《蘇教版高三數(shù)學復習課件11.2直接證明與間接證明.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《蘇教版高三數(shù)學復習課件11.2直接證明與間接證明.ppt（33頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、了解直接證明的兩種方法 分析法和綜合法 /了解分析法和綜合 法的思考過程、特點 /了解間接證明的一種基本方法 反證法，了解 反證法的思想過程、特點 第 2課時 直接證明與間接證明 直接證明與間接證明是高考重點考查的內(nèi)容之一，每年都有涉及， 主要以解答題的形式出現(xiàn)，屬于中檔題 1分析法和綜合法是兩種思路相反的證明推理方法：分析法是倒推， 綜合法是順推分析法側(cè)重結(jié)論提供的信息，綜合法則側(cè)重條件提供 的信息，把兩者結(jié)合起來，全方位地收集、儲存、加工和運用題目提 供的全部信息，就能找到合理的解題思路因此，在實際解題時，常 常把綜合法和分析法結(jié)合起來運用，先以分析法為主尋求解題思路， 再用綜合法有條理地

2、表述解答或證明過程，有時還要把分析法和綜合 法結(jié)合起來交替使用，才能成功 【 命題預測 】 【 應(yīng)試對策 】 2掌握證明的方法、步驟，尤其是分析法，一定要在如何準確地表 達上下一番工夫，遇到證明問題時要進行具體的分析，合理地選擇好 解決問題的方法，不斷地提高解題能力 3使用反證法證明問題時，準確地作出假設(shè) (即否定結(jié)論 )是正確運用 反證法的前提，明確反證法的證題步驟，掌握一些常見命題的否定形 式，熟悉推出矛盾的幾種常見類型，是用好反證法的關(guān)鍵反證法適 宜證明帶有 “ 存在性 ” 、 “ 唯一性 ” 、 “ 至少有一個 ” 或 “ 至多有一 個 ” 等字樣的一些數(shù)學問題用反證法證明命題的一般步

3、驟為： (1)分清命題的條件和結(jié)論； (2)作出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè)； (3)由假設(shè)出發(fā) ， 應(yīng)用正確的推理方法 ， 推出矛盾的結(jié)果； (4)斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因 ， 則開始所作的假定不真 ， 于是原 結(jié)論成立 ， 從而間接的證明原命題為真 4用反證法證明時，當求證結(jié)論的否定有幾種不同的情況時，應(yīng)當一 一推出矛盾，切勿遺漏，反證法出現(xiàn)什么樣的矛盾，事先無法預料， 因此，用反證法證明時，應(yīng)隨時審視每個推理的結(jié)論是否與題設(shè)、定 義、公理、公式、法則矛盾，甚至自相矛盾等 反證法的應(yīng)用 (1)反 證法的理論依據(jù)是邏輯規(guī)律中的排除法：一個事物或者是 A 或者是 ， 二者必居其一 ， 反證法即證明結(jié)論

4、的反面錯誤 ， 從而結(jié)論正 確 (2)反證法可以證明的命題的范圍相當廣泛 ， 一般常見的如：唯 一性問題 ， 無限性問題 ， 肯定性問題 ， 否定性問題 ， 存在性問題 ， 不 等式問題 ， 等式問題 ， 函數(shù)問題 ， 整除問題 ， 幾何問題等 【 知識拓展 】 (3)反證法中的 “ 反設(shè) ” ， 這是應(yīng)用反證法的第一步 ， 也是關(guān)鍵一 步 “ 反設(shè) ” 的結(jié)論將是下一步 “ 歸謬 ” 的一個已知條件 “ 反設(shè) ” 是否正確 、 全面 ， 直接影響下一步的證明 做好 “ 反設(shè) ” 應(yīng)明確： 正確分清題設(shè)和結(jié)論； 對結(jié)論實施正確否定； 對結(jié)論否定后 ， 找出其所有情況 例如 ， A：大于； ：不

