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1、 第二講 圓錐曲線(xiàn)的定義、方程與性質(zhì) ( 選擇、填空題型 ) 橢 圓 考 點(diǎn) 圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題 拋 物 線(xiàn) 雙 曲 線(xiàn) 考 情 1.對(duì)橢圓的考查以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)為主要考查對(duì)象， 有時(shí)也考查橢圓定義的應(yīng)用，尤其要熟記橢圓中參數(shù) a， b， c之間 的內(nèi)在聯(lián)系及其幾何意義 2.對(duì)于雙曲線(xiàn)的考查主要有兩種形式：一是求雙曲線(xiàn)方程；二 是通過(guò)方程研究雙曲線(xiàn)的性質(zhì)，如 2013年新課標(biāo)全國(guó)卷 T4, 2013年浙江 T9. 3.高考對(duì)拋物線(xiàn)定義的考查主要體現(xiàn)在拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦 點(diǎn)等問(wèn)題上，考查方程主要有兩個(gè)方面，一是用定義或待定系數(shù) 法求拋物線(xiàn)方程

2、；二是利用拋物線(xiàn)方程研究幾何性質(zhì)，如 2013年 新課標(biāo)全國(guó)卷 T11. 4.圓錐曲線(xiàn)綜合問(wèn)題主要考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，如 2013年天津 T5. 1 ( 2013 新課標(biāo)全國(guó)卷 ) 已知雙曲線(xiàn) C ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的離心率為 5 2 ，則 C 的漸近線(xiàn)方程為 ( ) A y 1 4 x B y 1 3 x C y 1 2 x D y x 解析： 因?yàn)殡p曲線(xiàn) x 2 a 2 y 2 b 2 1 的焦點(diǎn)在 x 軸上，所以雙曲線(xiàn)的 漸近線(xiàn)方程為 y b a

3、 x . 又離心率為 e c a a 2 b 2 a 1 b a 2 5 2 ，所以 b a 1 2 ，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為 y 1 2 x . 答案： C 2 ( 2013 浙江高考 ) 如圖， F 1 ， F 2 是橢圓 C 1 ： x 2 4 y 2 1 與雙曲 線(xiàn) C 2 的公共焦點(diǎn)， A ， B 分別是 C 1 ， C 2 在第二、四象限的 公共點(diǎn)若四邊形 AF 1 BF 2 為矩形，則 C 2 的離心率是 ( ) A. 2 B. 3 C. 3 2 D. 6 2 解析： 設(shè)雙曲線(xiàn)方程為 x 2 a 2 y 2

4、b 2 1( a 0 ， b 0) ，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ( x 0 ， y 0 ) 由題意得 a 2 b 2 3 c 2 ，則 | OA | c 3 ， 所以 x 2 0 y 2 0 3 ， x 2 0 4 y 2 0 4 ， 解得 x 2 0 8 3 ， y 2 0 1 3 ，又點(diǎn) A 在雙曲線(xiàn)上， 代入 得， 8 3 b 2 1 3 a 2 a 2 b 2 ，聯(lián)立 解得 a 2 ，所以 e c a 6 2 . 答案： D 3 ( 2013 新課標(biāo)全國(guó)卷 ) 設(shè)拋物線(xiàn) C ： y 2 2 px ( p 0) 的焦點(diǎn)為 F

5、，點(diǎn) M 在 C 上， | MF | 5. 若以 MF 為直徑的圓過(guò)點(diǎn) ( 0,2) ， 則 C 的方程為 ( ) A y 2 4 x 或 y 2 8 x B y 2 2 x 或 y 2 8 x C y 2 4 x 或 y 2 16 x D y 2 2 x 或 y 2 16 x 解析： 由已知得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn) F p 2 ， 0 ，設(shè)點(diǎn) A ( 0,2) ，拋物線(xiàn) 上點(diǎn) M ( x 0 ， y 0 ) ，則 AF p 2 ， 2 ， AM y 2 0 2 p ， y 0 2 . 由已 知得， AF A

6、M 0 ，即 y 2 0 8 y 0 16 0 ，因而 y 0 4 ， M 8 p ， 4 . 由 | MF | 5 得， 8 p p 2 2 16 5 ，又 p 0 ，解得 p 2 或 p 8. 答案： C 4 ( 2013 天津高考 ) 已知雙曲線(xiàn) x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的兩條 漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn) y 2 2 px ( p 0) 的準(zhǔn)線(xiàn)分別交于 A, B 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn) . 若雙曲線(xiàn)的離心率為 2, AO B 的面積為 3 ， 則 p ( ) A 1

