《蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件6.2二元一次不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《蘇教版高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件6.2二元一次不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題.ppt（32頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組 2 了解二元一次不等式的幾何意義 ， 能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組 3 會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問題 ， 并能加以解決 第 2課時(shí) 二元一次不等式組與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題 【 命題預(yù)測(cè) 】 1 線性規(guī)劃是新增加的內(nèi)容 ， 在高考中不會(huì)單獨(dú)出現(xiàn) ， 往往會(huì)蘊(yùn)含在與其他學(xué)科 有關(guān)的問題之中 ， 大多都是容易題 ， 題目的形式多種多樣 ， 可以是填空題 ， 也 可以是解答題 2 高考主要考查如何表示二元一次不等式組的平面區(qū)域 ， 并且利用平面區(qū)域求最 值和解決實(shí)際問題 【 應(yīng)試對(duì)策 】 1 用圖解法解決線性規(guī)劃問題 ， 關(guān)鍵是分析題目的已

2、知條件 ， 找出約束條件和目 標(biāo)函數(shù) ， 可先將題目中的數(shù)量分類 ， 列出表格 ， 理清頭緒 ， 然后列出不等式組 (方程組 )尋求約束條件 ， 并就題目所述找到目標(biāo)函數(shù) 2 如果可行域是一個(gè)多邊形 ， 那么一般在其頂點(diǎn)處使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小 值 到底是哪個(gè)頂點(diǎn)為最優(yōu)解 ， 可有兩種確定方法：一是將目標(biāo)函數(shù)的直線平行 移動(dòng) ， 最先通過或最后通過的頂點(diǎn)便是；另一種方法是利用圍成可行域的直線的 斜率來判斷 特別地 ， 當(dāng)表示線性目標(biāo)函數(shù)的直線與可行域的某條邊平行時(shí) ， 其 最優(yōu)解可能有無數(shù)多個(gè) 3 若實(shí)際問題要求的最優(yōu)解是整數(shù)解 ， 而我們利用圖解法得到的解為非整數(shù)解 (近 似解 )， 此

3、時(shí)應(yīng)當(dāng)作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整 ， 其方法是以與線性目標(biāo)函數(shù)的直線的距離為依 據(jù) ， 在直線的附近尋求與此直線距離最近的整點(diǎn) ， 不要在用圖解法所得到的近 似解附近尋找 如果可行域中的整點(diǎn)數(shù)目不多 ， 可采用逐個(gè)檢驗(yàn)的辦法確定 4 由于解線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵步驟是在圖形上完成的 ， 所以 ， 作圖時(shí)應(yīng)盡可能準(zhǔn) 確 ， 圖上操作要盡可能規(guī)范 但考慮到作圖畢竟還是會(huì)有誤差 ， 假若圖上的最 優(yōu)點(diǎn)并不明顯時(shí) ， 不妨將幾個(gè)有可能是最優(yōu)點(diǎn)的坐標(biāo)都求出來 ， 然后逐一檢查 ， 從而作出結(jié)論 線性規(guī)劃是利用數(shù)形結(jié)合法解決實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題的最優(yōu)解 的一種方法 ， 主要是借助坐標(biāo)平面內(nèi)的直線以及直線所圍成的平面區(qū)域求 解

4、 因此 ， 準(zhǔn)確 、 規(guī)范的作圖是保證解題結(jié)果準(zhǔn)確的重要手段 【 知識(shí)拓展 】 1 解線性規(guī)劃應(yīng)用題的步驟： (1)轉(zhuǎn)化 設(shè)元 ， 寫出約束條件和目標(biāo)函數(shù) ， 從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的線性 規(guī)劃問題 (2)求解 解這個(gè)純數(shù)學(xué)的線性規(guī)劃問題 求解過程： 作圖 畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平面直線系中的任 意一條直線 l. 平移 將 l平行移動(dòng) ， 以確定最優(yōu)解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置 求值 解有關(guān)方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo) ， 再代入目標(biāo)函數(shù) ， 求出目標(biāo)函數(shù)的 最值 (3)作答 就應(yīng)用題提出的問題作出回答 1二元一次不等式 (組 )表示的平面區(qū)域 (1)二元一次不等式表示平面區(qū)域 一

