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1、關(guān)于評價特征去除所導(dǎo)致的工程分析錯誤的規(guī)范理論SankaraHariGopalakrishnan，KrishnanSuresh機(jī)械工程系，威斯康辛大學(xué)，麥迪遜分校，2006年9月30日摘要：幾何分析是著名的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)/計(jì)算機(jī)輔助工藝簡化 “小或無關(guān)特征”在CAD模型中的程序，如有限元分析。然而，幾何分析不可避免地會產(chǎn)生分析錯誤，在目前的理論框架實(shí)在不容易量化。本文中，我們對快速計(jì)算處理這些幾何分析錯誤提供了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚?。尤其，我們集中力量解決地方的特點(diǎn)，被簡化的任意形狀和大小的區(qū)域。提出的理論采用伴隨矩陣制定邊值問題抵達(dá)嚴(yán)格界限幾何分析性分析錯誤。該理論通過數(shù)值例子說明。關(guān)鍵詞:幾何分析;工

2、程分析;誤差估計(jì);計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)/計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)1. 介紹機(jī)械零件通常包含了許多幾何特征。不過，在工程分析中并不是所有的特征都是至關(guān)重要的。以前的分析中無關(guān)特征往往被忽略，從而提高自動化及運(yùn)算速度。舉例來說，考慮一個剎車轉(zhuǎn)子，如圖1(a)。轉(zhuǎn)子包含50多個不同的特征，但所有這些特征并不是都是相關(guān)的。就拿一個幾何化的剎車轉(zhuǎn)子的熱量分析來說，如圖1(b)。有限元分析的全功能的模型如圖1(a)，需要超過150,000度的自由度，幾何模型圖1(b)項(xiàng)要求小于25，000個自由度，從而導(dǎo)致非常緩慢的運(yùn)算速度。圖1(a)剎車轉(zhuǎn)子 圖1(b)其幾何分析版本除了提高速度，通常還能增加自動化水平，這比較容易實(shí)現(xiàn)

3、自動化的有限元網(wǎng)格幾何分析組成。內(nèi)存要求也跟著降低，而且條件數(shù)離散系統(tǒng)將得以改善;后者起著重要作用迭代線性系統(tǒng)。但是，幾何分析還不是很普及。不穩(wěn)定性到底是“小而局部化”還是“大而擴(kuò)展化”，這取決于各種因素。例如，對于一個熱問題，想刪除其中的一個特征，不穩(wěn)定性是一個局部問題:(1)凈熱通量邊界的特點(diǎn)是零。(2)特征簡化時沒有新的熱源產(chǎn)生; 4對上述規(guī)則則例外。展示這些物理特征被稱為自我平衡。結(jié)果，同樣存在結(jié)構(gòu)上的問題。從幾何分析角度看，如果特征遠(yuǎn)離該區(qū)域，則這種自我平衡的特征可以忽略。但是，如果功能接近該區(qū)域我們必須謹(jǐn)慎，。從另一個角度看，非自我平衡的特征應(yīng)值得重視。這些特征的簡化理論上可以在系

4、統(tǒng)任意位置被施用,但是會在系統(tǒng)分析上構(gòu)成重大的挑戰(zhàn)。目前，尚無任何系統(tǒng)性的程序去估算幾何分析對上述兩個案例的潛在影響。這就必須依靠工程判斷和經(jīng)驗(yàn)。在這篇文章中，我們制定了理論估計(jì)幾何分析影響工程分析自動化的方式。任意形狀和大小的形體如何被簡化是本文重點(diǎn)要解決的地方。伴隨矩陣和單調(diào)分析這兩個數(shù)學(xué)概念被合并成一個統(tǒng)一的理論來解決雙方的自我平衡和非自我平衡的特點(diǎn)。數(shù)值例子涉及二階scalar偏微分方程，以證實(shí)他的理論。本文還包含以下內(nèi)容。第二節(jié)中，我們就幾何分析總結(jié)以往的工作。在第三節(jié)中，我們解決幾何分析引起的錯誤分析，并討論了擬議的方法。第四部分從數(shù)值試驗(yàn)提供結(jié)果。第五部分討論如何加快設(shè)計(jì)開發(fā)進(jìn)度

