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1、第4章 拉普拉斯變換與連續(xù)系統(tǒng)復(fù)頻域分析4.6本章習(xí)題全解4.1 求下列函數(shù)的拉普拉斯變換(注意:為變量,其它參數(shù)為常量)。(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12)(13) (14)(15) (16)(17) (18)(19) (20)(21) (22)(23) (24)解: (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) ()(19) (20) (21) (22) (23) (24) 4.2 已知,求下列信號的拉普拉斯變換。(1) (2)(
2、3) (4)(5)解:(1)(2)(3)(4)(5)所以4.3 已知信號的拉普拉斯變換如下,求其逆變換的初值和終值。(1) (2)(3) (4)解(1)初值:終值: (2)初值:終值:(3)初值:終值:(4)初值:終值:4.4 求題圖4.4所示信號的單邊拉普拉斯變換。題圖4.4解(1)所以根據(jù)微分性質(zhì)所以注:該小題也可根據(jù)定義求解,可查看(5)小題(2)根據(jù)定義(3)根據(jù)(1)小題的結(jié)果再根據(jù)時移性質(zhì)所以根據(jù)微分性質(zhì)得(4)根據(jù)定義注:也可根據(jù)分部積分直接求?。?)根據(jù)單邊拉氏變換的定義, 本小題與(1)小題的結(jié)果一致。(6)根據(jù)單邊拉氏變換的定義,在是,對比(3)小題,可得4.5 已知為因果
3、信號,求下列信號的拉普拉斯變換。(1) (2)(3) (4)解:(1)根據(jù)尺度性質(zhì)再根據(jù)s域平移性質(zhì)(2)根據(jù)尺度性質(zhì)根據(jù)s域微分性質(zhì)根據(jù)時移性質(zhì)(3)根據(jù)尺度性質(zhì)再根據(jù)s域平移性質(zhì)(4)根據(jù)時移性質(zhì)再根據(jù)尺度性質(zhì)本小題也可先尺度變化得到,再時移單位,得到結(jié)果4.6 求下列函數(shù)的拉普拉斯逆變換。(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12)(13) (14)(15) (16)(17) (18)(19) (20)(21) (22)(23) (24)解: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)
4、 (13) (14)=(15) =(16) =(17)=(18)=(19) = (20)=(21)=(22)=(23) =(24) ()=4.7 求如題圖4.7所示的單邊周期信號的拉普拉斯變換。題圖4.7(1) 矩形脈沖信號第一周期的時間信號為:則 (2) 第一個周期時間信號為 則 (3) 第一個周期時間信號為:則 (4) 一個周期內(nèi):則 4.8 已知線性連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為。(1)若系統(tǒng)輸入,求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng);(2)若,求系統(tǒng)輸入。解:將系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)作拉氏變換得系統(tǒng)函數(shù)(1)系統(tǒng)輸入的拉氏變換為根據(jù)系統(tǒng)的S域分析,所以零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換為,所以(2)根據(jù)系統(tǒng)的S域分析,所以輸入
5、的拉氏變換為求拉氏反變換得4.9 已知系統(tǒng)微分方程為,求下列輸入時的零狀態(tài)響應(yīng)。(1); (2);(2)。解:系統(tǒng)微分方程在零狀態(tài)下兩邊做拉氏變換得整理得:(1)輸入信號的拉氏變換為所以得做拉氏反變換得零狀態(tài)響應(yīng)(2)輸入信號的拉氏變換為所以得做拉氏反變換得零狀態(tài)響應(yīng)(3)輸入信號的拉氏變換為所以得做拉氏反變換得零狀態(tài)響應(yīng)4.10 利用拉普拉斯變換求解下列系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)和全響應(yīng)。(1)。(2)(3); (4);,解: (1) 將系統(tǒng)方程兩邊拉氏變換得: (2)將系統(tǒng)方程兩邊拉氏變換得:把代入上式,(3) 系統(tǒng)函數(shù):(4) 4.11 求下列微分方程描述的連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響