7、 B. 3 2 C 2 D 3 解析： 因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率 e c a 2 ，所以 b 3 a ，所以雙 曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為 y b a x 3 x ，與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn) x p 2 相交于 A p 2 ， 3 2 p ， B p 2 ， 3 2 p ，所以 AOB 的面積為 1 2 p 2 3 p 3 ，又 p 0 ，所以 p 2. 答案： C 1 圓錐曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) y2 2px(p 0) 標(biāo)準(zhǔn) 方程 |PF| |PM|點(diǎn) F 不在直線(xiàn) l上， PM l于 M ||PF1| |PF

8、2|| 2a(2a |F1F2|) |PF1| |PF2| 2a(2a |F1F2|) 定義 拋物線(xiàn) 雙曲線(xiàn) 橢圓 名稱(chēng) x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 漸近線(xiàn) e 1 離心率 幾何 性質(zhì) 圖像 拋物線(xiàn) 雙曲線(xiàn) 橢圓 名稱(chēng) e c a 1 b 2 a 2 (0 e 1) e ca 1 b 2 a 2 ( e 1) y ba x 2. 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交時(shí)的弦長(zhǎng) 設(shè)而不求，根據(jù)韋達(dá)定理，進(jìn)行整體代入即當(dāng)直線(xiàn)與圓 錐曲線(xiàn)交于點(diǎn) A ( x 1 ， y

9、1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) 時(shí)， | AB | 1 k 2 | x 1 x 2 | 1 1 k 2 | y 1 y 2 |，而 | x 1 x 2 | x 1 x 2 2 4 x 1 x 2 . 3 拋物線(xiàn)的過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng) 拋物線(xiàn) y 2 2 px ( p 0) 的過(guò)焦點(diǎn) F p 2 ， 0 的弦 AB ，若 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，則 x 1 x 2 p 2 4 ， y 1 y 2 p 2 ，弦長(zhǎng) | AB | x 1 x 2 p . 同樣可得拋物線(xiàn) y 2 2 px ， x 2

10、 2 py ， x 2 2 py 類(lèi)似的性質(zhì) 圓錐曲線(xiàn)定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 例 1 ( 1) ( 2013 廣東高考 ) 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線(xiàn) C 的 右焦點(diǎn)為 F ( 3,0) ，離心率等于 3 2 ，則 C 的方程是 ( ) A. x 2 4 y 2 5 1 B. x 2 4 y 2 5 1 C. x 2 2 y 2 5 1 D. x 2 2 y 2 5 1 (2) 設(shè) F 1 ， F 2 分別為雙曲線(xiàn) x 2 9 y 2 16 1 的左、 右焦點(diǎn)，過(guò) F 1 引圓 x 2 y 2 9 的切線(xiàn) F 1 P 交雙 曲線(xiàn)的右支于點(diǎn) P

11、 ， T 為切點(diǎn)， M 為線(xiàn)段 F 1 P 的中點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 | MO | | MT |等于 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 (3) 已知直線(xiàn) l 1 ： 4 x 3 y 6 0 和直線(xiàn) l 2 ： x 1 ，拋物線(xiàn) y 2 4 x 上一動(dòng)點(diǎn) P 到直線(xiàn) l 1 和直線(xiàn) l 2 的距離之和的最小值是 ________ 自主解答 ( 1) 由題意可知 c 3 ， a 2 ， b c 2 a 2 3 2 2 2 5 ，故雙曲線(xiàn)的方程為 x 2 4 y 2 5 1. ( 2) 連接 PF 2 、 O

12、T ，則有 | MO | 1 2 | PF 2 | 1 2 (| PF 1 | 2 a ) 1 2 (| PF 1 | 6) ， | MT | 1 2 | PF 1 | | F 1 T | 1 2 | PF 1 | c 2 a 2 1 2 | PF 1 | 4 ，于是 有 | MO | | MT | 1 2 | PF 1 | 3 1 2 | PF 1 | 4 1. ( 3) 直線(xiàn) l 2 ： x 1 為拋物線(xiàn) y 2 4 x 的 準(zhǔn)線(xiàn)，由拋物線(xiàn)的定義知， P 到 l 2 的距離等 于 P 到拋物線(xiàn)的焦點(diǎn) F ( 1,0) 的距離故本題 可化為在拋物線(xiàn) y

