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1、數(shù)學(xué) 因式分解 第一章 數(shù)與式 1 因式分解 把一個多項式化成幾個 _積的形式叫做分解因式 ， 也叫做因式 分解 ， 因式分解與 是互逆變形 2 基本方法 (1)提取公因式法： ma mb mc (2)公式法： 運用平方差公式： a2 b2 ； 運用完全平方公式： a2 2ab b2 整式 整式乘法 m(a b c) (a b)(a b) (a b)2 3 因式分解的一般步驟 (1) 如果多項式的各項有公因式 ， 那么必須先提取公因式； (2) 如果各項沒有公因式 ， 那么盡可能嘗試用公式法來分解； (3) 分解因式必須分解到不能再分解為止 ， 每個因式的內(nèi)部 不再有括號 ， 且同類項合并完畢

2、 ， 若有相同因式寫成冪的形式； ( 4) 注意因式分解中的范圍 ， 如 x 4 4 ( x 2 2)( x 2 2) ， 在實數(shù)范圍內(nèi)分 解因式 ， x 4 4 ( x 2 2)( x 2 )( x 2 ) ， 題目不作說明的 ， 表明是在有理數(shù) 范圍內(nèi)因式分解 1 公因式確定的步驟： (1)看系數(shù)：取各 項 整數(shù)系數(shù)的最大公 約 數(shù) (2)看字母：取各 項 相同的字母 (3)看指數(shù)：取各相同字母的最低次 冪 如：分解因式 6xy2 2xy， 第一步取系數(shù) 為 6和 2的最大公 約 數(shù) 2， 第二 步取相同字母 為 xy， 第三步取 xy的最低次 冪為 1， 故公因式 為 2xy. 2 因式

3、分解的思考步驟 (1)提取公因式； (2)看有幾 項 ：如果 為 二 項時 ， 考 慮 使用平方差公式；如果 為 三 項時 ， 考 慮 使用完全平方公式； (3)檢查 是否分解 徹 底 在分解出的每個因式化 簡 整理后 ， 把它作 為 一個新的多 項 式 ， 再重復(fù)以上 過 程 進 行思考 ， 試 探分解的可能性 ， 直 至不可能分解 為 止 以上步 驟 可以概括 為 “ 一提二套三 查 ” 3 變形技巧 當(dāng) n為 奇數(shù) 時 ， (a b)n (b a)n； 當(dāng) n為 偶數(shù) 時 ， (a b)n (b a)n. 1 (2015武漢 )把 a2 2a分解因式 ， 正確的是 ( ) A a(a 2

4、) B a(a 2) C a(a2 2) D a(2 a) 2 (2015宜賓 )把代數(shù)式 3x3 12x2 12x分解因式 ， 結(jié)果正確的 是 ( ) A 3x(x2 4x 4) B 3x(x 4)2 C 3x(x 2)(x 2) D 3x(x 2)2 A D 3 (2015北海 )下列因式分解正確的是 ( ) A x2 4 (x 4)(x 4) B x2 2x 1 x(x 2) 1 C 3mx 6my 3m(x 6y) D 2x 4 2(x 2) 4 (2015廣西 )分解因式： x3 2x2y 5 (2015北京 )分解因式： 5x3 10 x2 5x . D x2(x 2y) 5x(x

5、 1)2 【 例 1】 (2014海南 )下列式子從左到右變形是因式分解的是 ( ) A a2 4a 21 a(a 4) 21 B a2 4a 21 (a 3)(a 7) C (a 3)(a 7) a2 4a 21 D a2 4a 21 (a 2)2 25 【 點評 】 因式分解是將一個多 項 式化成幾個整式 積 的形式的恒 等 變 形 ， 若 結(jié) 果不是 積 的形式 ， 則 不是因式分解 ， 還 要注意分解 要 徹 底 對應(yīng)訓(xùn)練 1下列等式從左到右的變形 ， 屬于因式分解的是 ( ) A a(x y) ax ay B x2 2x 1 x(x 2) 1 C (x 1)(x 3) x2 4x 3

