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1、第三章 坐標(biāo)變換與二次曲線的分類 本章要解決的兩個問題： 一、給定圖形，如何選擇坐標(biāo)系 使其方程最簡單？ 二、在不同坐標(biāo)系中，圖形的方 程之間有什么關(guān)系？ 2 引入 在三維空間中 ， 任意三個不共面的向量都可取 作空間 的一組坐標(biāo)向量 。 空間中任一向量在某一組 坐標(biāo)向量下的坐標(biāo)是唯一確定的 ， 但是在不同坐標(biāo) 系中的坐標(biāo)一般是不同的 。 因此在處理一些問題時 ， 如何選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系使得所討論的向量的坐標(biāo)比 較簡單是一個實際的問題 。 1 仿射坐標(biāo)變換的一般理論 為此我們首先要知道同一向量在不同坐標(biāo)系中 的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系 ， 即隨著坐標(biāo)系的改變 ， 向 量的坐標(biāo)是如何變化的 。 3 1.

2、1 過渡矩陣、向量和點的坐標(biāo)變換公式 則 借用 矩陣記號和 形式上 的矩陣乘法將上式寫為： 1 2 12( )n n k k k 1、 設(shè) 為空間中的一組向量，若 12, , , n 1 1 2 2 nnk k k 其中 是實數(shù) , 12, , , nk k k 一、代數(shù)準(zhǔn)備：向量的形式寫法 4 則利用形式寫法可記為： 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 12 ( ) ( ) m m nn n n n m a a a a a a a a a 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 nn nn m m m n m n a a a a a a a a a

3、 2、 推廣 :設(shè) 和 為兩組向量， 若 12, , , m 12, , , n 5 1) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )n n n n n n n k l k l k l k l k l k l 注： 在形式寫法下有下列運算規(guī)律 : 6 2) 矩陣 ，則 12, R nmAA 1 2 1 2( ) ( ) ( )() nnA B AB 1 21 2 1 2( ) ( )nnAA 12 21( ) ( )n AA ,RRn m m lAB 3) 矩陣 ，則 7 在空間中取定兩個仿射標(biāo)架 和 1 2 3 ; , , I O e e e 1 2 3 ;

4、 , , I O e e e ， 若 1 11 1 21 2 31 3 2 12 1 22 2 32 3 3 13 1 23 2 33 3 e c e c e c e e c e c e c e e c e c e c e 即 二 、 基變換 11 12 13 1 2 3 1 2 3 21 22 23 31 32 33 ( ) ( ) c c c e e e e e e c c c c c c 則稱 或 為從 到 的 基變換公式 。 1 2 3,e e e 1 2 3,e e e 8 稱矩陣 11 12 13 21 22 23 31 32 33 c c c C c c c c c c 為從坐標(biāo)

5、系 到坐標(biāo)系 的 過渡矩陣 。 I I 注： 過渡矩陣是以 在 中的坐標(biāo) 為各個 列向量 的三階方陣。 1 2 3 ,e e e I 從而基變換公式可簡寫為 : 1 2 3 1 2 3( ) ( )e e e e e e C 9 三、向量和點的坐標(biāo)變換公式 設(shè)向量 在 和 中的坐 標(biāo)分別為 和 ，則 ( , , )x y z 1 2 3 ; , , I O e e e 1 2 3 ; , , I O e e e ( , , )x y z 1 2 3 1 2 3 1 2 3 11 12 13 1 2 3 21 22 23 31 32 33 ( ) ( ) ( ) ( ) () xx e e e

6、y e e e C y zz x e e e C y z c x c y c z e e e c x c y c z c x c y c z 10 對比 這就是 向量 的 坐標(biāo)變換公式 。 1 2 3( ) x e e e y z 可知 11 12 13 21 22 23 31 32 33 c x c y c z c x c y c z c x c xx y C y z y c zz 下面討論 點 的 坐標(biāo)變換公式 ： 設(shè)點 在 和 中的坐標(biāo) 分別為 和 ，并設(shè)點 在 中的 坐標(biāo)為 . ( , , )x y z 1 2 3 ; , , I O e e e 1 2 3 ; , , I O e e