5、般地 ， 直線 y kx b把平面分成兩個(gè)區(qū)域 ， y kx b表示直線上方的平面區(qū)域 ， y kx b表示直線 的平面區(qū)域 (2)選點(diǎn)法確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域 任選一個(gè) 的點(diǎn)； 檢驗(yàn)它的坐標(biāo)是否滿足所給的不等式； 下方 不在直線上 若適合 ， 則該點(diǎn) 即為不等式所表示的平面區(qū)域 ， 否則 ， 直線的另一側(cè)為不等式所表示的平面區(qū)域 (3)二元一次不等式組表示平面區(qū)域 不等式組中各個(gè)不等式表示平面區(qū)域的 部分 思考： 不等式 ykx b與 y kx b所表示的平面區(qū)域有何不同 ？ 提示： 不等式 ykx b表示的平面區(qū)域包括邊界直線 ， 此時(shí)邊界直線畫成實(shí)線 ， 而 ykx b表示的平

6、面區(qū)域不包括邊界直線 ， 此時(shí)邊界直線畫成虛線 所在的一側(cè) 公共 2 線性規(guī)劃中的基本概念 名 稱 定 義 約束條件 變量 x， y滿足的一次不等式組 目標(biāo)函數(shù) 欲求最大值或最小值所涉及的變量 x， y的線性函數(shù) 可行域 條件所表示的平面區(qū)域稱為可行域 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得 或 的可行解 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的 或 問題 最大值 最小值 最大值 最小值 約束 1 不等式 x 3y 70表示直線 x 3y 7 0_方的平面區(qū)域 答案： 上 2. 如右圖 ， 陰影部分表示的區(qū)域可用 二元一次不等式組表示為 . 答案 ： 3 點(diǎn) (3,1)和 ( 4,6)在直線 3x 2

7、y a 0的兩側(cè) ， 則 a的取值范圍是 _ 解析： 由題意知 (9 2 a)( 12 12 a) 0， 即 (a 7)(a 24) 0 7 a 24. 答案： 7 a 24 4 (鹽城市高三第一次調(diào)研考試 )設(shè)不等式組 ， 所表示的區(qū)域?yàn)?A， 現(xiàn)在區(qū)域 A中任意丟進(jìn)一個(gè)粒子 ， 則該粒子落在直線 y x上方的概率為 _ 解析： 由題知 ， 區(qū)域 A的面積為 4， 又因?yàn)閰^(qū)域 A內(nèi)在直線 y x上方區(qū)域 的面積為 3， 所以所求概率為 . 答案： 5 (2010江蘇省東臺(tái)中學(xué)高三數(shù)學(xué)診斷性試卷 )已知變量 x， y滿足約束條件 . 若目標(biāo)函數(shù) z ax y(其中 a0)僅在點(diǎn) (3,0)處取

8、得最大 值 ， 則 a的取值范圍是 _ 答案： 二元一次不等式組表示平面區(qū)域的判斷 (1)直線定界 ， 特殊點(diǎn)定域：注意不等式中不等號(hào)有無等號(hào) ， 無等號(hào)時(shí)直線畫成虛 線 ， 有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線 若直線不過原點(diǎn) ， 特殊點(diǎn)常選取原點(diǎn) (2)同號(hào)上 ， 異號(hào)下：即當(dāng) B(Ax By C)0時(shí) ， 區(qū)域?yàn)橹本€ Ax By C 0的上方 ， 當(dāng) B(Ax By C)0時(shí) ， 區(qū)域?yàn)橹本€ Ax By C 0的下方 【 例 1】 如圖所示 ， 試用關(guān)于 x， y的不等式組表示圖中陰影部分所示的平 面區(qū)域 思路點(diǎn)撥： 要寫出對(duì)應(yīng)圖形如何用相應(yīng)的不等式表示 出來 ， 只要在對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域中任取一個(gè)點(diǎn) ，