5、。2. 前期工作幾何分析過程可分為三個階段:識別:哪些特征應(yīng)該被簡化；簡化：如何在一個自動化和幾何一致的方式中簡化特征；分析:簡化的結(jié)果。第一個階段的相關(guān)文獻(xiàn)已經(jīng)很多。例如，企業(yè)的規(guī)模和相對位置這個特點(diǎn)，經(jīng)常被用來作為度量鑒定。此外，也有人提議以有意義的力學(xué)判據(jù)確定這種特征。自動化幾何分析過程，事實(shí)上，已成熟到一個商業(yè)化幾何分析的地步。但我們注意到，這些商業(yè)軟件包僅提供一個純粹的幾何解決。因?yàn)闆]有保證隨后進(jìn)行的分析錯誤，所以必須十分小心使用。另外，固有的幾何問題依然存在，并且還在研究當(dāng)中。本文的重點(diǎn)是放在第三階段，即快速幾何分析。建立一個有系統(tǒng)的方法，通過幾何分析引起的誤差是可以計(jì)算出來的。再

6、分析的目的是迅速估計(jì)改良系統(tǒng)的反應(yīng)。其中最著名的再分析理論是著名的謝爾曼-Morrison和woodbury公式。對于兩種有著相似的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)和剛度矩陣設(shè)計(jì)，再分析這種技術(shù)特別有效。然而，過程幾何分析在網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的剛度矩陣會導(dǎo)致一個戲劇性的變化，這與再分析技術(shù)不太相關(guān)。3. 擬議的方法3.1問題闡述我們把注意力放在這個文件中的工程問題，標(biāo)量二階偏微分方程式(pde): 許多工程技術(shù)問題，如熱，流體靜磁等問題，可能簡化為上述公式。作為一個說明性例子，考慮散熱問題的二維模塊如圖2所示。圖2二維熱座裝配熱量q從一個線圈置于下方位置列為coil。半導(dǎo)體裝置位于device。這兩個地方都屬于，有相同的材料屬

7、性，其余將在后面討論。特別令人感興趣的是數(shù)量，加權(quán)溫度Tdevice內(nèi)device(見圖2)。一個時段，認(rèn)定為slot縮進(jìn)如圖2，會受到抑制，其對Tdevice將予以研究。邊界的時段稱為slot其余的界線將稱為。邊界溫度假定為零。兩種可能的邊界條件slot被認(rèn)為是:(a)固定熱源，即(-kt)n=q，(b)有一定溫度，即T=Tslot。兩種情況會導(dǎo)致兩種不同幾何分析引起的誤差的結(jié)果。設(shè)T(x，y)是未知的溫度場和K導(dǎo)熱。然后，散熱問題可以通過泊松方程式表示:其中H(x，y)是一些加權(quán)內(nèi)核?，F(xiàn)在考慮的問題是幾何分析簡化的插槽是簡化之前分析，如圖3所示。圖3defeatured二維熱傳導(dǎo)裝配模塊現(xiàn)

8、在有一個不同的邊值問題，不同領(lǐng)域t(x，y):觀察到的插槽的邊界條件為t(x，y)已經(jīng)消失了，因?yàn)椴垡呀?jīng)不存在了（關(guān)鍵性變化）!解決的問題是:設(shè)定tdevice和t(x，y)的值，估計(jì)Tdevice。這是一個較難的問題，是我們尚未解決的。在這篇文章中，我們將從上限和下限分析Tdevice。這些方向是明確被俘引理3、4和3、6。至于其余的這一節(jié)，我們將發(fā)展基本概念和理論，建立這兩個引理。值得注意的是，只要它不重疊，定位槽與相關(guān)的裝置或熱源沒有任何限制。上下界的Tdevice將取決于它們的相對位置。3.2伴隨矩陣方法我們需要的第一個概念是，伴隨矩陣公式表達(dá)法。應(yīng)用伴隨矩陣論點(diǎn)的微分積分方程，包括其