5、大于 不大于即小于或等于 ， 對這兩種情況 在下一步的 “ 歸謬 ” 中應(yīng)一一證明不成立 (4)反證法的 “ 歸謬 ” 它是反證法的核心 其含義是：從命題結(jié)論的 假設(shè) (即把 “ 反設(shè) ” 作為一個新的已知條件 )及原命題的條件出發(fā) ， 引用一 系列論據(jù)進行正確推理 ， 推出與已知條件 、 定義 、 定理 、 公理等相矛盾 的結(jié)果 (5)應(yīng)用反證法證明數(shù)學命題 ， 一般有下面幾個步驟： 第一步：分清命題 “ p q” 的條件和結(jié)論； 第二步：作出與命題結(jié)論 q相矛盾的假設(shè) 綈 q； 第三步：由 p和 綈 q出發(fā) ， 應(yīng)用正確的推理方法 ， 推出矛盾結(jié)果； 第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始

6、所作的假設(shè) 綈 q不真 ， 于是 原結(jié)論 q成立 ， 從而間接地證明了命題 p q為真 第五步：所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理、已知定 義、已知定理或已知條件矛盾，與臨時假設(shè)矛盾以及自相矛盾等各種情 況 1 直接證明 (1)定義：直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法 (2) ABC 本題結(jié)論 (3)綜 合法 定義 ： 從 條件出發(fā) ， 以已知的定義 、 定理 、 公理為依據(jù) ， 逐步推出 ， 直到推出要證明的結(jié)論為止 這種證明方法稱 為綜合法 已知 結(jié)論 推證過程： (4)分析法 定義：從 出發(fā) ， 追溯導致結(jié)論成立的條件 ， 逐步尋求結(jié)論成立 的 ， 直到使結(jié)論成立的條

7、件和已知條件或已知事實吻合為止 這種 證明方法稱為分析法 推證過程： 結(jié)論 條件 思考： 綜合法和分析法有什么區(qū)別與聯(lián)系 ？ 提示： 分析法的特點是：從 “ 未知 ” 看 “ 需知 ” ， 逐步靠攏 “ 已知 ” ， 其逐步推理 ， 實際上是尋求它的充分條件 ， 綜合法的特點是：從 “ 已知 ” 看 “ 可知 ” ， 逐步推向 “ 未知 ” ， 其逐步推理 ， 實際上是尋求它的必要 條件 ， 分析法與綜合法各有其特點 ， 有些具體的待證命題 ， 用分析法或 綜合法均能證明出來 ， 往往選擇較簡單的一種 2 間接證明 (1)間接證明 不是直接證明的方法通常稱為間接證明 (2)反證法 反證法的證明

8、過程可以概括為 “ ” ， 即 從否定的結(jié)論開始 ， 經(jīng)過正確的推理 ， 導致邏輯矛盾 ， 從而達到新的 否定 (即肯定原命題 )的過程 否定 推理 否定 1 否定 “ 自然數(shù) a， b， c中恰有一個偶數(shù) ” 時 ， 正確的反設(shè)為 ________ 答案： 自然數(shù) a， b， c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù) 2 若 2， 則 ________， 解析： 2. 答案： 2 3 若 a1， b 1， 則 a b的取值范圍是 ________ 解析： a b1 ( 1) 0. 答案： (0， ) 4 整數(shù) a， b都能被 5整除的否定是 ________ 答案： a， b中至少有一個不能被 5整除

9、5若 a b 0，則下列不等式中總成立的是 ________ 答案： 1 綜合法是 “ 由因?qū)Ч?” ， 它是從已知條件出發(fā) ， 順著推證 ， 經(jīng)過 一系列的中間推理 ， 最后導出所證結(jié)論的真實性 用綜合法證明題的 邏輯關(guān)系是： AB1B2 BnB(A為已知條件或數(shù)學定義 、 定理 、 公理等 ， B為要證結(jié)論 )， 它的常見書面表達是 “ ， ” 或 “ ” 2 綜合法是中學數(shù)學證明中常用方法 ， 其邏輯依據(jù)是三段論式的演 繹推理方法 【 例 1】 (南通市高三調(diào)研 )在四棱錐 P ABCD中 ， 四邊形 ABCD是梯形 ， AD BC ， ABC 90 ， 平面 PAB 平面 ABCD，