9、將其坐 標(biāo)分別代入對(duì)應(yīng)的直線的一般式方程的左邊 ， 再判斷 其符號(hào)即可寫出相應(yīng)的不等式組 解： 由所給的圖形可以看到 ， 點(diǎn) (-1,0)在相應(yīng)的平面區(qū)域內(nèi) ， 把點(diǎn) (-1， 0)的坐標(biāo)分別代入 x-y， x+2y-4， x+2中 ， 使得 x-y0， x+2y-40， 同時(shí)注意相應(yīng)的平面區(qū)域是否 包括邊界在內(nèi) ， 故圖中陰影部分所示的平面區(qū)域用不等式組表示為 變式 1： (2010南京市第九中學(xué)調(diào)研測(cè)試 )不等式組 所表示的平面 區(qū)域的面積等于 _ 解析： 畫出平面區(qū)域如圖 ， 由 得 x=1， 在 x+3y=4中令 x=0得 y= ， 在 3x+y=4中 令 x=0得 y=4. 平面區(qū)域

10、的面積為 . 答案： 1 在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最值 ， 必須先準(zhǔn)確地作出可行域 ， 再作出目標(biāo)函數(shù) 對(duì)應(yīng)的直線 ， 據(jù)題意確定取得最優(yōu)解的點(diǎn) ， 進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最值 2 最優(yōu)解的確定方法 線性目標(biāo)函數(shù) z ax by取最大值時(shí)的最優(yōu)解與 b的正負(fù)有關(guān) ， 當(dāng) b0時(shí) ， 最優(yōu) 解是將直線 ax by 0在可行域內(nèi)向上方平移到端點(diǎn) (一般是兩直線交點(diǎn) )的位置 得到的；當(dāng) b0時(shí) ， 則是向下方平移 【 例 2】 已知 x， y滿足不等式組 試求 z 300 x 900y取得最大值時(shí) 的坐標(biāo) ， 及相應(yīng)的 z的最大值 思路點(diǎn)撥： 先畫出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域 ， 然后將直線 300 x 9

11、00y 0平移 ， 觀 察對(duì)應(yīng)直線經(jīng)過該平面區(qū)域的什么點(diǎn)時(shí) ， 在橫 (或縱 )軸上的截距最 大 ， 同時(shí)注 意判定對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是否均為整數(shù) ， 否則應(yīng)適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行調(diào)整 ， 從而得出結(jié)論 解 ：如圖所示平面區(qū)域 AOBC，其中點(diǎn) A(0,125)，點(diǎn) B(150,0)，點(diǎn) C的坐標(biāo)由方程組 得 C .令 t=300 x+900y， 即 y= ，欲求 z=300 x+900y的最大值，即轉(zhuǎn)化為 求截距 的最大值，從而可求 t的最大值，因直線 y= 與直線 y=- x平行，故作 y=- x的平行線，可知過點(diǎn) A(0,125)時(shí)，對(duì)應(yīng)的直線的截距最大，所以，此時(shí)在 A處使 z 取最大值， =300

12、0+900 125=112 500. 變式 2： (南京市高三調(diào)研測(cè)試 )已知變量 x， y滿足 ， 則 z 2x y的最大值是 _ 解析： 在平面直角坐標(biāo)系中作出如圖中陰影部分所示的可行域 ， 在可行域中平行移動(dòng)直線 z=2x+y可知在 B處取得取大值 ， 又 B(3,3)， 所以 =2 3+3=9. 答案： 9 解決線性規(guī)劃實(shí)際應(yīng)用題的一般步驟： (1)認(rèn)真審題分析 ， 設(shè)出未知數(shù) ， 寫出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù) (2)作出可行域 (3)作出目標(biāo)函數(shù)值為零時(shí)對(duì)應(yīng)的直線 l. (4)在可行域內(nèi)平行移動(dòng)直線 l， 從圖中能判定問題有唯一最優(yōu)解 ， 或是有無 窮最優(yōu)解或無最優(yōu)解 (5)求出最優(yōu)解

13、 ， 從而得到目標(biāo)函數(shù)的最值 【 例 3】 制定投資計(jì)劃時(shí) ， 不僅要考慮可能獲得的盈利 ， 而且要考慮可能出現(xiàn)的虧 損 某投資人打算投資甲 、 乙兩個(gè)項(xiàng)目 ， 根據(jù)預(yù)測(cè) ， 甲 、 乙項(xiàng)目可能的最大盈 利率分別為 100%和 50%， 可能的最大虧損率分別為 30%和 10%， 投資人計(jì)劃投 資金額不超過 10萬元 ， 要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過 1.8萬元 ， 問投資人對(duì)甲 、 乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬元 ， 才能使可能的盈利最大 ？ 思路點(diǎn)撥： 根據(jù)條件列出不等式組作出可行域 ， 在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù) 對(duì)應(yīng)的直線 ， 求出取得最大值時(shí) ， 甲 、 乙兩個(gè)項(xiàng)目各需投資的錢數(shù) 解： 設(shè)

