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1、第三章 應(yīng)力與強度計算一.內(nèi)容提要本章介紹了桿件發(fā)生基本變形時的應(yīng)力計算，材料的力學(xué)性能，以及基本變形的強度計算。1拉伸與壓縮變形1.1 拉（壓）桿的應(yīng)力1.1.1拉（壓）桿橫截面上的正應(yīng)力拉壓桿件橫截面上只有正應(yīng)力，且為平均分布，其計算公式為 (3-1)式中為該橫截面的軸力，A為橫截面面積。正負(fù)號規(guī)定 拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。公式（3-1）的適用條件：（1）桿端外力的合力作用線與桿軸線重合，即只適于軸向拉（壓）桿件；（2）適用于離桿件受力區(qū)域稍遠處的橫截面；（3）桿件上有孔洞或凹槽時，該處將產(chǎn)生局部應(yīng)力集中現(xiàn)象，橫截面上應(yīng)力分布很不均勻；（4）截面連續(xù)變化的直桿，桿件兩側(cè)棱邊的夾角時，可應(yīng)用

2、式（3-1）計算，所得結(jié)果的誤差約為3%。1.1.2拉（壓）桿斜截面上的應(yīng)力（如圖3-1）圖3-1拉壓桿件任意斜截面（a圖）上的應(yīng)力為平均分布，其計算公式為全應(yīng)力 (3-2)正應(yīng)力 （3-3）切應(yīng)力 （3-4）式中為橫截面上的應(yīng)力。正負(fù)號規(guī)定：由橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面的外法線，逆時針轉(zhuǎn)向為正，反之為負(fù)。 拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。 對脫離體內(nèi)一點產(chǎn)生順時針力矩的為正，反之為負(fù)。兩點結(jié)論：（1）當(dāng)時，即橫截面上，達到最大值，即。當(dāng)=時，即縱截面上，=0。（2）當(dāng)時，即與桿軸成的斜截面上，達到最大值，即。12 拉（壓）桿的應(yīng)變和胡克定律（1）變形及應(yīng)變桿件受到軸向拉力時，軸向伸長，橫向縮短；受到軸向

3、壓力時，軸向縮短，橫向伸長。如圖3-2。圖3-2軸向變形 軸向線應(yīng)變 橫向變形 橫向線應(yīng)變 正負(fù)號規(guī)定 伸長為正，縮短為負(fù)。（2）胡克定律當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。即 （3-5）或用軸力及桿件的變形量表示為 (3-6)式中EA稱為桿件的抗拉（壓）剛度，是表征桿件抵抗拉壓彈性變形能力的量。公式(3-6)的適用條件：(a)材料在線彈性范圍內(nèi)工作，即；(b)在計算時，l長度內(nèi)其N、E、A均應(yīng)為常量。如桿件上各段不同，則應(yīng)分段計算，求其代數(shù)和得總變形。即 (3-7)(3)泊松比 當(dāng)應(yīng)力不超過材料的比例極限時，橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變之比的絕對值。即 (3-8)1.3 材料在拉（壓）時的

4、力學(xué)性能1.3.1低碳鋼在拉伸時的力學(xué)性能應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖3-3所示。圖3-3 低碳鋼拉伸時的應(yīng)力應(yīng)變曲線卸載定律:在卸載過程中，應(yīng)力和應(yīng)變按直線規(guī)律變化。如圖3-3中dd直線。冷作硬化：材料拉伸到強化階段后，卸除荷載，再次加載時，材料的比例極限升高，而塑性降低的現(xiàn)象，稱為冷作硬化。如圖3-3中ddef曲線。圖3-3中，of 為未經(jīng)冷作硬化，拉伸至斷裂后的塑性應(yīng)變。df 為經(jīng)冷作硬化，再拉伸至斷裂后的塑性應(yīng)變。四個階段四個特征點，見表1-1。表1-1 低碳鋼拉伸過程的四個階段階 段圖1-5中線段特征點說 明彈性階段oab比例極限彈性極限為應(yīng)力與應(yīng)變成正比的最高應(yīng)力為不產(chǎn)生殘余變形的最高應(yīng)力屈服