13、2 4 x 上找一個(gè)點(diǎn) P 使得 P 到點(diǎn) F ( 1,0) 和直線(xiàn) l 1 的距離之和最小如圖所示，距離之和的 最小值為焦點(diǎn) F ( 1,0) 到直線(xiàn) l 1 ： 4 x 3 y 6 0 的距離，即 d m in |4 0 6| 5 2. 答案 ( 1) B ( 2) D ( 3) 2 本例 ( 3) 中把直線(xiàn) l 1 換成點(diǎn) A ( 2,3) ，如何求點(diǎn) P 到點(diǎn) A 和 直線(xiàn) l 2 的距離之和的最小值？ 解析： 直線(xiàn) l 2 ： x 1 為拋物線(xiàn) y 2 4 x 的準(zhǔn)線(xiàn)，由拋物 線(xiàn)定義知， P 到 l 2 的距離等于 P 到拋物線(xiàn)焦點(diǎn) F ( 1,0) 的

14、距離故 本題可以轉(zhuǎn)化為在拋物線(xiàn)上找一個(gè)點(diǎn) P ，使得 | PA | | PF |最小， 即 | AF |為所求， A ( 2,3) ， F ( 1,0) ， | AF | 2 1 2 3 2 10 . 答案： 10 規(guī)律 總 結(jié) 圓錐曲線(xiàn)方程的求法 求解圓錐曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的方法是 “ 先定型，后計(jì)算 ” ( 1) 定型就是指定類(lèi)型，也就是確定圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)位置， 從而設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程 ( 2) 計(jì)算即利用待定系數(shù)法求出方程中的 a 2 ， b 2 或 p .另 外，當(dāng)焦點(diǎn)位置無(wú)法確定時(shí)，拋物線(xiàn)常設(shè)為 y 2 2 ax 或 x 2 2 ay ( a 0) ，橢圓

15、常設(shè) mx 2 ny 2 1( m 0 ， n 0) ，雙曲線(xiàn)常設(shè) 為 mx 2 ny 2 1( mn 0) 1 已知 F 1 ， F 2 為雙曲線(xiàn) C ： x 2 y 2 2 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在 C 上， | PF 1 | 2| PF 2 |，則 c os F 1 PF 2 ( ) A. 1 4 B. 3 5 C. 3 4 D. 4 5 解析： 因?yàn)?c 2 2 2 4 ，所以 c 2,2 c | F 1 F 2 | 4 ，由題 意可知 | PF 1 | | PF 2 | 2 a 2 2 ， | PF

16、1 | 2| PF 2 | ，所以 | PF 2 | 2 2 ， | PF 1 | 4 2 ，由余弦定理可知 c os F 1 PF 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 3 4 . 答案： C 2 已知拋物線(xiàn) y 2 8 x 的準(zhǔn)線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn) x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的一 個(gè)焦點(diǎn)， 且雙曲線(xiàn)的離心率為 2 ，則該雙曲線(xiàn)的方程為 ________ 解析： 拋物線(xiàn) y 2 8 x 的準(zhǔn)線(xiàn) x 2 過(guò)雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)， 所以 c 2 ，又離心率為 2 ，所以 a 1 ， b c 2 a 2 3

17、 ， 所以該雙曲線(xiàn)的方程為 x 2 y 2 3 1. 答案： x 2 y 2 3 1 例 2 ( 1) ( 2013 山東高考 ) 拋物線(xiàn) C 1 ： y 1 2 p x 2 ( p 0) 的焦點(diǎn)與 雙曲線(xiàn) C 2 ： x 2 3 y 2 1 的右焦點(diǎn)的連線(xiàn)交 C 1 于第一象限的點(diǎn) M .若 C 1 在點(diǎn) M 處的切線(xiàn)平行于 C 2 的一條漸近線(xiàn)，則 p ( ) A. 3 16 B. 3 8 C. 2 3 3 D. 4 3 3 圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì) ( 2) ( 2013 福建高考 ) 橢圓 ： x 2 a 2 y 2 b