14、投資人分別用 x萬元 、 y萬元投資甲 、 乙兩個(gè)項(xiàng)目 ， 由題意知 目標(biāo)函數(shù) z=x+0.5y. 上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示 ， 陰影部分 (含邊界 )即可行域 作直線 l0： x+0.5y=0， 并作平行于直線 l0 的一組直線 x+0.5y=z， z R， 與可行 域相交 ， 其中有一條直線經(jīng)過可行域上的 M點(diǎn) ， 且與直線 x 0.5y 0的距離最 大 這里 M點(diǎn)是直線 x y 10和 0.3x 0.1y 1.8的交點(diǎn) 解方程組 得 x 4， y 6.此時(shí) z 1 4 0.5 6 7(萬元 ) 當(dāng) x 4， y 6時(shí) ， z取得最大值 投資人用 4萬元投資甲項(xiàng)目 ， 6萬元投資

15、乙 項(xiàng)目 ， 才能在確保虧損不超過 1.8萬元的前提下 ， 使可能的盈利最大 變式 3： 某公司計(jì)劃 2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)做總時(shí)間不超過 300分鐘的廣告， 廣告總費(fèi)用不超過 9萬元，甲、乙電視臺(tái)的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為 500元 /分鐘和 200元 /分鐘假定甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶 來的收益分別為 0.3萬元和 0.2萬元問該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺(tái)的 廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？ 解： 設(shè)公司在甲電視臺(tái)和乙電視臺(tái)做廣告的時(shí)間分別為 x分鐘和 y分鐘 ， 總收 益為 z元 ， 由題意得 目標(biāo)函數(shù)為 z 3 000 x 2 000

16、y. 二元一次不等式組等價(jià)于 作出二元一次不等式組所示的平面區(qū)域 即可行域 ， 如圖 所示 ， 作直線 l： 3 000 x+2 000y=0， 即 3x+2y=0.平移直線 l， 從圖中可知 ， 當(dāng)直線 l過點(diǎn) M時(shí) ， 目標(biāo)函數(shù)取得最大值 聯(lián)立 解得 x=100， y=200. 點(diǎn) M的坐標(biāo)為 (100,200) =3 000 x+2 000y=700 000(元 ) 答：該公司在甲電視臺(tái)做 100分鐘廣告 ， 在乙電視臺(tái)做 200分鐘廣告 ， 公司的收益 最大 ， 最大收益是 70萬元 . 1 解簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的方法稱為圖解法 ， 這種方法是用一族平行直線與某 平面區(qū)域相交 ， 研究直線在

17、 y(或 x)軸上截距的最大值或最小值 ， 從而求某 些二元一次函數(shù)的最值 2 解線性規(guī)劃問題 ， 正確畫出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求最優(yōu)解是重要的 一環(huán) ， 故要重視畫圖；而在求最優(yōu)解時(shí) ， 常把視線落在可行域的頂點(diǎn) 上 3 目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線束的斜率 ， 如果約束條件組中的某一約束條件 所對(duì)應(yīng)的直線斜率相等 ， 那么最優(yōu)解有可能有無數(shù)個(gè) 4 解線性規(guī)劃應(yīng)用題需從已知條件中建立數(shù)學(xué)模型 ， 然后利用圖解法解 決問題 在這個(gè)過程中 ， 建立模型需讀懂題意 ， 仔細(xì)分析 ， 適當(dāng)引變量 (參數(shù) )， 再利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決 由此可見 ， 解決應(yīng)用問題不僅需一定的數(shù)學(xué)知識(shí) ， 還需閱讀能力 、 抽 象概