10、平 面 PAD 平面 ABCD. (1)求證 ： PA 平面 ABCD； (2)若平面 PAB平面 PCD l， 問：直線 l 能否與平面 ABCD平行 ？ 請說明理由 思路點撥： (1)證 PA AD， PA AB， (2)設(shè) ABCD T， 證 PT為 面 PAB與面 PCD的交線 (1)證明： 因為 ABC 90 ， AD BC， 所以 AD AB. 又平面 PAB 平面 ABCD， 且平面 PAB平面 ABCD AB， 所以 AD 平面 PAB， 所以 AD PA. 同理可得 AB PA. 由于 AB、 AD平面 ABCD，且 ABAD A，所以 PA 平面 ABCD. (2)解： 因

11、為梯形 ABCD中 AD BC， 所以直線 AB與直線 CD相交 ， 設(shè) ABCD T. 由 T CD， CD平面 PCD得 T 平面 PCD.同理 T 平面 PAB. 即 T為平面 PCD與平面 PAB的公共點 ， 于是 PT為平面 PCD與平面 PAB的交線 l.所以直線 l與平面 ABCD不平行 變式 1： (鹽城市高三調(diào)研考試 ) 如圖 ， 在四棱錐 PA B C D中 ， 側(cè)面 PAD 底面 ABCD， 側(cè)棱 PA PD， 底面 A B C D是直角梯形 ， 其中 BC AD， BAD 90 ， AD 3BC， O是 AD上一 點 (1)若 CD 平面 PBO， 試指出點 O 的位置

12、 ； (2)求證 ： 平面 PAB 平面 PCD. (1)解： 因為 CD 平面 PBO， CD平面 ABCD， 且平面 ABCD平面 PBO BO， 所以 BO CD.又 BC AD， 所以四邊形 BCDO為平行四邊形 ， 則 BC DO. 而 AD 3BC， 故點 O的位臵滿足 AO 2OD. (2)證明： 因為側(cè)面 PAD 底面 ABCD， AB底面 ABCD， 且 AB 交線 AD， 所以 AB 平面 PAD， 則 AB PD. 又 PA PD， 且 PA平面 PAB， AB平面 PAB， ABPA A， 所以 PD 平面 PAB.而 PD平面 PCD， 所以平面 PAB 平面 PCD

13、. 1 分析法也是中學數(shù)學證明問題的常用方法 ， 其主要過程是從結(jié)論 出發(fā) ， 逐步尋求使結(jié)論成立的充分條件 2 分析法是 “ 執(zhí)果索因 ” ， 它是從要證的結(jié)論出發(fā) ， 倒著分析 ， 逐 漸地靠近已知事實 用分析法證 “ 若 P則 Q” 這個命題的模式是： 為了證明命題 Q為真 ， 這只需證明命題 P1為真 ， 從而有 這只需證明命題 P2為真 ， 從而有 這只需證明命題 P為真 而已知 P為真 ， 故 Q必為真 【 例 2】 求證： logn(n 1)log(n 1)(n 2)， 其中 n N且 n1. 思路點撥： 為了便于比較 ， 應(yīng)等價變形為同底對數(shù) n1， lg n， lg(n 1)

14、， lg(n 2)均為正數(shù) 去分母 ， 則需證不等式 lg nlg(n 2)log(n 1)(n 2)， 其中 n N且 n1， 只需證 ， 只需證 lg nlg(n 2)log(n 1)(n 2)成立 變式 2： 已 知 a、 b (0， ),2ca b. 求證： (1)c2ab； (2)c aa b， a、 b0， 4c2(a b)2 a2 b2 2ab2ab 2ab 4ab. c2ab. (2)要證 c ac ， 只需證 a c ， 只需證 |a c| ， 只需證 |a c|2( )2， 只需證 a2 2ac c2a2 ab. a0， 只需證 2ca b， 這是題設(shè)條件 故原不等式成立

15、反證法是間接證明問題的一種常用方法 ， 其證明問題的一般步驟為： (1)反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立 ， 而設(shè)結(jié)論的反面 (否定命題 )成立； (否定結(jié)論 ) (2)歸謬：將 “ 反設(shè) ” 作為條件 ， 由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理 ， 導出矛盾 與已知條件 、 已知的公理 、 定義 、 定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾； (推導矛盾 ) (3)結(jié)論：因為推理正確 ， 所以產(chǎn)生矛盾的原因在于 “ 反設(shè) ” 的謬 誤 既然結(jié)論的反面不成立 ， 從而肯定了結(jié)論成立 (結(jié)論成立 ) 【 例 3】 若 x， y都是正實數(shù) ， 且 x y2， 求證 ： 2或 2中至少有一個成立 思路點撥： 本題結(jié)論以 “ 至少