18、 2 1( a b 0) 的左、右焦 點(diǎn)分別為 F 1 ， F 2 ，焦距為 2 c ，若直線(xiàn) y 3 ( x c ) 與橢圓 的 一個(gè)交點(diǎn) M 滿(mǎn)足 MF 1 F 2 2 MF 2 F 1 ，則該橢圓的離心率等 于 ________ 自主解答 (1) 拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 0 ， p 2 ，雙曲線(xiàn)的右焦 點(diǎn)坐標(biāo)為 (2,0) ，所以上述兩點(diǎn)連線(xiàn)的方程為 x 2 2 y p 1. 雙曲線(xiàn)的 漸近線(xiàn)方程為 y 3 3 x . 對(duì)函數(shù) y 1 2 p x 2 求導(dǎo)，得 y 1 p x . 設(shè) M ( x 0 ， y 0 ) ，則 1 p x 0 3

19、 3 ，即 x 0 3 3 p ，代入拋物線(xiàn)方程得， y 0 1 6 p . 由于點(diǎn) M 在直線(xiàn) x 2 2 y p 1 上，所以 3 6 p 2 p p 6 1 ，解得 p 4 3 4 3 3 . ( 2) 直線(xiàn) y 3 ( x c ) 過(guò)點(diǎn) F 1 ，且傾斜角為 60 ，所以 MF 1 F 2 60 ，從而 MF 2 F 1 30 ，所以 MF 1 MF 2 . 在 Rt MF 1 F 2 中， | MF 1 | c ， | MF 2 | 3 c ，所以該橢圓的離心率 e 2 c 2 a 2 c c 3 c 3 1. 答案 ( 1) D

20、 ( 2) 3 1 規(guī)律 總 結(jié) 兩類(lèi)離心率問(wèn)題 ( 1) 橢圓的離心率： e 2 c 2 a 2 1 b 2 a 2 ， b a 1 e 2 ； ( 2) 雙曲線(xiàn)的離心率： e 2 c 2 a 2 1 b 2 a 2 ， b a e 2 1 . 3 已知雙曲線(xiàn) C 1 ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的離心率為 2. 若拋物 線(xiàn) C 2 ： x 2 2 py ( p 0) 的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn) C 1 的漸近線(xiàn)的距離為 2 ， 則拋物線(xiàn) C 2 的方程為 ( ) A x 2 8

21、 3 3 y B x 2 16 3 3 y C x 2 8 y D x 2 16 y 解析： 雙曲線(xiàn) C 1 ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的離心率為 2 ， c a a 2 b 2 a 2 ， b 3 a ， 雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為 3 x y 0 ， 拋物線(xiàn) C 2 ： x 2 2 py ( p 0) 的焦點(diǎn) 0 ， p 2 到雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距 離為 3 0 p 2 2 2 ， p 8. 所求的拋物線(xiàn)方程為 x 2 16 y . 答案： D 4 已知橢圓

22、 C ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) 的左焦點(diǎn)為 F ， C 與過(guò)原點(diǎn)的 直線(xiàn)相交于 A ， B 兩點(diǎn)，連接 AF ， BF . 若 | AB | 10 ， | AF | 6 ， c os ABF 4 5 ，則 C 的離心率 e ________. 解析： 設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為 F 1 ，在 AB F 中，由余弦定理可 解得 | BF | 8 ，所以 A BF 為直角三角形，又因?yàn)樾边?AB 的中點(diǎn)為 O ，所以 | OF | c 5. 連接 AF 1 ，因?yàn)?A ， B 關(guān)于原 點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以 | BF | | AF 1 | 8 ，所以 2 a 14

23、， a 7 ，所以離 心率 e 5 7 . 答案： 57 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系 例 3 ( 1) ( 2013 安徽高考 ) 已知直線(xiàn) y a 交拋物線(xiàn) y x 2 于 A ， B 兩點(diǎn)若該拋物線(xiàn)上存在點(diǎn) C ，使得 AC B 為直角， 則 a 的取值范圍為 ____ ____ ( 2) ( 2013 東城模擬 ) 已知拋物線(xiàn) y 2 2 px 的焦點(diǎn) F 與雙曲線(xiàn) x 2 7 y 2 9 1 的右焦點(diǎn)重合，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與 x 軸的交點(diǎn)為 K ，點(diǎn) A 在拋物線(xiàn)上且 | AK | 2 | AF |，則 AFK 的面積為 ( ) A 4 B 8

24、 C 16 D 32 自主解答 ( 1) 法一： 設(shè)直線(xiàn) y a 與 y 軸交于點(diǎn) M ，拋物 線(xiàn) y x 2 上要存在點(diǎn) C ，只要以 | AB |為直徑的圓與拋物線(xiàn) y x 2 有交點(diǎn)即可，也就是使 | AM | | MO |，即 a a ( a 0 ) ，所以 a 1. 法二： 易知 a 0 ，設(shè) C ( m ， m 2 ) ，由已知可令 A ( a ， a ) ， B ( a ， a ) ，則 AC ( m a ， m 2 a ) ， BC ( m a ， m 2 a ) ，因?yàn)?AC BC ，所以 m 2 a m 4 2 am 2

