = 思考： 能否將它推廣至多個向量的求和？

7、 A1 A2 A 3 A1A2+A2A3+A3A4=_______ A1A2+A2A3= _______ A1 A2 A3 A4 多邊形法則： n個首尾順次相接的向量的和等于折 線起點到終點的向量 . 13AA 14AA 1nAA 解： 如圖， 表示 ， 表示 .以 OA， OB為鄰邊作 OACB，則 表示合力 . 在 Rt OAC中， =40N， =30N.由勾股定理得 例 2 兩個力 和 同時作用在一個物體上 ,其中 的大小 為 40 N,方向向東 , 的大小為 30 N,方向向北 ,求它們的合力 . 東 北 O C OA OB

8、 OC 1| OA | | F | 2| A C | | O B | | F | 2 2 2 2| F | | O C | | O A | | A C | 4 0 3 0 5 0( N ) . 設合力 與力 的夾角為 ，則 所以 37 . 答：合力大小為 50N，方向為東偏北 37 . 2 1 | F || A C | 3ta n 0. 75 . 4| O A | | F | 1F 2F 1F 2F 1F 2F ur F F 1F F 1F 2F O B 例 3 在小船過河時 ,小船沿垂直河岸方向行駛的速度 為 v1=3.46 km/h,河水流

9、動的速度 v2=2.0 km/h.試求 小船過河實際航行速度的大小和方向 . v1 v2 解： 如圖，設 表示小船垂直于河 岸行駛的速度 , 表示水流的速度， 以 OA,OB為鄰邊作 OABC，則 就 是小船實際航行的速度 . OA OB OC C A 1 2 22 22 1 2 R t O B C B C = v 3. 46 km / h O B = v 2. 0 km / h O C O B B C 3. 46 2. 0 4. 0 km / h v t a n B O C = 1. 73 , B O C 60 . v 60 . ： 中 ， ， ， （

10、 ） . 小 船 實 際 的 航 行 速 度 的 大 小 約 為 ， 方 向 與 水 流 方 向 約 成 在 所 以 因 為 以 答 所 角 4 . 0 k m / h A B C D E F BA C D EF .如圖，在正六邊形 ABCDEF中， （ ） A B C 0 BE AD CF 2.下列非零向量的運算結果為零向量的是 ( ) A. B. C. D. B C A B P M MN MP B C CA A B CD MP G M P Q Q G D 3.試用向量方法證明：對角線互相平分的四 邊形必是平行四邊形 . 證明 AM MC BM MD AD AM MD MC BM BC AD 與 平行且相等 , BC 結論得證 . 所 以 A B CD M ab 因為 3.向量加法運算律 . 1.向量加法的三角形法則 （首尾相接） . 2.向量加法的 平行四邊形法則 （起點相同） . 4.三角形法則推廣為 多邊形法則 長期的心灰意懶以及煩惱足以致人于貧病 枯萎 . 布朗