《人教版-高中數(shù)學選修1-1-第二章2.2.1雙曲線的定義與標準方程.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《人教版-高中數(shù)學選修1-1-第二章2.2.1雙曲線的定義與標準方程.ppt（31頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、雙曲線及其標準方程 1. 橢圓的定義 和 等于常數(shù) 2a ( 2a|F1F2|0) 的點的軌跡 . 平面內與兩定點 F1、 F2的距離的 1F 2F 0,c 0,c X Y O yxM , 2. 引入問題： 差 等于常數(shù) 的點的軌跡是什么呢？ 平面內與兩定點 F1、 F2的距離的 復習 雙曲線圖象 拉鏈畫雙曲線 |MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a 如圖 (B)， 上面 兩條合起來叫做雙曲線 由可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （ 差的絕對值） 如圖 (A)， |MF2|-|

2、MF1|=|F1F|=2a 兩個定點 F1、 F2 雙曲線的 焦點 ; |F1F2|=2c 焦距 . （ 1） 2a0 ； 雙曲線定義 思考： （ 1）若 2a=2c,則軌跡是什么？ （ 2）若 2a2c,則軌跡是什么？ 說明 （ 3）若 2a=0,則軌跡是什么？ | |MF1| - |MF2| | = 2a (1)兩條射線 (2)不表示任何軌跡 (3)線段 F1F2的垂直平分線 F 2 F 1 M x O y 求曲線方程的步驟： 雙曲線的標準方程 1. 建系 . 以 F1,F2所在的直線為 x軸，線段 F1F2的中點為原點建立直角坐標系 2.設點 設 M（

3、x , y） ,則 F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式 |MF1| - |MF2|= 2a 4.化簡 aycxycx 2)()( 2222 即 aycxycx 2)()( 2222 222222 )(2)( ycxaycx 222 )( ycxaacx )()( 22222222 acayaxac 222 bac )0,0(12222 babyax 此即為 焦點在 x 軸上的 雙曲線 的標準 方程 12 2 2 2 b y a x 12 2 2 2 b x a y F 2 F 1 M x O y O M F2 F1 x y )00( ba ， 若建系時 ,

4、焦點在 y軸上呢 ? 看 前的系數(shù)，哪一個為正， 則在哪一個軸上 22 , yx 2、雙曲線的標準方程與橢圓的標準方程有何區(qū) 別與聯(lián)系 ? 1、如何判斷雙曲線的焦點在哪個軸上？ 問題 22 1 . 1 1 6 9 xy 222 . 1 6 9 - 1 4 4xy 定 義 方 程 焦 點 a.b.c的關 系 F（ c， 0） F（ c， 0） a0， b0，但 a不一 定大于 b， c2=a2+b2 ab0， a 2=b2+c2 雙曲線與橢圓之間的區(qū)別與聯(lián)系 ||MF1| |MF2||=2a |MF1|+|MF2|=2a 橢 圓 雙曲線 F（ 0，

5、c） F（ 0， c） 22 22 1 ( 0 ) xy ab ab 22 22 1 ( 0 ) yx ab ab 22 22 1 ( 0 , 0 ) xy ab ab 22 22 1 ( 0 , 0 ) yx ab ab 例 1、已知雙曲線的焦點為 F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線 上一點 P到 F1、 F2的距離的差的絕對值等于 8。 若雙曲線上有一點， 且 | F1|=10,則 | F2|=__ 2或 18 變式： 若雙曲線上有一點， 且 | F1|=7,則 | F2|=__ 15_ 解： 12 6PF PF 焦點為 12( 5 ,

6、0 ) , ( 5 , 0 )FF 可 設所求方程為 : 22 22 1 xy ab ( a 0, b 0). 2 a =6,2 c =10, a = 3 , c = 5 . 所以點 P 的軌跡方程為 22 1 9 1 6xy . 12 10FF 6, 由雙曲線的定義可知， 點 P 的軌跡是一條雙曲線 , 例 1 ( 參考 課本 P 58 例 ) 已 知 兩 定 點 1 ( 5 , 0 )F , 2 ( 5 , 0 )F , 動點 P 滿足 12 6PF PF , 求動點 P 的軌跡方程 . 變式 訓練 1 : 已知兩定點 1 ( 5 , 0 )F ,

7、 2 ( 5 , 0 )F , 動點 P 滿足 12 10PF PF , 求動點 P 的軌跡方程 . 解： 12 10PF PF 軌跡方程為 0 ( 5 5 )y x x 或 . 12 10FF , 點 P 的軌跡是 兩 條 射 線 , 變式 訓練 2 : 已知兩定點 1 ( 5 , 0 )F , 2 ( 5 , 0 )F , 動點 P 滿足 12 6P F P F , 求動點 P 的軌跡方程 . 變式 訓練 2 : 已知兩定點 1 ( 5 , 0 )F , 2 ( 5 , 0 )F , 動點 P 滿足 12 6P F P F , 求動點 P 的軌跡方程 .