25、a 2 0 ，可得 ( m 2 a )( m 2 1 a ) 0. 因?yàn)橛深}易知 m 2 a ，所以 m 2 a 1 0 ， 故 a 1 ， ) ( 2) 由題意知，拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 4,0) 作 AA 垂直于拋 物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為 A ，根據(jù)拋物線(xiàn)定義知 | AA | | AF |， 所以在 AA K 中， | AK | 2 | AA |，故 KAA 45 . 此時(shí) 不妨認(rèn)為直線(xiàn) AK 的傾斜角為 45 ，則直線(xiàn) AK 的方程為 y x 4 ，代入拋物線(xiàn)方程 y 2 16 x 中，得 y 2 16( y 4) ，即 y 2 16 y

26、 64 0 ，解得 y 8 ，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 ( 4,8) ，故 AFK 的面積為 1 2 8 8 32. 答案 ( 1) 1 ， ) ( 2) D 規(guī)律 總 結(jié) 求解直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的方法 在涉及直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，一般不是求出這 兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，而是設(shè)出這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線(xiàn)方程和曲線(xiàn) 方程聯(lián)立后所得方程的根的情況，使用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體 代入，這種設(shè)而不求的思想是解析幾何中處理直線(xiàn)和二次曲線(xiàn)相 交問(wèn)題的最基本方法 5 已知點(diǎn) A (1,0) ，橢圓 C ： x 2 4 y 2 3 1 ，過(guò)點(diǎn) A 作直線(xiàn)交

27、橢圓 C 于 P ， Q 兩點(diǎn)， AP 2 QA ，則直線(xiàn) PQ 的斜率為 ( ) A. 5 2 B. 2 5 2 C 2 5 5 D 5 2 解析： 設(shè)點(diǎn) P ， Q 坐標(biāo)分別為 P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ，則 AP ( x 1 1 ， y 1 ) ， QA (1 x 2 ， y 2 ) 因?yàn)?AP 2 QA ，所以 x 1 1 2( 1 x 2 ) ，整理得 x 1 2 x 2 3 . 設(shè)直線(xiàn) PQ 的斜率為 k ，則其 方程為 y k ( x 1) ，代入橢圓方程，得 (

28、4 k 2 3) x 2 8 k 2 x 4 k 2 12 0. 于是 x 1 x 2 8 k 2 4 k 2 3 ， x 1 x 2 4 k 2 12 4 k 2 3 . 聯(lián)立 ， 解得 k 5 2 . 答案： D 6 已知拋物線(xiàn) C 的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為 F ( 1,0) ，直線(xiàn) l 與 拋物線(xiàn) C 相交于 A ， B 兩點(diǎn)若 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 2,2) ，則 直線(xiàn) l 的方程為 ______ __ 解析： 由已知得拋物線(xiàn)的方程為 y 2 4 x .當(dāng)直線(xiàn) l 的斜率不存 在時(shí)，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn) (2,2) 不可能是 AB 的中點(diǎn)

29、， 故直線(xiàn) l 的斜率存在，設(shè)其為 k ，則直線(xiàn) l 的方程為 y 2 k ( x 2) 且 k 0 ，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立得 y 2 4 y 2 k 2 0 ， 即 y 2 4 k y 8 k 8 0. 設(shè) A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，則 y 1 y 2 4 k ， 又因?yàn)?y 1 y 2 2 2 ，即 2 k 2 ，解得 k 1 ，故所求的直線(xiàn)方程 是 y 2 x 2 ，即 y x . 答案： y x 課題 17 方程思想求解圓錐曲線(xiàn)離心率 典例 ( 2013 湖南高考 ) 設(shè) F

30、 1 ， F 2 是雙曲線(xiàn) C ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的兩個(gè)焦點(diǎn)， P 是 C 上一點(diǎn)若 | PF 1 | | PF 2 | 6 a ， 且 PF 1 F 2 的最小內(nèi)角為 30 ，則 C 的離心率為 ________ 考題揭秘 本題主要考查雙曲線(xiàn)的定義及其幾何性質(zhì)、 余弦定理，考查方程思想與數(shù)形結(jié)合思想 審題過(guò)程 第一步：審條件已知雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn) F 1 ， F 2 ，點(diǎn) P 是雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，且 PF 1 F 2 的最小內(nèi)角為 30 . 第二步：審結(jié)論求雙曲線(xiàn)的離心率 第三步：建聯(lián)系由點(diǎn) P 是雙曲線(xiàn)上的點(diǎn)，假設(shè)在右支上，

