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1、 線面垂直與面面垂直 基礎(chǔ)要點(diǎn)線面垂直 面面垂直線線垂直、若直線與平面所成的角相等，則平面與的位置關(guān)系是（ B ） A、 B、不一定平行于 C、不平行于 D、以上結(jié)論都不正確、在斜三棱柱,又,過作底面ABC，垂足為H ，則H一定在（ B ） A、直線AC上 B、直線AB上 C、直線BC上 D、ABC的內(nèi)部、如圖示，平面平面，與兩平面所成的角分別為和，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為，則（ A ） A、2:1 B、3:1 C、3:2 D、4:3、如圖示，直三棱柱中，,DC上有一動點(diǎn)P，則周長的最小值是5.已知長方體中，,若棱AB上存在點(diǎn)P，使得,則棱AD長的取值范圍是 。題型一：直線、平面

2、垂直的應(yīng)用1.（2014，江蘇卷）如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn). 已知.求證：(1) ；(2) .證明： (1) 因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，所以DEPA. 又因?yàn)镻A 平面DEF，DE 平面DEF，所以直線PA平面DEF. (2) 因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA6，BC8，所以DEPA，DEPA3，EFBC4. 又因 DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DE丄EF. 又PAAC，DEPA，所以DEAC. 因?yàn)锳CEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC. 又DE平面BDE，所以平面BDE平面AB

3、C. 2. (2014,北京卷，文科)如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，、分別為、的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求證：平面.證明：（1）在三棱柱中，.(2)取AB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G、分別為、的中點(diǎn), ,則四邊形為平行四邊形，.3如圖，是所在平面外的一點(diǎn)，且平面，平面平面求證分析：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直證明：在平面內(nèi)作，交于因?yàn)槠矫嫫矫嬗?，平面，且，所以又因?yàn)槠矫妫谑怯辛硗馄矫?，平面，所以由及，可知平面因?yàn)槠矫?，所以說明：在空間圖形中，高一級的垂直關(guān)系中蘊(yùn)含著低一級的垂

4、直關(guān)系，通過本題可以看到，面面垂直線面垂直線線垂直4.過點(diǎn)引三條不共面的直線、，如圖，若截取(1)求證：平面平面；(2)求到平面的距離 分析：要證明平面平面，根據(jù)面面垂直的判定定理，須在平面或平面內(nèi)找到一條與另一個平面垂直的直線(1)證明：，又，和都是等邊三角形，取的中點(diǎn)，連結(jié)，在中，在中，平面平面，平面平面或：，頂點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為的外心，又為，在斜邊上，又為等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，平面平面，平面平面(2)解：由前所證：，平面，的長即為點(diǎn)到平面的距離，點(diǎn)到平面的距離為、如圖示，ABCD為長方形，SA垂直于ABCD所在平面，過A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD于E、F、G，求證：AE

5、SB,AGSD6.在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD是正三角形，且與底面ABCD垂直，已知底面是面積為的菱形，M是PB中點(diǎn)。(1)求證：PACD(2)求證：平面PAB平面CDM7.在多面體ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，面ABC，AE/CD。(1)求證：AE/平面BCD；(2)求證：平面BED平面BCD題型二、空間角的問題1.如圖示，在正四棱柱中，E為上使的點(diǎn)，平面交于F，交的延長線于G，求：（1）異面直線AD與所成的角的大?。?）二面角的正弦值2.如圖，點(diǎn)在銳二面角的棱上，在面內(nèi)引射線，使與所成的角為，與面所成的角大小為，求二面角的大小分析：首先根據(jù)條件作出二面角的平面角

6、，然后將平面角放入一個可解的三角形中（最好是直角三角形），通過解三角形使問題得解解：在射線上取一點(diǎn)，作于，連結(jié)，則為射線與平面所成的角，再作，交于，連結(jié)，則為在平面內(nèi)的射影由三垂線定理的逆定理，為二面角的平面角設(shè)，在中，,在中，,是銳角，,即二面角等于說明：本題綜合性較強(qiáng)，在一個圖形中出現(xiàn)了兩條直線所稱的角，斜線與平面所稱的角，二面角等空間角，這些空間角都要轉(zhuǎn)化為平面角，而且還要彼此聯(lián)系相互依存，要根據(jù)各個平面角的定義添加適當(dāng)?shù)妮o助線3.正方體的棱長為1，是的中點(diǎn)求二面角的大小分析：求二面角關(guān)鍵是確定它的平面角，按定義在二面角的棱上任取了點(diǎn)，在二個半平面上分別作棱的垂線，方法雖簡便，但因與其他

7、條件沒有聯(lián)系，要求這個平面角一般是很不容易的，所以在解題中不大應(yīng)用在解題中應(yīng)用得較多的是“三垂線定理”的方法，如圖考慮到垂直于平面，在平面上的射影就是再過作的垂線，則面，過作的垂線，即為所求二面角的平面角了解：過作及的垂線，垂足分別是、，連結(jié)面，面，又，面又，為所求二面角的平面角，而，在中，在中，在中，4.PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、E、N分別是AB、CD和PC的中點(diǎn)，（）求證：MN平面PAD（）若二面角PDCA為，求證:平面MND平面PDC5.已知正方體中，E為棱上的動點(diǎn)，（1）求證：BD (2)當(dāng)E恰為棱的中點(diǎn)時，求證：平面平面（3）在棱上是否存在一個點(diǎn)E，可以使二面角的大小為？如果存在，試確定E在棱上的位置；如果不存在，請說明理由。題型三、探索性、開放型問題1.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，中心為O。設(shè)平面ABCD，EC/PA,且PA=2。問當(dāng)CE為多少時，PO平面BED。2.已知ABC中，,AB平面BCD，,E、F分別是AC、AD上的動點(diǎn)，且（1）求證：不論為何值，總有平面BEF平面ABC（2）當(dāng)為何值時，平面BEF平面ACD?