8、解： 12 6P F P F 焦點為 12( 5 , 0 ) , ( 5 , 0 )FF 可 設 雙 曲線 方程為 : 22 22 1 xy ab ( a 0, b 0). 2 a =6,2 c =10, a = 3 , c = 5 . b 2 =5 2 3 2 =16. 所以點 P 的軌跡方程為 22 19 1 6xy ( 3 )x . 12 10FF 6, 由雙曲線的定義可知， 點 P 的軌跡是雙曲線 的一支 (右支 ), 鞏固練習 求適合下列條件的雙曲線的標準方程 a=4,b=3，焦點在 x軸上； 焦距為 12， a=3的雙

9、曲線標準方程； 1916 22 yx 1279x 22 y 1279 22 xy 寫出適合下列條件的雙曲線的標準方程 練習 1.a=4,b=3,焦點在 x軸上 ; 2.焦點為 (0,-6),(0,6),過點 (2,5) 3.a=4,過點 (1, ) 4 103 例 2:如果方程 表示雙曲 線，求 m的取值范圍 . 22 1 21 xy mm 解 : 方程 表示焦點在 y軸雙曲線時， 則 m的取值范圍 _____________. 22 1 21 xy mm 思考： 21mm 得 或( 2 ) ( 1 ) 0m

10、m 由 2m m 的 取 值范圍 為 ( , 2 ) ( 1 , ) 例 1 已知雙曲線過 P 1 ( 2 ， 3 2 5 ) 和 P 2 ( 4 3 7 ， 4) 兩 點，求雙曲線的標準方程 思路點撥 解答本題可分情況設出雙曲線的標 準方程，再構造關于 a， b， c的方程組，求得 a， b， c， 從而得雙曲線標準方程 ;也可以設成 mx2 ny2 1(mn0 ， b 0) P 1 ， P 2 在雙曲線上， 2 2 a 2 3 2 5 2 b 2 1 ， 4 3 7 2 a 2 4 2 b 2 1 ， 解得

11、 1 a 2 1 16 ， 1 b 2 1 9 . ( 不合題意，舍去 ) 當雙曲線的焦點在 y 軸上時，設雙曲線的方程為 y 2 a 2 x 2 b 2 1( a 0 ， b 0) P 1 ， P 2 在雙曲線上， 3 2 5 2 a 2 4 b 2 1 ， 4 2 a 2 4 3 7 2 b 2 1 ， 解得 1 a 2 1 9 ， 1 b 2 1 16 ， 即 a 2 9 ， b 2 16. 所求雙曲線 的 標準 方程為 y 2 9 x 2 16 1. 法二： 雙曲線的焦點位置不確定，

12、 設雙曲線方程為 mx 2 ny 2 1( mn 0 ， b 0) ， 則有 a 2 b 2 6 ， 25 a 2 4 b 2 1 ， 解得 a 2 5 ， b 2 1 ， 故雙曲線 的 標準方程為 x 2 5 y 2 1. 答案： A 2 求與雙曲線 x 2 16 y 2 4 1 有公共焦點，且過點 (3 2 ， 2) 的雙 曲線方程 解： 法一： 設雙曲線方程為 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 由題意易求得 c 2 5 . 又雙曲線過點 (3 2 ， 2) ， 3 2 2 a 2 4

13、 b 2 1. 又 a 2 b 2 (2 5 ) 2 ， a 2 12 ， b 2 8. 故所求雙曲線的方程為 x 2 12 y 2 8 1. 法二： 設雙曲線方程為 x 2 16 k y 2 4 k 1( 4< k 680m,所以 爆炸點 的軌跡是以 A、 B為焦點的雙曲線在靠近 B處的一支上 . 例 3.(課本第 54頁例 )已知 A,B兩地相距 800m,在 A地聽到炮彈爆 炸聲比在 B地晚 2s,且聲速為 340m/s,求炮彈爆炸點的軌跡方程 . 如圖所示，建立直角坐標系 xOy, 設爆炸點 P的坐標為 (x,y)， 則 3 4 0 2 6 8 0P

14、 A P B 即 2a=680， a=340 800AB 8 0 0 6 8 0 0 , 0P A P B x 1 ( 0 )1 1 5 6 0 0 4 4 4 0 0 xy x 22 2 8 0 0 , 4 0 0 ,cc x y o P B A 因此炮彈爆炸點的軌跡方程為 44400b c a 2 2 2 思考 1: 若 在 A , B 兩地 同時聽到 炮彈 爆炸聲 , 則 炮彈爆 炸點的軌跡是什么 ? 思考 2 : 根據(jù) 兩個不同的觀測點測得同一炮彈爆炸聲的 時間差，可以確定爆炸點在 某條曲線上 ， 但不能確定 爆炸點的準確位置 . 而現(xiàn)實生活中為了安全

15、，我們最 關心的 是炮彈爆炸點的準確位置， 怎樣才能確定爆炸 點的準確位置 呢 ? 答 : 爆炸點的軌跡是線段 AB 的垂直平分線 . 答 :再增設一個觀測點 C，利用 B、 C（或 A、 C）兩處 測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方 程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的 準確位置 .這是雙曲線的一個重要應用 . 思考 3 : (200 4 年高考 題 ) 某中心接到其正東、正西、正 北方向三個觀測點的報告： 正西、正北兩個觀測點同時 聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測 點晚 4 s . 已知各觀測點到該中心的距離都是 1 020 m . 試 確定該巨響