6、應(yīng)。(1);(2);(3)。解:(1)考慮輸入,將微分方程兩邊做拉氏變換得代入初始條件, 整理得,做拉氏反變換得零輸入響應(yīng)(2)考慮輸入,將微分方程兩邊做拉氏變換得代入初始條件, 整理得,做拉氏反變換得零輸入響應(yīng)(3)考慮輸入,將微分方程兩邊做拉氏變換得代入初始條件, 整理得,做拉氏反變換得零輸入響應(yīng)4.12 已知連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為,求在下列輸入時的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。(1);(2);解:將系統(tǒng)方程兩邊拉氏變換得整理得即令狀態(tài),得零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換為令,即,得零輸入響應(yīng)的拉氏變換為(1) 輸入的拉氏變換,和初始狀態(tài)得對上式求拉氏反變換得,零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)完全響應(yīng)(2) 輸入
7、的拉氏變換,和初始狀態(tài)得對上式求拉氏反變換得,零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)完全響應(yīng)4.13 已知線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和輸入信號,求系統(tǒng)的完全響應(yīng)。(1);(2)。解:根據(jù)系統(tǒng)得s域分析,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換為(1)所以根據(jù)系統(tǒng)方程可得二階系統(tǒng)特征方程的系數(shù)為1,4,3所以系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的拉氏變換為所以求拉氏反變換得系統(tǒng)的完全響應(yīng)為(2)所以根據(jù)系統(tǒng)方程可得三階系統(tǒng)特征方程的系數(shù)為1,3,2,0所以系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的拉氏變換為所以求拉氏反變換得系統(tǒng)的完全響應(yīng)為4.14 一線性系統(tǒng),當(dāng)輸入為時,零狀態(tài)響應(yīng)為,求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。解:輸入的拉氏變換為,輸出的拉氏變換為求反拉氏變換得系統(tǒng)的單位沖激
8、響應(yīng)4.15 已知系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為,為使其零狀態(tài)響應(yīng)為,求激勵信號。解: 4.16已知線性連續(xù)系統(tǒng)在相同的初始狀態(tài)下,輸入為時,完全響應(yīng)為;輸入為時,完全響應(yīng)為;求在相同的初始狀態(tài)下,輸入為時系統(tǒng)的全響應(yīng)。解:根據(jù)線性系統(tǒng)的s域分析可知,設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為,零輸入響應(yīng)的拉氏變換為則有 (1) (2)其中, (3), (4)將(3)、(4)代入(1)、(2)聯(lián)立解得,所以輸入為時,系統(tǒng)的全響應(yīng)為4.17 已知系統(tǒng)函數(shù),試求系統(tǒng)在下列信號激勵時的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。(1); (2)(1) 系統(tǒng)函數(shù):系統(tǒng)的極點(diǎn)分別是 ,位于平面的左半平面,所以可得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)所以系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為(2) 系統(tǒng)函數(shù):系統(tǒng)的極
9、點(diǎn)分別是 ,位于平面的左半平面,所以可得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)所以系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為4.18 已知系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布如題圖4.18所示,單位沖激響應(yīng)的初值。(1)求系統(tǒng)函數(shù);(2)求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù);(3)求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng);(4)求系統(tǒng)在激勵下系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解:(1)根據(jù)題圖可知,系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)為,零點(diǎn)為根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn),可寫出零極點(diǎn)形式為利用初值定理得所以所以(2)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為(3)對求拉氏反變換得(4)所以,所以正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)4.19 已知下列各系統(tǒng)函數(shù),畫出零、極點(diǎn)圖,求單位沖激響應(yīng),畫出波形,并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。(1); (2);(3); (4)解:(1) 系統(tǒng)