6、 D x3 x x(x 1)(x 1) B D 【 例 2】 閱讀下列文字與例題： 將一個多項式分組后 ， 可提取公因式或運用公式繼續(xù)分解的方 法是分組分解法 例如： (1)am an bm bn (am bm) (an bn) m(a b) n(a b) (a b)(m n)； (2)x2 y2 2y 1 x2 (y2 2y 1) x2 (y 1)2 (x y 1)(x y 1) 試用上述方法分解因式： a2 2ab ac bc b2 【 點評 】 (1)首 項 系數(shù) 為負 數(shù) 時 ， 一般公因式的系數(shù)取 負 數(shù) ， 使括號內(nèi)首 項 系數(shù) 為 正； (2)當(dāng)某 項 正好是公因式 時 ， 提取

7、公因式 后 ， 該項應(yīng)為 1， 不可漏掉； (3)公因式也可以是多 項 式 (a b)(a b c) 對應(yīng)訓(xùn)練 2 (1)(2015臨沂 )多項式 mx2 m與多項式 x2 2x 1的公因式是 ( ) A x 1 B x 1 C x2 1 D (x 1)2 (2)把多項式 (m 1)(m 1) (m 1)提取公因式 (m 1)后 ， 余下的 部分是 ( ) A m 1 B 2m C 2 D m 2 (3)分解因式： (x y)2 3(x y) 解： (x y)2 3(x y) (x y)(x y 3) A D 【 例 3】 (1) (2015哈爾濱 )把多項式 9a3 ab2因式分解的結(jié)果 是

8、 ； (2015巴中 )分解因式： 2a2 4a 2 (2)分解因式： (2015株洲 )因式分解： x2(x 2) 16(x 2) ； (2015酒泉 )分解因式： x3y 2x2y xy 【 點評 】 (1)用平方差公式分解因式 ， 其關(guān) 鍵 是將多 項 式 轉(zhuǎn) 化 為 a2 b2的形式 ， 需注意 對 所 給 多 項 式要善于 觀 察 ， 并作適當(dāng) 變 形 ， 使之符合平方差公式的特點 ， 公式中的 “ a”“b”也可以是多 項 式 ， 可將 這 個多 項 式看作一 個整體 ， 分解后注意合并同 類項 ； (2)用完全 平方公式分解因式 時 ， 其關(guān) 鍵 是掌握公式的特征 a(3a b)

9、(3a b) 2(a 1)2 (x 2)(x 4)(x 4) xy(x 1)2 對應(yīng)訓(xùn)練 3 分解因式： (1)9x2 1； (2)25(x y)2 9(x y)2； (3)(2015南京 )分解因式 (a b)(a 4b) ab； (4)(2015杭州 )分解因式： m3n 4mn. 解： (1)9x2 1 (3x 1)(3x 1) (2)25(x y)2 9(x y)2 5(x y) 3(x y)5(x y) 3(x y) (8x 2y)(2x 8y) 4(4x y)(x 4y) (3)(a b)(a 4b) ab a2 5ab 4b2 ab a2 4ab 4b2 (a 2b)2 (4)

10、m3n 4mn mn(m2 4) mn(m 2)(m 2) 【例 4 】 給出三個多項式： 1 2 x 2 x 1 ， 1 2 x 2 3 x 1 ， 1 2 x 2 x ， 請你選擇 其中兩個進行加法運算 ， 并把結(jié)果分解因式 解： ( 1 2 x 2 x 1 ) ( 1 2 x 2 3x 1 ) x 2 4x x ( x 4 ) ； ( 1 2 x 2 x 1 ) ( 1 2 x 2 x ) x 2 1 ( x 1 )( x 1 ) ； ( 1 2 x 2 3x 1 ) ( 1 2 x 2 x ) x 2 2x 1 ( x 1 ) 2 【 點評 】 靈活運用多種方法分解因式 ， 其一般 順