7、 e ( , , )x y z M IO 1 2 3( , , )d d d 11 1e 3e 2eo o 1e 2e 3e M 1 2 3 1 2 3 ( ) ( )e e e e e e C 1 1 2 3 23( ) d e d O e e dO 兩個標(biāo)架之間的關(guān)系 : 12 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d x e e e d e e e y zd d x e e e d e e e C y zd dx O e e e C y d z d OOO MM 對比 1 2 3( ) x

8、O M e e e y z 可知 1 2 3 dxx y C y d zz d 這就是 點 的 坐標(biāo)變換公式 。 13 兩個坐標(biāo)變換公式的異同點 不同點 ：向量的坐標(biāo)變換公式是 齊次 的， 點的坐標(biāo)變換公式是 非齊次 的。 相同點 ：都是用 中的坐標(biāo)去求 中的坐標(biāo)； 都是 一次 線性關(guān)系式。 II 思考：點的坐標(biāo)變換公式什么時候表現(xiàn)為齊次的？ 14 1.2 圖形的坐標(biāo)變換公式 設(shè)曲面 在坐標(biāo)系 中的一般方程為 , 則它在坐標(biāo)系 中的一般方程為 : IS ( , , ) 0F x y z I 11 3 21 21 2 1 2 3 2 31 3 3 3 12 32 ( , , ) 0 F c x

9、c y c z d c x c y c z d c x c y c z d 對于曲線 ,將其視為兩張曲面的交線 ,從而曲線的坐標(biāo) 變換公式可以將兩張曲面的坐標(biāo)變換公式聯(lián)立得到 . 例 3.1 15 1.3 過渡矩陣的性質(zhì) 1 2 3,e e e 不共面 | C | 0 過渡矩陣 是 可逆 矩陣 C 命題 3.1 設(shè)有三個仿射坐標(biāo)系 ,若從 的 過渡矩陣為 C,從 的過渡矩陣為 D,則從 的 過渡矩陣為 CD. ,I I I 和 II 到 II到 II到 推論 若從 的過渡矩陣為 ,則從 的過渡 矩陣為 . II到II到 C 1C 注： 以上所有的概念、定義和結(jié)論對于平面上的坐 標(biāo)變換都有類似的

10、結(jié)果，而且更加簡單。 例 3.2、 3.3 16 1.4 代數(shù)曲面和代數(shù)曲線 一個結(jié)論： 若空間中的一張二次曲面和一張平面相交， 則交集為二次曲線，或者直線，或者一個點。 注 1： 次數(shù)的概念不是純幾何的，它與方程有關(guān)。 如果 是一個關(guān)于 的多項式，則稱方程 的圖像為 代數(shù)曲面 ，并把多項式的次數(shù) 稱為這個代數(shù)曲面的 次數(shù) 。 ( , , )F x y z ,x y z ( , , ) 0F x y z 注 2： 代數(shù)曲面及其次數(shù)與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。 在 平面 上，相應(yīng)地有 代數(shù)曲線 及其次數(shù)的概念。 17 1.5 直角坐標(biāo)變換的過渡矩陣、正交矩陣 設(shè) 和 是空間中的兩 個直角坐標(biāo)系， 到 的

11、過渡矩陣為 1 2 3 ; , , I O e e e 1 2 3 ; , , I O e e e 11 12 13 21 22 23 31 32 33 c c c C c c c c c c I I 則簡單計算表明 : 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 t e e e e e e e e e e e e e e e e C C E ee 命題 3.2 直角坐標(biāo)系之間的過渡矩陣是 正交矩陣 . 命題 正交矩陣的行列式為 +1或 -1. 命題 正交矩陣將直角坐標(biāo)系變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系 . 命題 行列式為 正 的正交矩陣 保持