10、零極點(diǎn)圖如下:該系統(tǒng)的所有極點(diǎn)都在左半開平面,所以系統(tǒng)穩(wěn)定。(2) 系統(tǒng)零級點(diǎn)圖如下:該系統(tǒng)的所有極點(diǎn)都在左半開平面,所以系統(tǒng)穩(wěn)定。(3) 系統(tǒng)零極點(diǎn)圖如下: 該系統(tǒng)的所有極點(diǎn)都在左半開平面,所以系統(tǒng)穩(wěn)定。(4) 系統(tǒng)零極點(diǎn)圖如下: 該系統(tǒng)有一個極點(diǎn)位于虛軸上,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。4.20 線性系統(tǒng)如題圖4.20所示,圖中,。(1)求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和單位沖激響應(yīng);(2)若輸入,求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。題圖4.20解:(1),根據(jù)題圖可知,求拉氏反變換得單位沖激響應(yīng)(2),所以求拉氏反變換得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)4.21 線性連續(xù)系統(tǒng)如題圖4.21所示。(1)求系統(tǒng)函數(shù);(2)為使系統(tǒng)穩(wěn)定,求系數(shù)的取值范圍;
11、(3)在臨界穩(wěn)定狀態(tài)下,求系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)。題圖4.21解:根據(jù)題圖的系統(tǒng)框圖,可得出輸入輸出關(guān)系式整理得, 根據(jù)勞斯判據(jù)準(zhǔn)則,要使系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足,這里的分別表示分母的各項(xiàng)系數(shù)所以系統(tǒng)穩(wěn)定得條件為,即(3)在臨界穩(wěn)定狀態(tài)下,此時,所以求拉氏反變換得系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)4.22某連續(xù)系統(tǒng)的分母多項(xiàng)式為:,為使系統(tǒng)穩(wěn)定,應(yīng)滿足什么條件?解: 這是一個三階系統(tǒng),三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是D(s)中全部系數(shù)非零,且同符號,而且還要求滿足:所以根據(jù)題有: 4.23檢驗(yàn)以下多項(xiàng)式是否為霍爾維茲多項(xiàng)式。(1);(2);(3);解:(1) 根據(jù)羅斯霍爾維茲別準(zhǔn),排出羅斯陣列如下:第一行 1 4 4第二行 3 6
12、0第三行 2 4 0第四行 0 0 0羅斯陣列排列至此,出現(xiàn)一行元素全為0??砂训?行的一行元素寫為輔助多項(xiàng)式,將對求一階導(dǎo)數(shù),再將輔助多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)4,4重新列在第4行,這樣得到新的完整的羅斯陣列為第一行 1 4 4第二行 3 6 0第三行 2 4 0第四行 4 4 0第五行 2 0 0羅斯陣列中第1列元素全大于0,所以是霍爾維茲多項(xiàng)式。(2);根據(jù)羅斯霍爾維茲別準(zhǔn),排出羅斯陣列如下:第一行 1 10 0第二行 25 4 0第三行 0 0第四行 4 0羅斯陣列中第1列元素全大于0,所以是霍爾維茲多項(xiàng)式。(3);根據(jù)羅斯霍爾維茲別準(zhǔn),排出羅斯陣列如下:第一行 1 2 9第二行 4 3 4第三
13、行 8 第四行 -22.6以上陣列的第一列元素不全為正,所以不是霍爾維茲多項(xiàng)式。4.24已知線性系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)如下,試判斷各系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(1) (2)(3)解:(1)這是一個二階系統(tǒng),其系統(tǒng)(二階重根系統(tǒng)除外)穩(wěn)定的充要條件是:分母中全部系數(shù)不缺項(xiàng)且同符號,該題目中全部系數(shù)分別為 1,5,4.不缺項(xiàng)且全為正,因此該系統(tǒng)穩(wěn)定。(2)首先將的特征多項(xiàng)式排列羅斯陣列第一行 1 17 6第二行 7 17 0第三行 6 0第四行 0 0第五行 6 0 0因?yàn)橄禂?shù)的羅斯陣列第一列元素全大于零,所以H (s)對應(yīng)的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。(3)H (s)的分母多項(xiàng)式的系數(shù),H (s)分母多項(xiàng)式的系數(shù)符號不完全相同