5、階段bc屈服極限為應(yīng)力變化不大而變形顯著增加時的最低應(yīng)力強化階段ce抗拉強度為材料在斷裂前所能承受的最大名義應(yīng)力局部形變階段ef產(chǎn)生頸縮現(xiàn)象到試件斷裂表1-1主要性能指標(biāo)，見表1-2。表1-2 主要性能指標(biāo)性能性能指標(biāo)說明彈性性能彈性模量E當(dāng)強度性能屈服極限材料出現(xiàn)顯著的塑性變形抗拉強度材料的最大承載能力塑性性能延伸率材料拉斷時的塑性變形程度截面收縮率材料的塑性變形程度1.3.2 低碳鋼在壓縮時的力學(xué)性能圖3-4 低碳鋼壓縮時的應(yīng)力應(yīng)變曲線應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖3-4中實線所示。低碳鋼壓縮時的比例極限、屈服極限、彈性模量E與拉伸時基本相同，但側(cè)不出抗壓強度1.3.3鑄鐵拉伸時的力學(xué)性能圖3-5 鑄鐵

6、拉伸時的應(yīng)力應(yīng)變曲線應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖3-5所示。應(yīng)力與應(yīng)變無明顯的線性關(guān)系，拉斷前的應(yīng)變很小，試驗時只能側(cè)得抗拉強度。彈性模量E以總應(yīng)變?yōu)?.1%時的割線斜率來度量。1.3.3鑄鐵壓縮時的力學(xué)性能應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖3-6所示。圖3-6 鑄鐵壓縮時的應(yīng)力應(yīng)變曲線鑄鐵壓縮時的抗壓強度比拉伸時大45倍，破壞時破裂面與軸線成。宜于做抗壓構(gòu)件。1.3.4塑性材料和脆性材料延伸率5%的材料稱為塑性材料。延伸率5%的材料稱為脆性材料。1.3.5屈服強度對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，通常用材料產(chǎn)生0.2%的殘余應(yīng)變時所對應(yīng)的應(yīng)力作為屈服強度，并以表示。1.4 強度計算許用應(yīng)力 材料正常工作容許采用的最高應(yīng)力，

7、由極限應(yīng)力除以安全系數(shù)求得。塑性材料 = ； 脆性材料 =其中稱為安全系數(shù)，且大于1。強度條件：構(gòu)件工作時的最大工作應(yīng)力不得超過材料的許用應(yīng)力。對軸向拉伸（壓縮）桿件 （3-9）按式（1-4）可進行強度校核、截面設(shè)計、確定許克載荷等三類強度計算。2扭轉(zhuǎn)變形2.1 切應(yīng)力互等定理受力構(gòu)件內(nèi)任意一點兩個相互垂直面上，切應(yīng)力總是成對產(chǎn)生，它們的大小相等，方向同時垂直指向或者背離兩截面交線，且與截面上存在正應(yīng)力與否無關(guān)。2.2純剪切單元體各側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力的受力狀態(tài)，稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。2.3切應(yīng)變切應(yīng)力作用下，單元體兩相互垂直邊的直角改變量稱為切應(yīng)變或切應(yīng)變，用表示。2.4 剪切胡克定律在

8、材料的比例極限范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即 (3-10)式中G為材料的切變模量，為材料的又一彈性常數(shù)（另兩個彈性常數(shù)為彈性模量E及泊松比）,其數(shù)值由實驗決定。對各向同性材料,E、 、G有下列關(guān)系 (3-11)2.5 圓截面直桿扭轉(zhuǎn)時應(yīng)力和強度條件2.5.1 橫截面上切應(yīng)力分布規(guī)律用截面法可求出截面上扭矩，但不能確定切應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律和大小。需通過平面假設(shè)，從幾何、物理、平衡三方面才能唯一確定切應(yīng)力分布規(guī)律和大小。(1)沿半徑成線性分布，圓心處，最大切應(yīng)力在圓截面周邊上。TT(2)切應(yīng)力方向垂直半徑，圓截面上切應(yīng)力形成的流向與該截面上扭矩轉(zhuǎn)向相等，圖3-7。圖3-72.5.2切應(yīng)力計

9、算公式橫截面上某一點切應(yīng)力大小為 (3-12)式中為該截面對圓心的極慣性矩，為欲求的點至圓心的距離。圓截面周邊上的切應(yīng)力為 (3-13)式中稱為扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)，R為圓截面半徑。2.5.3 切應(yīng)力公式討論（1） 切應(yīng)力公式（3-12）和式（3-13）適用于材料在線彈性范圍內(nèi)、小變形時的等圓截面直桿；對小錐度圓截面直桿以及階梯形圓軸亦可近似應(yīng)用，其誤差在工程允許范圍內(nèi)。（2） 極慣性矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)是截面幾何特征量，計算公式見表3-3。在面積不變情況下，材料離散程度高，其值愈大；反映出軸抵抗扭轉(zhuǎn)破壞和變形的能力愈強。因此，設(shè)計空心軸比實心軸更為合理。 表3-3實心圓（外徑為d）空心圓（外徑為D，內(nèi)徑