12、 定向 ; 行列式為 負(fù) 的正交矩陣 改變 定向 . 18 正交矩陣的一些性質(zhì) 矩陣 是正交矩陣 C tC C E 1 tCC 矩陣 的每行元素的平方和等于 1,且不同兩 行對應(yīng)元素乘積之和等于 0. C 矩陣 的每列元素的平方和等于 1,且不同兩 列對應(yīng)元素乘積之和等于 0. C 矩陣 是正交矩陣 tC 19 二階正交矩陣的特殊形式 二階正交矩陣只有以下兩種形式 : c o s s in c o s s in s in c o s s in c o s 或 移軸變換 1 2 dxx y y d 轉(zhuǎn)軸變換 2211 c o s s in( ) ( ) s in c o se e e e c o

13、 s s ins in c o sxxyy 20 2 二次曲線的類型 目標(biāo) ：尋找一個新的右手直角坐標(biāo)系，使得 在其中 的方程成為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而看出其幾何形狀。 先討論在平面右手直角坐標(biāo)系中 ， 二次方程： 所代表的二次曲線 的幾何形狀 。 22 221 121 122 2 2 0a a xa x y y b x b y c 方法 ： 轉(zhuǎn)軸 （消去交叉項） + 移軸 （進一步化簡） 注： 若 ,用移軸的方法就可化為標(biāo)準(zhǔn)方程 ,因此 處理 是 關(guān)鍵 所在 .下面討論 的情況。 12 0a 12a 12 0a 21 1、 首先 ,我們希望新的坐標(biāo)系還是直角坐標(biāo)系 , 而且最好還是右手系。 因此這個

14、變換必定是正交變換 ,而且行列式為 +1. 問題 :怎么想到是轉(zhuǎn)軸而不是別的變換 ? 2、 其次 ,平面上的正交矩陣只有兩種類型 ,其中行列 式為正的就是轉(zhuǎn)軸變換 . 22 用它的二次項系數(shù)構(gòu)造 對稱矩陣 : 11 12 12 220 a A aa a 于是 1 1 1 2 1 2 2 2 12 () 22, ) ( F aa x b x b yx cayy yx a c o s s ins in c o sxxyy 設(shè)所要找的轉(zhuǎn)軸變換為 : 0 1222( ) xx y A y b x b y c 2.1 用轉(zhuǎn)軸消去交叉項 記 , 22 2 2 1 2 1 211( , ) 2 2 2F x

15、 y a x ya a x y b x b y c 23 則二次項部分的變換如下 : 0 0c o s s in c o s s in( ) s in( ) c o s s in c o sxx y A y xx y A y 22 1 1 1 2 2 2 22 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 12 2 2 1 1 12 sin 2 c o s 2 2 sin 2 c o s 2 2 c o s sin 2 sin ( ) sin sin 2 c o s aa a a a x xy y aa a a a a a 因此 ,要使新坐標(biāo)系中的方程沒有交叉項 ,只要取 滿 足 2 2 1 1 1

16、2sin 2 c o s 2 02 aa a 即 11 22 12 c ot 2 2aaa 24 作移軸變換 211 22 2 1 22 2 0a x ya b x b y c 2.2 用移軸進一步簡化方程 設(shè)二次曲線 在某個右手直角坐標(biāo)系中的方程為 : 其中 和 不全為 0. 11a 22a 1) 若 和 都不為 0,則配方得 : 11a 22a 2212 211 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1( ) ) 0a x y c a a a a b b b ba 11 22 1 2 , b b xx a yy a 則方程化為 : 22 22 12 1 1 2 2 1 1 2 2

17、 0bba x a y caa 25 進一步可化簡為以下 5種形式之一 : 22 22 1ab xy 22 22 1 xy ab 22 22 0ab xy 22 22 1 xy ab 22 22 0ab xy 橢圓 空集 一點 雙曲線 一對相交直線 26 2 1 1 11 2 1 1 2 11 2) 0( ba x y caa bb 11 11 1 2 1 22 2 , 2 b b bb xx a c yy a 2) 若 和 中有一個為 0,不妨設(shè) 為 0, 不為 0. 11a 22a 22a 11a 則方程可化為 : 若 ,作移軸變 換 : 2 0b 進一步化為 : 2 2x py 拋物線