31、 由 | PF 1 | | PF 2 | 2 a 與條件 | PF 1 | | PF 2 | 6 a 得到 | PF 1 | ， | PF 2 | 的 值又易知 PF 1 F 2 3 0 ，在 PF 1 F 2 中由余弦定理得到 a ， c 關(guān) 系式進(jìn)而得到 e 的一元二次方程，求出結(jié)果 規(guī)范解答 設(shè) F 1 ， F 2 分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，不妨設(shè) 點(diǎn) P 在雙曲線(xiàn)的右支上，由雙曲線(xiàn)定義得 | PF 1 | | PF 2 | 2 a ，又 | PF 1 | | PF 2 | 6 a ，聯(lián)立解得 | PF 1 | 4 a ， | PF 2 | 2 a . 而 | F 1

32、 F 2 | 2 c ， 則 PF 1 F 2 最小為 30 .在 PF 1 F 2 中，由余弦定理，得 | PF 2 | 2 | PF 1 | 2 | F 1 F 2 | 2 2| PF 1 | | F 1 F 2 | c os PF 1 F 2 ，所以 4 a 2 16 a 2 4 c 2 2 4 a 2 c c os 30 ，即 3 a 2 2 3 ac c 2 0. 因此， e 2 2 3 e 3 0 ， 即 ( e 3 ) 2 0 ， e 3 . 故雙曲線(xiàn)的離心率為 3 . 答案 3 模型歸

33、納 方程思想求圓錐曲線(xiàn)離心率 ( 范圍 ) 的模型示意圖如下： 變式訓(xùn)練 1 已知雙曲線(xiàn) C 1 ： x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 的左、右焦點(diǎn)分別為 F 1 ， F 2 ，拋物線(xiàn) C 2 ： y 2 2 px ( p 0) 的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn) C 1 的一 個(gè)焦點(diǎn)重合 C 1 與 C 2 在第一象限相交于點(diǎn) P ，且 | F 1 F 2 | | PF 1 |，則雙曲線(xiàn)的離心率為 ________ 解析： 設(shè)點(diǎn) P ( x 0 ， y 0 ) ， F 2 ( c, 0) ，過(guò)點(diǎn) P 作拋物線(xiàn) C 2 準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)， 垂足為 A ，連接 PF

34、2 . 由雙曲線(xiàn)的定義及 | F 1 F 2 | | PF 1 | 2 c ，得 | PF 2 | 2 c 2 a ，由拋物線(xiàn)的定義得 | PA | x 0 c 2 c 2 a ， x 0 c 2 a . 由題意知 p 2 c ， y 2 0 2 px 0 4 c ( c 2 a ) 在 Rt F 1 AP 中， | F 1 A | 2 (2 c ) 2 (2 c 2 a ) 2 8 ac 4 a 2 ，即 y 2 0 8 ac 4 a 2 . 8 ac 4 a 2 4 c ( c 2 a ) ，化簡(jiǎn)得 c 2 4 ac a 2 0 ，即

35、e 2 4 e 1 0( e 1) ，解得 e 2 3 . 答案： 2 3 2. ( 2013 烏魯木齊模擬 ) 如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O ，頂點(diǎn) 分別是 A 1 ， A 2 ， B 1 ， B 2 ，焦點(diǎn)分別是 F 1 ， F 2 ，延長(zhǎng) B 1 F 2 與 A 2 B 2 交于 P 點(diǎn)， 若 B 1 PA 2 為鈍角，則此橢圓的離心率的取值范圍為 ________ 解析： 設(shè)橢圓的方程為 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a b 0) ， B 1 PA 2 為 鈍角可轉(zhuǎn)化為 22 BA ， 21 FB 所夾的角為鈍角，則 ( a ， b ) ( c ， b ) 0 ，得 b 2 ac ，即 a 2 c 2 ac ，故 c a 2 c a 1 0 ，即 e 2 e 1 0 ，解得 e 5 1 2 或 e 5 1 2 . 又 0 e 1 ， 5 1 2 e 1. 答案： 5 1 2 ， 1