10、為d） 2.5.4強度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時，全軸中最大切應(yīng)力不得超過材料允許極限值，否則將發(fā)生破壞。因此，強度條件為 (3-14)對等圓截面直桿 （3-15）式中為材料的許用切應(yīng)力。3彎曲變形的應(yīng)力和強度計算3.1 梁橫截面上正應(yīng)力3.1.1中性層的曲率與彎矩的關(guān)系 (3-16)式中，是變形后梁軸線的曲率半徑；E是材料的彈性模量；是橫截面對中性軸Z軸的慣性矩。3.1.2橫截面上各點彎曲正應(yīng)力計算公式 (3-17)式中，M是橫截面上的彎矩；的意義同上；y是欲求正應(yīng)力的點到中性軸的距離。由式(3-17)可見，正應(yīng)力的大小與該點到中性軸的距離成正比。橫截面上中性軸的一側(cè)為拉應(yīng)力，另一側(cè)為壓應(yīng)力。在實際計算

11、中，正應(yīng)力的正負(fù)號可根據(jù)梁的變形情況來確定，位于中性軸凸向一側(cè)的各點均為拉應(yīng)力，而位于中性軸凹向一側(cè)的各點均為壓應(yīng)力。最大正應(yīng)力出現(xiàn)在距中性軸最遠點處 （3-18）式中，稱為抗彎截面系數(shù)。對于的矩形截面，；對于直徑為D的圓形截面，；對于內(nèi)外徑之比為的環(huán)形截面，。若中性軸是橫截面的對稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值相等，若不是對稱軸，則最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力數(shù)值不相等。3.2梁的正應(yīng)力強度條件梁的最大工作應(yīng)力不得超過材料的容許應(yīng)力，其表達式為 （3-19）由正應(yīng)力強度條件可進行三方面的計算：（1）校核強度 即已知梁的幾何尺寸、材料的容許應(yīng)力以及所受載荷，校核正應(yīng)力是否超過容許值，從而檢驗梁是否

12、安全。（2）設(shè)計截面 即已知載荷及容許應(yīng)力，可由式確定截面的尺寸（3）求許可載荷 即已知截面的幾何尺寸及容許應(yīng)力，按式確定許可載荷。對于由拉、壓強度不等的材料制成的上下不對稱截面梁（如T字形截面、上下不等邊的工字形截面等），其強度條件應(yīng)表達為 （3-20a） （3-20b）式中，分別是材料的容許拉應(yīng)力和容許壓應(yīng)力；分別是最大拉應(yīng)力點和最大壓應(yīng)力點距中性軸的距離。若梁上同時存在有正、負(fù)彎矩，在最大正、負(fù)彎矩的橫截面上均要進行強度計算。3.3梁的切應(yīng)力 （3-21）式中，Q是橫截面上的剪力；是距中性軸為y的橫線與外邊界所圍面積對中性軸的靜矩；是整個橫截面對中性軸的慣性矩；b是距中性軸為y處的橫截面

13、寬度。3.3.1矩形截面梁切應(yīng)力方向與剪力平行，大小沿截面寬度不變，沿高度呈拋物線分布。切應(yīng)力計算公式 （3-22）最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸各點處，。3.3.2工字形截面梁切應(yīng)力主要發(fā)生在腹板部分，其合力占總剪力的9597%，因此截面上的剪力主要由腹板部分來承擔(dān)。切應(yīng)力沿腹板高度的分布亦為二次曲線。計算公式為 (3-23)式中各符號可參看。另外，沿翼緣水平方向也有不大的切應(yīng)力，計算公式為 （3-24）翼緣部分的水平切應(yīng)力沿翼緣寬度按直線規(guī)律變化，并與腹板部分的豎向剪切應(yīng)力形成所謂的剪應(yīng)力流。由于這部分切應(yīng)力較小，一般不予考慮，只是在開口薄壁截面梁的彎曲中才用到它。3.3.3圓形截面梁橫截面上同一