18、方程化為 : 21 1 220a x b y 27 2 1 1 11 2 1 1 2 11 2) 0( ba x y caa bb 11 1 , xx a yy b 若 ,作移軸變換 : 2 0b 進一步化為 : 2xd d0: 一對平行直線 方程化為 : 2 2 1 1 1 1 1 0cabax d=0: 一條直線 d0: 空集 28 小結(jié) 1) 由于坐標(biāo)變換不改變代數(shù)曲線的次數(shù)，所以仿射 坐標(biāo)系下的二次曲線在直角坐標(biāo)系下仍然還是二次 曲線。 2) 所有的二次曲線只有以下七種（空集除外）： 橢圓、雙曲線、拋物線、一對相交直線、 一對平行直線、一條直線、一個點。 29 3 用方程的系數(shù)判別二次

19、曲線 的類型，不變量 上一節(jié)引入的方法的 局限性： 問題： 如何判別在仿射坐標(biāo)系下給出的二次方程 所表示的二次曲線的類型 ? 1) 轉(zhuǎn)軸和移軸只適用于直角坐標(biāo)系 ; 2) 計算量比較大 . 新的方法： 不變量法 用方程的系數(shù)去 構(gòu)造 不依賴于坐標(biāo)系 的 不變量 ，進 而 直接判別 二次曲線的類型。 注： 這些不變量的構(gòu)造仰仗于代數(shù)語言的引入 ,因為 它們本質(zhì)上是 對稱矩陣 在 合同變換 下的不變量 . 30 記 , 22 2 2 1 2 1 211( , ) 2 2 2F x y a x ya a x y b x b y c 用它的系數(shù) 構(gòu)造 兩個 對稱矩陣 : 11 12 11 12 12

20、11 22 121 2 0 12 2 22 2 , 0 ba a baa ba a baa b b cbb AA c A 12 12 11 12 12 22( , ) 1 1 a a b x a a b y b Fx b y c yx 3.1 二元二次多項式的矩陣 可見 和 是 互相決定 的 . ( , )F x y A 1 1 x x y A y 則 31 22 2 2 1 211( , ) 2x y a x ya a x y 可見 和 是 互相決定 的 . ( , )xy 0A 即 記 是 的二次項部分 , ( , )F x y( , )xy 0 xx y A y 分別把 和 稱為 和 的

21、矩陣 . ( , )xyA 0A ( , )F x y 11 12 12 22 x ax aa ayy 32 設(shè)平面二次曲線的方程為 ,作坐標(biāo)變換： ( , ) 0F x y 0 12kxxCy y k 其中 是過渡矩陣 (可逆 ).上面的變換稱為 可逆線性 變量替換 . 0C 11 12 1 11 12 21 22 2 21 1 22 0 2, 0 0 10 0 1 0 h h kkhh C C h h kkhh C 記 則 11 xx y C y 33 ( , ) 0F x y 設(shè)曲線在新坐標(biāo)系中的方程為 : . 則 它的二次項部分為 : , 1 ( ) 1 tF x y x yA x y

22、 CC 0 0 0( , ) t xCxy ACy yx 注意到 和 都是 對稱矩陣 ,根據(jù)前面的定義 , 所以它們分別是 和 的矩陣 . ( , )F x y tC AC 0 0 0tC A C ( , )xy 設(shè)常數(shù) ,則 和它的二次項部分 的矩陣分別為 和 . ( , )xy A 0A ( , )F x y0 34 設(shè)二元二次多項式 的矩陣為 : ( , )F x y 111 12 1 212 22 2 1212 0 ba a b bA a a b b b cb b c A 11 221 aI a 它們依次被稱為二元二次多項式 的第一 、 第二 、 第三 不變量 . ( , )F x y

23、 3.2 二元二次多項式的不變量 1 2 3,I I I 構(gòu)造 的不變量如下 : ( , )F x y 1 1 2 2 22 12a a aI 3 |I A 0()tr A 0|A 35 命題 3.3 設(shè) 經(jīng)過可逆線性變量替換變?yōu)?, 以 記 的不變量 ,則 ( , )F x y ( , )F x y 1 2 3,I I I ( , )F x y (1) 和 同號 , 和 同號 ; 2I 2I 3I 3I , 1 2, . ,3iiI iI 0C(2) 如果 是 正交矩陣 ,則 推論 在 直角坐標(biāo)變換 下 保持不變 ,這就是它們 被稱為不變量的 原因 . 但是在仿射坐標(biāo)變換下 ,它們并不是不變