11、 序是：首先提 取公因式 ， 然后再考 慮 用公式 ， 最后 結(jié) 果一定要分解到不能再分 解 為 止 對應(yīng)訓(xùn)練 4 ( 1) ( 2015 恩施 ) 因式分解： 9bx 2 y by 3 ； (2) ( 2015 黃岡 ) 分解因式： x 3 2x 2 x ； (3) 分解因式： ( x 2)( x 4) x 2 4 ； (4) 在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式： m 4 9. by(3x y)(3x y) x(x 1)2 解： (x 2)(x 4) x2 4 (x 2)(x 4) (x 2)(x 2) (x 2)(x 4 x 2) (x 2)(2x 2) 2(x 2)(x 1) 解： m 4 9 ( m

12、 2 3 )( m 2 3 ) ( m 2 3 )( m 3 )( m 3 ) 【 例 5】 (1)(2014河北 )計算： 852 152等于 ( ) A 70 B 700 C 4900 D 7000 (2)已知 a2 b2 6a 10b 34 0， 求 a b的值 解： a2 b2 6a 10b 34 0， a2 6a 9 b2 10b 25 0 ， 即 (a 3)2 (b 5)2 0， a 3 0且 b 5 0， a 3， b 5， a b 3 5 2 【 點評 】 (1)利用因式分解 ， 將多 項 式分解之后整體代入求 值 ； (2)一個 問題 有兩個未知數(shù) ， 只有一個條件 ， 根據(jù)

13、已知式右 邊 等于 0， 若將左 邊轉(zhuǎn) 化成兩個完全平方式的和 ， 而它 們 都是非 負 數(shù) ， 要使和 為 0， 則 每個完全平方式都等于 0， 從而使 問題 得以求解 D 對應(yīng)訓(xùn)練 5 ( 1) ( 2015 大連 ) 若 a 49 ， b 109 ， 則 ab 9a 的值為 ； (2) 已知 a ， b ， c 是 ABC 的三邊長 ， 且滿足 a 3 ab 2 bc 2 b 3 a 2 b ac 2 ， 則 ABC 的形狀是 ( ) A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形或直角三角形 D 等腰直角三角形 ( 3) ( 20 14 北京 ) 已知 x y 3 ， 求代數(shù)式 (x

14、1) 2 2x y (y 2x) 的值 4900 C 解析： a3 ab2 bc2 b3 a2b ac2， a3 b3 a2b ab2 ac2 bc2 0， (a3 a2b) (ab2 b3) (ac2 bc2) 0， a2(a b) b2(a b) c2(a b) 0， (a b)(a2 b2 c2) 0， a b 0或 a2 b2 c2 0. a b或 a2 b2 c2， 故 ABC的形狀是等腰三角形或直角三角形 解：原式 x 2 2 xy y 2 1 ( x y ) 2 1 ， 把 x y 3 代入 ， 原式 3 1 4 試題 分解因式： (1)20m3n 15m2n2 5m2n； (2

15、)4x2 16y2； (3)m(a b) n(b a)； (4) 3x2 18x 27. 錯解 (1)20m3n 15m2n2 5m2n 5m2n(4m 3n)； (2)4x2 16y2 (2x 4y)(2x 4y)； (3)m(a b) n(b a) (a b)(m n)； (4) 3x2 18x 27 3(x2 6x 9) 剖析 學(xué) 習(xí) 因式分解 ， 若 對 分解因式的方法不熟 練 ， 理解不透 徹 ， 可能會出 現(xiàn) 各種各 樣 的 錯誤 因式分解提取公因式后 ， 括號內(nèi) 的 項 一定要與原來的 項 數(shù)一 樣 多 ， 錯 解主要是 對 分配律理解不深 或粗心大意造成的 ， 提取公因式 還 有符號方面的 錯誤 ；分解因式 時 ， 應(yīng) 先 觀 察是否有公因式可提 ， 公因式包括系數(shù) ， 錯 解忽 視 提 取系數(shù)的最大公 約 數(shù)；分解因式 還 要使分解后的每個因式都不能 再分解 正解 (1)20m3n 15m2n2 5m2n 5m2n(4m 3n 1) (2)4x2 16y2 4(x 2y)(x 2y) (3)m(a b) n(b a) m(a b) n(a b) (a b)(m n) (4) 3x2 18x 27 3(x2 6x 9) 3(x 3)2