18、括能力來分析問題 ， 最終解決問題 ， 這些能力更需日積月累 . 【 規(guī)律方法總結(jié) 】 【 例 4】 某運(yùn)輸公司接受了向抗洪搶險(xiǎn)地區(qū)每天至少運(yùn)送 180 t支援物資 的任務(wù)， 該公司有 8輛載重為 6 t的 A型卡車和 4輛載重為 10 t的 B型卡車， 有 10名駕駛員，每輛卡車每天往返的次數(shù)為 A型卡車 4次， B型卡車 3次， 每輛卡車每天往返的費(fèi)用為 A型卡車 320元， B型卡車 504元，請(qǐng)你給該 公司調(diào)配車輛，使公司所花的費(fèi)用最低 本題的主要變?cè)莾蓚€(gè)型號(hào)的車輛的數(shù)目，設(shè)為 x、 y，寫出不等式組 和目標(biāo)函數(shù)，但是本題的難點(diǎn)在于目標(biāo)函數(shù)并不是在區(qū)域邊界上取得最小 值，實(shí)際上本題的

19、可行域也不是一個(gè)平面區(qū)域，而是一些孤立的整點(diǎn)， 本 題就是要在這些孤立的整點(diǎn)中找到問題的最優(yōu)解本題最容易出錯(cuò)的就是 這個(gè)整點(diǎn)最優(yōu)解的尋找，方法不當(dāng)就會(huì)找錯(cuò)，可能出現(xiàn)各種錯(cuò)誤的結(jié)果 【 錯(cuò)因分析 】 目標(biāo)函數(shù) z=320 x+504y(x， y N) 作出上述不等式組所確定的平面區(qū)域，如圖陰影所示即可行域 結(jié)合圖象，可知當(dāng) z=320 x+504y在可行域內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點(diǎn)中，點(diǎn) (5,2)使 z=320 x+504y取得最小值， zmin=320 5+504 2=2 608. 每天調(diào)出 A型車 5輛， B型車 2輛，公司所花費(fèi)用最低 解： 設(shè)每天調(diào)出 A型卡車 x輛 ， B型卡車 y輛 ， 公司所

20、花的費(fèi)用為 z元 ， 則 【 答案模板 】 解決線性規(guī)劃實(shí)際問題，首先要確定影響整個(gè)問題的兩個(gè)主要變化因素， 把這兩個(gè)變化因素分別用兩個(gè)變量 x， y表示，然后根據(jù)題目的具體要求把 一些限制條件用關(guān)于 x， y的不等式表示出來，這樣就得到了問題的可行域， 再用 x， y表示出所要求解的目標(biāo)函數(shù)，最后求解這個(gè)線性規(guī)劃問題即 可但是很多線性規(guī)劃實(shí)際問題往往是解決整點(diǎn)最優(yōu)解問題，這就要根據(jù) 目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分析，如目標(biāo)函數(shù)是 z x 2y，要是找最小值， 那就得使 x盡可能小、 y盡可能大；要是找最大值，那就得使 x盡可能大、 y 盡可能小要學(xué)會(huì)這種定性分析法，再結(jié)合圖形進(jìn)行求解 . 【 狀元

21、筆記 】 1不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn) (橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都 是整 數(shù)的點(diǎn) )共有 _個(gè) 分析 ：先畫出不等式組所表示的平面區(qū)域 ， 再畫出網(wǎng)格 ， 數(shù)出整 數(shù)點(diǎn)即可 解析 ：如圖 ， 平面區(qū)域?yàn)殛幱安糠?所以有 (1,1)(1,2)(2,1)， 共 3 個(gè) 答案 ： 3 2已知 求： (1)z x2 y2 10y 25的最小值； (2)z 的范圍 分析： 先畫出不等式組表示的平面區(qū)域，對(duì)于 (1)， z x2 (y 5)2表示可行域內(nèi) 任一點(diǎn) (x， y)到定點(diǎn) M(0,5)的距離的平方；對(duì)于 (2)， z 2 表示可行域內(nèi)任一點(diǎn) ( x， y)到定點(diǎn) Q 連線的斜率的 2倍，知道 z表示 的幾何意義就容易求解了 解 ：作出可行域 ， 如圖所示 ， 并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo) A(1,3)， B(3,1)， C(7,9) (1)z x2 (y 5)2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn) (x， y)到定點(diǎn) M(0,5)的距離的平方 ， 過 M作直線 AC的垂線 ， 易知垂足 N在線段 AC上 ， 故 z的最小值是 |MN|2 . (2)z 2 表示可行域內(nèi)任一點(diǎn) (x， y)到定點(diǎn) Q 連 線的斜率 的 2倍 ， 因?yàn)?kQA ， kQB ， 故 z的范圍為 .