24、的 . 1 2 3,I I I 命題 3.4 設(shè)二元 二次 多項式 的 ,則 , 并且作可逆線性變量替換后所得的 的 與 同號 . ( , )F x y 2 0I 1 0I ( , )F x y 1I1I 命題 如果用一個非零常數(shù) 乘以 ,則 當(dāng) 時 ,三個不變量都不改變符號 . 當(dāng) 時 , 不變號 , 變號 ,但 不變號 . ( , )F x y 2I 0 0 13,II 13II 36 3.3 用不變量判別二次曲線的類型 1.標(biāo)準(zhǔn)方程的不變量的正負(fù)性 一對平行直線 , 或一條直線 , 或空集 0 0 + 拋物線 0 + 一對相交直線 0 不定 雙曲線 0 不定 空集 + + + 一點 0

25、+ + 橢圓 + + 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 2I 3I1I 22 22 10 xyab 22 22 0 xyab 22 22 10 xyab 22 22 10 xyab 22 22 0 xyab 2 20 x py 2 0 xd 37 2.用不變量判別二次曲線的類型 設(shè)二次曲線 在某個坐標(biāo)系中的方程為 , 記 的三個不變量為 . ( , ) 0F x y ( , )F x y 1 2 3,I I I 型別 類別 識別標(biāo)志 橢圓 13 0II 空集 13 0II 2 0I 橢圓型 曲線 一點 3 0I 雙曲線 3 0I 2 0I 雙曲型曲線 一對相交直線 3 0I 拋物線 3 0I 一對平行直線 1

26、0K 一條直線 1 0K 2 0I 拋物型曲線 空集 3 0I 1 0K 例 3.4 38 4 圓錐曲線的仿射特征 設(shè)二元二次多項式 的矩陣為 : ( , )F x y 11 12 1 12 22 2 12 a a b A a a b b b c 記 11 121 2 3 1 21 22 12 2 ( , ) ( , ) ( , ) F x y a F x y a xa F x y yb x a y b x y cb b 則 11 12 1 22 2 221 11 ( , ) 1 1 a F x y x y x y x a y bx A y x a y b x b y a b c 1 2 3(

27、 , ) ( , ) ( , )xF x y y F x y F x y 以下總假定在某個仿射坐標(biāo)系中二次曲線 的方程 為 . ( , ) 0F x y 39 2 1 0 0 2 0 0 3 0 0( , ) 2 ( ( , ) ( , ) ( , ) 0m n t m F x y n F x y t F x y 4.1 直線與二次曲線的相交情況 設(shè)直線 的參數(shù)方程為 l 0 0 xx yy tm tn 則 和 的交點對應(yīng)的參數(shù) 滿足 00( , ) 0F x ytm tn l t 展開得到一個關(guān)于 的方程 : t 據(jù)此可判別交點的情形及個數(shù) (見教材 ). 40 1 0 0 2 0 0( ,

28、 ) 0 ( , )F x y F x y 4.2 中心 定義 3.1 如果點 滿足 0 0 0( , )M x y 則稱 為曲線 的 中心 . 0M 中心的坐標(biāo)是方程組 的解 . 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 0 0 a x a y b a x a y b 有唯一解 2 0I 中心型曲線 (橢圓、雙曲線 ) 2 0I 非中心型曲線 無解 沒有中心 (拋物線 ) 中心構(gòu)成一條直線 (退化的拋物型曲線 ) 有無窮解 41 4.3 漸近方向 定義 3.2 一個非零向量 如果使得 , 則稱 所代表的 直線方向 是 的 漸近方向 . ( , ) 0mn ( , )u m n u 命題 3.6