16、發(fā)生的位置 .( 假定當時聲音傳播的速度為 340m / s , 相關各點均在同一平面上 ) P B A C 分析 : 依題意畫出圖形 ( 如圖 ) 只要能把巨響點滿足的兩個曲線 方程求出來 . 那么解方程組就可以確 定巨響點的位置 . 要求曲線的方程 , 恰當?shù)?建立 坐 標系是一個關鍵 . x y o 直 覺 巨 響 點 的 位置 情況 . 解：如圖，以接報中心為原點 O ，正東、正北方向為 x 軸、 y 軸正向，建立直角坐標系 . 設 A 、 B 、 C 分別是西、東、北觀測點， 則 A ( 1020 , 0 ）， B ( 1 02 0 , 0 ）， C ( 0 ,

17、1020 ） . 設 P （ x , y ）為巨響點， 由 A 、 C 同時聽到巨響聲，得 | PA | = | P C | , 故 P 在 AC 的垂直平分線 PO 上 , PO 的方程為 y = x ， 因 B 點比 A 點晚 4 s 聽到爆炸聲，故 | PB | | PA |= 34 0 4 =1 36 0, 由雙曲線定義知 P 點在以 A 、 B 為焦點的雙曲線 22 22 1 xy ab 的一支 上， 依題意得 a = 6 8 0 , c = 1 0 2 0 ， 2 2 2 2 2 21 0 2 0 6 8 0 5 3 4 0b c a 雙曲線的方程

18、為 22 22 16 8 0 5 3 4 0 xy 用 y = x 代入上式，得 5680 x ， | PB | | PA |, 6 8 0 5 , 6 8 0 5 , ( 6 8 0 5 , 6 8 0 5 ) , 6 8 0 1 0 x y P P O 即 故 答 : 巨響發(fā)生在接報中心的西偏北 45 0 距中心 6 8 0 1 0 m 處 . 課堂 練習 ( 鞏固及提高 ) : 1. 已知在 ABC 中 , ( 5 , 0 ) , (5 , 0 )BC , 點 A 運動時滿足 3s i n s i n s i n 5B C A , 求點 A 的軌跡方程 .

19、幾何畫板演示第 2題的軌跡 22 1 ( 3 )9 1 6xy x 練習第 1題詳細答案 本課小結 2. 課本 62P 習題 2.3 A 組第 5 題 如圖 , 圓 O 的半徑為定長 r , A 是 圓 O 外一定點 , P 是圓上任意一點 , 線段 AP 的垂直平分線 l 和直線 OP 相交于點 Q , 當點 P 在圓 O 上運動時 , 點 Q 的軌跡是什么 ? 為什么 ? 學習小結 : 本節(jié)課主要是進一步了解雙曲線的定義 及其標準方程 , 并運用雙曲線的定義及其標 準方程解決問題 , 體會雙曲線在實際生活中 的一個重要應用 . 其實 全球定位系統(tǒng) 就是根 據(jù)例 2 這個

20、原理來定位的 . 運用定義及現(xiàn)成的模型思考 , 這是一個 相當不錯的思考方向 . 即 把不熟悉的問題往 熟悉的方向轉化 , 定義模型是最原始 , 也是最 容易想到的地方 . 2 . 已知動圓 P 與 22 1 : ( 5 ) 36F x y 內切 , 且 過點 2 ( 5 , 0 )F , 求動圓圓心 P 的軌跡方程 . 22 1 ( 1 )48xyy 作業(yè) : 1. 課本 67P 習題 2 . 3 B 組第 2 題 1 選做作業(yè) : 1. 設 12,FF 是雙曲線 2 2 1 4 x y 的兩個焦點 , 點 P 在雙曲線上 , 且滿足 12 90F P F , 那么 1

21、2F P F 的面積是 ___ ____ . 2. 已知點 ( 0 , 7)A , ( 0 , 7 )B , ( 1 2 , 2 )C , 以點 C 為焦點作過 A 、 B 兩點的橢圓 , 求滿足條件的橢圓的另一焦點 F 的軌跡方程 . 22 1 ( 3 )9 1 6xy x 3 s i n s i n s i n , 5B C A 解 : 在 ABC中 ,|BC|=10， 33 1 0 6 1 0 55A C A B B C 由 正 弦 定 理 得 故頂點 A的軌跡是 以 B、 C為焦點的雙曲線的左支 又因 c=5， a=3，則 b=4 1 ( 3 ) 9 1 6 xy x 22則頂點 A的軌跡方程為 課堂 練習 ( 鞏固及提高 ) : 1. 已知在 ABC 中 , ( 5 , 0 ) , (5 , 0 )BC , 點 A 運動時滿足 3s i n s i n s i n 5B C A , 求點 A 的軌跡方程 .