9、應(yīng)用的控制理論，形狀優(yōu)化，拓?fù)鋬?yōu)化等。我們對這一概念歸納如下。相關(guān)的問題都可以定義為一個伴隨矩陣的問題，控制伴隨矩陣t_(x，y)，必須符合下列公式計(jì)算23:伴隨場t_(x，y)基本上是一個預(yù)定量，即加權(quán)裝置溫度控制的應(yīng)用熱源?？梢杂^察到，伴隨問題的解決是復(fù)雜的原始問題;控制方程是相同的;這些問題就是所謂的自身伴隨矩陣。大部分工程技術(shù)問題的實(shí)際利益，是自身伴隨矩陣，就很容易計(jì)算伴隨矩陣。另一方面，在幾何分析問題中，伴隨矩陣發(fā)揮著關(guān)鍵作用。表現(xiàn)為以下引理綜述:引理3.1已知和未知裝置溫度的區(qū)別，即(Tdevice-tdevice)可以歸納為以下的邊界積分比幾何分析插槽:在上述引理中有兩點(diǎn)值得注意

10、:1、積分只牽涉到邊界slot;這是令人鼓舞的?；蛟S，處理剛剛過去的被簡化信息特點(diǎn)可以計(jì)算誤差。2、右側(cè)牽涉到的未知區(qū)域T(x，y)的全功能的問題。特別是第一周期涉及的差異，在正常的梯度，即涉及-k(T-t) n;這是一個已知數(shù)量邊界條件-ktn所指定的時段，未知狄里克萊條件作出規(guī)定-ktn可以評估。在另一方面，在第二個周期內(nèi)涉及的差異，在這兩個領(lǐng)域，即T管; 因?yàn)閠可以評價，這是一個已知數(shù)量邊界條件T指定的時段。因此。引理3.2、差額(tdevice-tdevice)不等式然而，伴隨矩陣技術(shù)不能完全消除未知區(qū)域T(x，y)。為了消除T(x，y)我們把重點(diǎn)轉(zhuǎn)向單調(diào)分析。3.3單調(diào)性分析單調(diào)性分

11、析是由數(shù)學(xué)家在19世紀(jì)和20世紀(jì)前建立的各種邊值問題。例如，一個單調(diào)定理:添加幾何約束到一個結(jié)構(gòu)性問題，是指在位移(某些)邊界不減少。觀察發(fā)現(xiàn)，上述理論提供了一個定性的措施以解決邊值問題。后來，工程師利用之前的“計(jì)算機(jī)時代”上限或下限同樣的定理，解決了具有挑戰(zhàn)性的問題。當(dāng)然，隨著計(jì)算機(jī)時代的到來，這些相當(dāng)復(fù)雜的直接求解方法已經(jīng)不為人所用。但是，在當(dāng)前的幾何分析，我們證明這些定理采取更為有力的作用，尤其應(yīng)當(dāng)配合使用伴隨理論。我們現(xiàn)在利用一些單調(diào)定理，以消除上述引理T(x，y)。遵守先前規(guī)定，右邊是區(qū)別已知和未知的領(lǐng)域，即T(x，y)-t(x，y)。因此，讓我們在界定一個領(lǐng)域E(x，y)在區(qū)域?yàn)?

12、e(x，y)=t(x，y)-t(x，y)。據(jù)悉，T(x，y)和T(x，y)都是明確的界定，所以是e(x，y)。事實(shí)上，從公式(1)和(3)，我們可以推斷，e(x，y)的正式滿足邊值問題:解決上述問題就能解決所有問題。但是，如果我們能計(jì)算區(qū)域e(x，y)與正常的坡度超過插槽，以有效的方式，然后(Tdevice-tdevice)，就評價表示e(X，Y)的效率，我們現(xiàn)在考慮在上述方程兩種可能的情況如(a)及(b)。例(a)邊界條件較第一插槽，審議本案時槽原本指定一個邊界條件。為了估算e(x，y)，考慮以下問題:因?yàn)橹蝗Q于縫隙，不討論域，以上問題計(jì)算較簡單。經(jīng)典邊界積分/邊界元方法可以引用。關(guān)鍵是計(jì)