14、,所以H (s)對應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。4.25已知因果信號的拉氏變換分別如下所示,試問的傅里葉變換是否存在?若存在,寫出的表達(dá)式。(1) (2)(3)解:(1)極點(diǎn):s1=-1+j, s2=-1-j 因?yàn)橄到y(tǒng)所有極點(diǎn)都在左半開平面,所以系統(tǒng)穩(wěn)定,X(jw)存在 X(jw)=X(s)|s=jw=(2) 極點(diǎn):s1=0,s2=-1 有一個極點(diǎn)在虛軸上,除了將中的以代換外,還要加一系列沖激函數(shù) (3) 極點(diǎn): s1= -4, s2=1, 所有極點(diǎn)不是都在左半開半面,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,X(jw)不存在。第5章 連續(xù)時間信號的抽樣與量化5.6本章習(xí)題全解5.1 試證明時域抽樣定理。證明: 設(shè)抽樣脈沖序列
15、是一個周期性沖激序列,它可以表示為由頻域卷積定理得到抽樣信號的頻譜為: 式中為原信號的頻譜,為單位沖激序列的頻譜??芍闃雍笮盘柕念l譜由以 為周期進(jìn)行周期延拓后再與相乘而得到,這意味著如果,抽樣后的信號就包含了信號的全部信息。如果,即抽樣間隔,則抽樣后信號的頻譜在相鄰的周期內(nèi)發(fā)生混疊,此時不可能無失真地重建原信號。 因此必須要求滿足,才能由完全恢復(fù),這就證明了抽樣定理。5.2 確定下列信號的最低抽樣頻率和奈奎斯特間隔: (1)(2)(3) (4)解:抽樣的最大間隔稱為奈奎斯特間隔,最低抽樣速率稱為奈奎斯特速率,最低采樣頻率稱為奈奎斯特頻率。(1),由此知,則,由抽樣定理得:最低抽樣頻率,奈奎斯
16、特間隔。(2)脈寬為400,由此可得,則,由抽樣定理得最低抽樣頻率,奈奎斯特間隔。(3),該信號頻譜的,該信號頻譜的信號頻譜的,則,由抽樣定理得最低抽樣頻率,奈奎斯特間隔。(4),該信號頻譜的,該信號頻譜的所以頻譜的, 則,由抽樣定理得最低抽樣頻率,奈奎斯特間隔。5.3 系統(tǒng)如題圖5.3所示,。 (1)為從中無失真地恢復(fù),求最大采樣間隔。(2)當(dāng)時,畫出的幅度譜。題圖 5.3解:(1)先求的頻譜。由此知的頻譜寬度為,且,則,抽樣的最大允許間隔(2),所以為用沖激序列對連續(xù)時間信號為進(jìn)行采樣,設(shè)原輸入信號的頻譜密度為,而單位沖激序列的頻譜密度為: 其中 則根據(jù)頻域卷積定理得抽樣信號的頻譜為: 而
17、,則,幅度譜如下圖所表示。5.4 對信號進(jìn)行抽樣,為什么一定會產(chǎn)生頻率混疊效應(yīng)?畫出其抽樣信號的頻譜。解: 由第三章知識知,該單邊指數(shù)信號的頻譜為:其幅度頻譜和相位頻譜分別為單邊非因果指數(shù)函數(shù)的波形、 幅度譜、相位譜如下圖所示,其中。單邊指數(shù)信號的波形和頻譜顯然該信號的頻譜范圍為整個頻域,故無論如何抽樣一定會產(chǎn)生頻率混疊效應(yīng)。抽樣后的頻譜是將原信號頻譜以抽樣頻率為周期進(jìn)行周期延拓,幅度變?yōu)樵瓉淼亩玫健D略。5.5 題圖5.5所示的三角形脈沖,若以20Hz頻率間隔對其頻率抽樣,則抽樣后頻率對應(yīng)的時域波形如何?以圖解法說明。題圖 5.5 解:三角形脈沖的頻譜可根據(jù)傅里葉變換的時域微分特性得到,具
18、體求解可參考課本第三章。由此可知,脈寬為幅度為的三角形脈沖其頻譜為。其波形如圖所示。三角函數(shù)的頻譜在中,易求得的頻譜為:在處,為零,圖略。由頻域卷積定理,抽樣信號的頻譜為:其中,。抽樣后的頻譜是將三角形頻譜以為周期做了周期延拓,幅度則變?yōu)樵瓉淼?,可見發(fā)生了頻譜混疊現(xiàn)象。5.6 若連續(xù)信號的頻譜是帶狀的,利用卷積定理說明當(dāng)時,最低抽樣頻率只要等于就可以使抽樣信號不產(chǎn)生頻譜混疊。證明:由頻域卷積定理的抽樣信號的頻譜為 抽樣后的頻譜是以抽樣頻率為周期做了周期延拓,幅度則變?yōu)樵瓉淼摹S捎陬l譜是帶狀的且,所以當(dāng)時頻譜不會混疊。5.7 如題圖5.7所示的系統(tǒng)。求:(1)求沖激響應(yīng)函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù);(2)求系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù),幅頻特性和相頻特性,并畫出幅頻和相頻特性曲線;(3)激勵,求零狀態(tài)響應(yīng),畫出其波形;(4)激勵,其中為奈奎斯特抽樣間隔,為點(diǎn)上 的值,求響應(yīng)。