14、高度各點的切應(yīng)力匯交于一點，其豎直分量沿截面寬度相等，沿高度呈拋物線變化。最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，其大小為 （3-25）圓環(huán)形截面上的切應(yīng)力分布與圓截面類似。3.4切應(yīng)力強度條件梁的最大工作切應(yīng)力不得超過材料的許用切應(yīng)力，即 (3-26)式中，是梁上的最大切應(yīng)力值；是中性軸一側(cè)面積對中性軸的靜矩；是橫截面對中性軸的慣性矩；b是處截面的寬度。對于等寬度截面，發(fā)生在中性軸上，對于寬度變化的截面，不一定發(fā)生在中性軸上。切應(yīng)力強度條件同樣可以進行強度校核、設(shè)計截面和求許可載荷三方面的計算。在進行梁的強度計算時，應(yīng)注意下述二個問題。（1） 對于細(xì)長梁的彎曲變形，正應(yīng)力的強度條件是主要的，剪應(yīng)力強度條件

15、是次要的。一般僅需考慮正應(yīng)力強度條件。對于較粗短的梁，當(dāng)集中力較大時，截面上剪力較大而彎矩較小，或是薄壁截面梁時，需要校核切應(yīng)力強度。（2） 正應(yīng)力的最大值發(fā)生在橫截面的上下邊緣，該處的切應(yīng)力為零；切應(yīng)力的最大值一般發(fā)生在中性軸上，該處的正應(yīng)力為零。對于橫截面上其余各點，將同時存在正應(yīng)力和切應(yīng)力，這些點的強度計算，應(yīng)按強度理論計算公式進行。 3.5提高彎曲強度的主要措施3.5.1選擇合理的截面形式由公式(3-20)可知，梁所能承受的最大彎矩與抗彎截面系數(shù)成正比。在截面面積相同的情況下，改變截面形狀以增大抗彎截面系數(shù)，從而達到提高彎曲強度的目的。為了比較各種截面的合理程度，可用抗彎截面系數(shù)與截面

16、面積的比值來衡量，比值愈大，截面就愈合理。在選擇截面形狀時，還要考慮材料的性能。對于由塑料材料制成的梁，因拉伸與壓縮的容許應(yīng)力相同，以采用中性軸為對稱軸的截面。對于由脆性材料制成的梁，因容許拉應(yīng)力遠小于容許壓應(yīng)力，宜采用T字形或II形等中性軸為非對稱軸的截面，并使最大拉應(yīng)力發(fā)生在離中性軸較近的的邊緣處。3.5.2用變截面梁一般的強度計算是以危險截面的最大彎矩為依據(jù)的，按等截面梁來設(shè)計截面尺寸，這顯然是不經(jīng)濟的。如果在彎矩較大的截面采用較大的尺寸，在彎矩較小的截面采用較小的尺寸，使每個截面上的最大正應(yīng)力都達到容許應(yīng)力，據(jù)此設(shè)計的變截面梁是最合理的，稱為等強度梁。3.5.3改善梁的受力狀況合理布置

17、梁上的載荷和調(diào)整梁的支座位置，使梁的最大彎矩變小，也可達到提高彎曲強度的目的。4.剪切及其實用計算4.1剪切的概念剪切定義為相距很近的兩個平行平面內(nèi)，分別作用著大小相等、方向相對（相反）的兩個力，當(dāng)這兩個力相互平行錯動并保持間距不變地作用在構(gòu)件上時，構(gòu)件在這兩個平行面間的任一（平行）橫截面將只有剪力作用，并產(chǎn)生剪切變形。4.2剪切的實用計算名義切應(yīng)力：假設(shè)切應(yīng)力沿剪切面是均勻分布的 ，則名義切應(yīng)力為 （3-27）剪切強度條件：剪切面上的工作切應(yīng)力不得超過材料的 許用切應(yīng)力,即 （3-28）利用式（3-28）對構(gòu)件進行剪切強度校核、截面設(shè)計和許可載荷的計算。5.擠壓及其實用計算5.1擠壓的概念擠

18、壓 兩構(gòu)件接觸面上產(chǎn)生的局部承壓作用。擠壓面 相互接觸壓緊的面。擠壓力 承壓接觸面上的總壓力，用表示。5.2擠壓的實用計算名義擠壓應(yīng)力 假設(shè)擠壓應(yīng)力在名義擠壓面上是均勻分布的，則 （3-29）式中，表示有效擠壓面積，即擠壓面面積在垂直于擠壓力作用線平面上的投影。當(dāng)擠壓面為平面時為接觸面面積，當(dāng)擠壓面為曲面時為設(shè)計承壓接觸面面積在擠壓力垂直面上的 投影面積。擠壓強度條件擠壓面上的工作擠壓應(yīng)力不得超過材料的許用擠壓應(yīng)力 （3-30）利用式（3-29）對構(gòu)件進行擠壓強度校核、截面設(shè)計和許可載荷的計算。二基本要求1.拉伸與壓縮變形1.1熟練掌握應(yīng)力的計算，理解胡克定律。1.2了解常用材料在拉伸和壓縮時