13、算機(jī)領(lǐng)域e1(x，y)和未知領(lǐng)域的e(x，y)透過引理3.3。這兩個領(lǐng)域e1(x，y)和e(x，y)滿足以下單調(diào)關(guān)系:把它們綜合在一起，我們有以下結(jié)論引理。引理3.4未知的裝置溫度Tdevice，當(dāng)插槽具有邊界條件，東至以下限額的計(jì)算，只要求:(1)原始及伴隨場T和隔熱與幾何分析域(2)解決e1的一項(xiàng)問題涉及插槽:觀察到兩個方向的右側(cè)，雙方都是獨(dú)立的未知區(qū)域T(x，y)。例(b) 插槽Dirichlet邊界條件我們假定插槽都維持在定溫Tslot?？紤]任何領(lǐng)域，即包含域和插槽。界定一個區(qū)域e(x，y)在滿足:現(xiàn)在建立一個結(jié)果與e-(x，y)及e(x，y)。引理3.5注意到，公式(7)的計(jì)算較為簡

14、單。這是我們最終要的結(jié)果。引理3.6 未知的裝置溫度Tdevice，當(dāng)插槽有Dirichlet邊界條件，東至以下限額的計(jì)算，只要求:(1)原始及伴隨場T和隔熱與幾何分析。(2) 圍繞插槽解決失敗了的邊界問題，:再次觀察這兩個方向都是獨(dú)立的未知領(lǐng)域T(x，y)。4. 數(shù)值例子說明我們的理論發(fā)展，在上一節(jié)中，通過數(shù)值例子。設(shè)k = 5W/mC, Q = 10 W/m3 and H = 。表1:結(jié)果表表1給出了不同時段的邊界條件。第一裝置溫度欄的共同溫度為所有幾何分析模式(這不取決于插槽邊界條件及插槽幾何分析)。接下來兩欄的上下界說明引理3.4和3.6。最后一欄是實(shí)際的裝置溫度所得的全功能模式(前幾

15、何分析)，是列在這里比較前列的。在全部例子中，我們可以看到最后一欄則是介于第二和第三列。T Tdevice T對于絕緣插槽來說，Dirichlet邊界條件指出，觀察到的各種預(yù)測為零。不同之處在于這個事實(shí):在第一個例子，一個零Neumann邊界條件的時段，導(dǎo)致一個自我平衡的特點(diǎn)，因此，其對裝置基本沒什么影響。另一方面，有Dirichlet邊界條件的插槽結(jié)果在一個非自我平衡的特點(diǎn)，其缺失可能導(dǎo)致器件溫度的大變化在。不過，固定非零槽溫度預(yù)測范圍為20度到0度。這可以歸因于插槽溫度接近于裝置的溫度，因此，將其刪除少了影響。的確，人們不難計(jì)算上限和下限的不同Dirichlet條件插槽。圖4說明了變化的實(shí)

16、際裝置的溫度和計(jì)算式。預(yù)測的上限和下限的實(shí)際溫度裝置表明理論是正確的。另外，跟預(yù)期結(jié)果一樣，限制槽溫度大約等于裝置的溫度。5. 快速分析設(shè)計(jì)的情景我們認(rèn)為對所提出的理論分析什么-如果的設(shè)計(jì)方案，現(xiàn)在有著廣泛的影響。研究顯示設(shè)計(jì)如圖5，現(xiàn)在由兩個具有單一熱量能源的器件。如預(yù)期結(jié)果兩設(shè)備將不會有相同的平均溫度。由于其相對靠近熱源，該裝置的左邊將處在一個較高的溫度，。圖4估計(jì)式versus插槽溫度圖圖5雙熱器座圖6正確特征可能性位置為了消除這種不平衡狀況，加上一個小孔，固定直徑;五個可能的位置見圖6。兩者的平均溫度在這兩個地區(qū)最低。強(qiáng)制進(jìn)行有限元分析每個配置。這是一個耗時的過程。另一種方法是把該孔作為一個特征，并研究其影響，作為后處理步驟。換言之，這是一個特殊的“幾何分析”例子，而擬議的方法同樣適用于這種情況。我們可以解決原始和伴隨矩陣的問題，原來的配置(無孔)和使用的理論發(fā)展在前兩節(jié)學(xué)習(xí)效果加孔在每個位置是我們的目標(biāo)。目的是在平均溫度兩個裝置最大限度的差異。表2概括了利用這個理論和實(shí)際的價值。從上表可以看到，位置W是最佳地點(diǎn)，因?yàn)樗凶畹途殿A(yù)期目標(biāo)的功能。