29、 橢圓型 曲線 沒有 漸近方向 , 雙曲型 曲線有 兩個 漸近方向 , 拋物型 曲線有 一個 漸近方向 . 幾何意義 雙曲線的漸近方向是兩條漸近線的方向 ; 一對相交直線的漸近方向是它們自身的方向 ; 拋物線的漸近方向是它的對稱軸的方向 ; 一對平行直線或一條直線的漸近方向就是自身的方向 . 42 4.4 拋物線的開口朝向 結(jié)論 如果 ,則拋物線的開口朝向是 ,否則就是 . 1 12 1 11 2( ) 0I a b a b 12 11( , )aa 12 11( , )aa 命題 3.7 若 ,則 是拋物線的開口朝向的 充要條件為 : 1 12 1 11 2( ) 0I a b a b 12

30、 11( , )aa11 0a 命題 3.7 若 ,則 是拋物線的開口朝向的 充要條件為 : 1 22 1 12 2( ) 0I a b a b 22 12( , )aa22 0a 拋物線 結(jié)論 如果 ,則拋物線的開口朝向是 ,否則就是 . 1 22 1 12 2( ) 0I a b a b 22 12( , )aa 22 12( , )aa I2=0 1 1 2 2 212 0a a a11和 a22不全為 0 43 注 2： 如果 代表雙曲型曲線的漸近方向 ,則 是漸近線 . ulu 4.5 直徑與共軛 的圖像是一條直線 ,記作 ,稱為 所代表的方向關(guān)于 的 共軛直徑 (簡稱 直徑 ).

31、12( , ) ( , ) 0m F x y n F x y 如果一個非零向量 滿足 不全為零 ,則方程 ( , )u m n ul u 11 12 12 22m a n a m a n a和 注 1： 條件 意味著 不代表拋物型曲線的漸近方向 . u 注 3： 如果 有中心 ,則中心一定在每一條直徑上 . 命題 3.7 如果 不代表 的漸近方向 ,則 u (1) 平行于 的每條弦的中點在 上 ; ulu (2) 如果平行于 的直線和 只有一個交點 , 則這個交點在 上 . ul u 1.直徑 44 4.5 直徑與共軛 2.方向關(guān)于 的共軛 0 0mm n A n 11 12 12 22( )

32、 0m m a n a n m a n a )( 定義 3.3 如果兩個 非零 向量 和 滿足 : ( , )u m n ( , )v m n 即 , uvl v l u 注： 可以證明 . 則稱 所代表的 方向 關(guān)于 互相 共軛 . uv和 設(shè) 是兩個 非零 向量 ,并且都有共軛直徑 （即 都不代表拋物型曲線的漸近方向） ,如果 所代表的方向共軛 ,則稱 是一對 互相共 軛 的共軛 直徑 . uv和 uvll和 uv和 uvll和 uv和 45 4.6 圓錐曲線的切線 2 0 0 1 0 0 2 0 0 ( , ) 0, ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . mn m n F

33、x y m F x y n F x y 和圓錐曲線只有一個交點 ,并且不平行于漸近方向的直 線稱為它的 切線 ,交點稱為 切點 . 設(shè)直線 經(jīng)過點 ,平行于向量 , 則 是 的切線的 充要條件 是 : ( , )u m nl 0 0 0( , )M x y l 46 1 0 0 2 0 0 3 0 0( , ) ( , ) ( , ) 0F x y x F x y y F x y 若給定切線方向 ,則可通過下面方程求出切 點坐標(biāo) ,從而確定切線 . ( , )u m n 12( , ) 0,( , ) ( , ) 0.F x ym F x y n F x y 切線的計算方法 (可見切點是 的共

34、軛直徑與 的交點 .) ( , )u m n 若 ,可通過求出切線方向或切點來確定切線 . 0M 若 ,且切點就是 ,則經(jīng)過 的切線為 : 0M 0M 0M 切線方向 滿足 : ( , )u m n 20 0 1 0 0 2 0 0( , ) ( , ) ( , ) ( , ) m n F x y m F x y n F x y 切點 滿足 : 1 1 1( , )M x y 11 1 1 1 2 1 1 300 11 ( , ) 0, ( , ) ( , ) ( , ) 0. F x y F x y x F x y y F x y 47 5 圓錐曲線的度量特征 22 2 2 1 2 1 21