19、的機械性質(zhì)及其測量方法。1.3理解許用應(yīng)力、安全系數(shù)和 強度條件，熟練計算強度問題。2.扭轉(zhuǎn)變形2.1理解純剪切的概念、切應(yīng)力互等定理和剪切胡克定律。2.2理解圓軸扭轉(zhuǎn)時應(yīng)力公式推導(dǎo)方法，并熟練計算扭轉(zhuǎn)應(yīng)力。2.3理解圓軸扭轉(zhuǎn)強度條件的建立方法，并熟練計算強度問題。3.彎曲變形3.1理解彎曲正應(yīng)力的概念及其公式推導(dǎo)方法，熟練掌握彎曲正應(yīng)力及強度問題。3.2理解彎曲切應(yīng)力的概念及其公式推導(dǎo)方法，掌握簡單截面梁彎曲切應(yīng)力的計算及彎曲切應(yīng)力強度條件。4.剪切與擠壓變形：了解剪切和擠壓的概念，熟練掌握剪切和擠壓的實用計算方法。5.熟練掌握常用截面的形心、靜矩、慣性矩的計算及平行移軸公式。三補充例題例1

20、桿系結(jié)構(gòu)如圖所示，已知桿AB、AC材料相同，MPa，橫截面積分別為mm2，mm2，試確定此結(jié)構(gòu)許可載荷P。 解：（1）由平衡條件計算實際軸力，設(shè)AB桿軸力為，AC桿軸力為。對于節(jié)點A，由得 （a）由得 （b）由強度條件計算各桿容許軸力 kN （c） kN （d）由于AB、AC桿不能同時達到容許軸力，如果將，代入（2）式，解得kN顯然是錯誤的。正確的解應(yīng)由（a）、（b）式解得各桿軸力與結(jié)構(gòu)載荷P應(yīng)滿足的關(guān)系 （e） （f）（2）根據(jù)各桿各自的強度條件，即，計算所對應(yīng)的載荷，由（c）、（e）有kNkN kN （g）由（d）、（f）有kNkN kN （h）要保證AB、AC桿的強度，應(yīng)?。╣）、（h）

21、二者中的小值，即，因而得kN上述分析表明，求解桿系結(jié)構(gòu)的許可載荷時，要保證各桿受力既滿足平衡條件又滿足強度條件。例2如圖 所示沖床，kN，沖頭MPa，沖剪鋼板 MPa，設(shè)計沖頭的最小直徑值及鋼板厚度最大值。解：（1）按沖頭壓縮強度計算 所以 cm（2）按鋼板剪切強度計算所以cm例3 2.5挖掘機減速器的一軸上裝一齒輪，齒輪與軸通過平鍵連接，已知鍵所受的力為P12.1kN。平鍵的尺寸為：b=28mm，h=16mm,=70mm，圓頭半徑R14mm（如圖 ）。鍵的許用切應(yīng)力87MPa，輪轂的許用擠壓應(yīng)力取100MPa，試校核鍵連接的強度。解：（1）校核剪切強度鍵的受力情況如圖 c所示，此時剪切面上的

22、剪力（圖 d）為對于圓頭平鍵，其圓頭部分略去不計（圖310e），故剪切面面積為所以，平鍵的工作切應(yīng)力為滿足剪切強度條件。（2）校核擠壓強度與軸和鍵比較，通常輪轂抵抗擠壓的能力較弱。輪轂擠壓面上的擠壓力為P12100N擠壓面的面積與鍵的擠壓面相同，設(shè)鍵與輪轂的接觸高度為，則擠壓面面積（圖f)為故輪轂的工作擠壓應(yīng)力為也滿足擠壓強度條件。所以，此鍵安全。例4 AB軸傳遞的功率為，轉(zhuǎn)速。如圖 所示，軸AC段為實心圓截面，CB段為空心圓截面。已知，。試計算AC以及CB段的最大與最小剪應(yīng)力。解：（1）計算扭矩 軸所受的外力偶矩為由截面法（2）計算極慣性矩 AC段和CB段軸橫截面的極慣性矩分別為（3）計算應(yīng)力 AC段軸在橫截面邊緣處的剪應(yīng)力為CB段軸橫截面內(nèi)、外邊緣處的剪應(yīng)力分別為