35、1( , ) 2 2 2F x y a x ya a x y b x b y c 設(shè)圓錐曲線 在某個 右手直角坐標(biāo)系 中的方程為 ,其中 ( , ) 0F x y I 5.1 拋物線的對稱軸 11 1 12 2 11 12 1 0a b a ba x a y I 2 22 0by a 拋物線的對稱軸就是漸近方向的垂直方向的 共軛直徑 . 1). 當(dāng) 不全為 0時 ,對稱軸方程可寫為 : 111 2,a a 2). 當(dāng) 全為 0時 ,對稱軸方程可寫為 : 111 2,a a 48 拋物線的作圖 第二步 :求出對稱軸和拋物線 的交點 ,這就是 頂點 . O 第一步 :求出拋物線 的 對稱軸 . 第

36、四步 :以 為原點 ,以 的開口朝向為 軸的正向 , 作右手直角坐標(biāo)系 . O y I 第五步 : 在 中的方程形如 : . I 2 20ax py 第六步 :確定 和 的值 . pa 的開口朝向為 軸的正向 y 和 同號 pa 直角坐標(biāo)變換保持不變量的值 1 11 222 3 a I a a ap I 例 3.5 第三步 :確定 的 開口朝向 . 49 5.2 橢圓和雙曲線的對稱軸 橢圓和雙曲線都有兩條對稱軸 ,它們互相共軛 ,互相垂直 . 定義 3.4 對于中心型曲線 ,如果一個方向與它的 共軛 方向 垂直 ,則稱該方向是 的 主方向 . 所以 ,橢圓和雙曲線的對稱軸的方向是主方向 . 問

37、題： 中心型曲線的主方向是否一定是對稱軸的方向 ? 50 主方向的求法 設(shè) 兩個 非零 向量 和 代表一對共軛方向 , ( , )u m n ( , )u m n 0 0mm n A n 代表主方向 ( , )u m n 0mmAnn mmnn 0 mmA nn 0 0, ( ) 0R ms .t. E A n ( ) u非 零 0| | 0EA 2 12 0II 0, R mms .t. A nn u非 零 由此可求出 的值 ,再由 解出 ,其比值即為 主方向 .此方法稱為 特征值法 . ( ) mn和 51 22122 1 2 2 1 21 4 ) 4 0(I I a a a 特征方程的判

38、別式為 稱為 的 特征方程 ,它的解稱為 特征值 . 2 12 0II 1). 當(dāng) ,且 時 , . 11 22aa 12 0a 0 此時只有一個特征值 ,并且 , 從而 任何方向都是主方向 . 11 22 ()aa 0 0EA 從幾何上看 ,此時 是一個圓 ,所以過中心的任何直線 都是對稱軸 .主方向也就是對稱軸的方向 . 2). 當(dāng) 或 時 , . 11 22aa 12 0a 0 此時有兩個特征值 , 將它們分別代入 能求得 兩個主方向 . ( )21, 從幾何上看 ,此時 是橢圓 (不是圓 )或者雙曲線 ,所以這 兩個主方向就是對稱軸的方向 . 52 回答： Yes! 問題： 中心型曲線的主方向是否一定是對稱軸的方向 ? 結(jié)論 : 橢圓和雙曲線的對稱軸就是經(jīng)過中心并且平行于 主方向的直線 . 53 橢圓和雙曲線的作圖 第二步 :求出 對稱中心 . O 第一步 :求出 特征值 以及它們各自對應(yīng)的 主方向 . 21和 第四步 : 在 中的方程形如 : . I 2212 0 x y c 第五步 :確定 的值 . c 直角坐標(biāo)變換保持不變量的值 例 3.6 第三步 :構(gòu)造右手直角坐標(biāo)系 ,使得 平行于主方向 . 1 2 ; , I O e e 21ee和 3 1 2 Ic 注： 如果只有一個特征值 ,則任意取兩個 垂直方向作為主方向 .