16、 ” 形式出現(xiàn) ， 從正面思考有多種形式 ， 不 易入手 ， 故可用反證法加以證明 證明： 假設(shè) 2和 0且 y0， 所以 1 x2y， 且 1 y2x， 兩式相加 ， 得 2 x y2x 2y， 所以 x y2， 這與已知條件 x y2矛盾 ， 因此 2和 2中至少 有一個成立 變式 3： 設(shè) an是公比為 q的等比數(shù)列 ， Sn是它的前 n項和 . (1)求證 ： 數(shù)列 Sn不是等比數(shù)列 ； (2)數(shù)列 Sn是等差數(shù)列嗎 ？ 為 什么 ？ (1)證明：證法一：反證法： 若 Sn是等比數(shù)列 ， 則 S S1S3， 即 (1 q)2 a1a1(1 q q2) a10， (1 q)2 1 q q

17、2， 即 q 0與 q0矛盾 ， 故 Sn不是等 比數(shù)列 證法二： 只需證明 SnSn 2 . Sn 1 a1 q Sn， Sn 2 a1 qSn 1， SnSn 2 Sn(a1 qSn 1) (a1 qSn)Sn 1 a1(Sn Sn 1) a1an 10. (2)解： 當 q 1時 ， Sn是等差數(shù)列 當 q1時 ， Sn不是等差數(shù)列 ， 否則 S1， S2， S3成等差數(shù)列 ， 即 2S2 S1 S3. 2a1(1 q) a1 a1(1 q q2) a10， 2(1 q) 2 q q2， q q2， q1， q 0與 q0矛盾 . 1 分析法的特點是：從未知看需知 ， 逐步靠攏已知 2

18、綜合法的特點是：從已知看可知 ， 逐步推出未知 3 分析法和綜合法各有優(yōu)缺點 分析法思考起來比較自然 ， 容易尋 找到解題的思路和方法 ， 缺點是思路逆行 ， 敘述較繁；綜合法從條件 推出結(jié)論 ， 較簡捷地解決問題 ， 但不便于思考 實際證題時常常兩法 兼用 ， 先用分析法探索證明途徑 ， 然后再用綜合法敘述出來 4 應(yīng)用反證法證明數(shù)學命題 ， 一般分下面幾個步驟： 【 規(guī)律方法總結(jié) 】 應(yīng)用反證法證明數(shù)學命題 ， 一般有下面幾個步驟： 第一步：分清命題 “ p q” 的條件和結(jié)論； 第二步：作出與命題結(jié)論 q相矛盾的假設(shè) 綈 q； 第三步：由 p和 綈 q出發(fā) ， 應(yīng)用正確的推理方法 ， 推

19、出矛盾結(jié)果； 第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因在于開始所作的假設(shè) 綈 q不真 ， 于是原結(jié)論 q成立 ， 從而間接地證明了命題 p q為真 第三步所說的矛盾結(jié)果 ， 通常是指推出的結(jié)果與已知公理矛盾 、 與 已知定義矛盾 、 與已知定理矛盾 、 與已知條件矛盾 、 與臨時假定矛 盾以及自相矛盾等各種情況 【 例 4】 (本小題滿分 15分 )已知表中的對數(shù)值有且只有兩個是 錯誤的 (1)假設(shè)上表中 lg 3 2a b與 lg 5 a c都是正確的，試 判斷 lg 6 1 a b c是否正確，給出判斷過程； (2)試將兩個錯誤的對數(shù)值均指出來并加以改正 (不要求證明 ) x 1.5 3 5 6 7

20、 lg x 3a b c 2a b a c 1 a b c 2(a c) x 8 9 14 27 lg x 3(1 a c) 2(2a b) 1 a 2b 3(2a b) 規(guī)范解答： (1)由 lg 5 a c， 得 lg 2 1 a c. 3分 所以 lg 6 lg 2 lg 3 1 a c 2a b 1 a b c. 6分 滿足表中數(shù)值，也就是 lg 6在假設(shè)下是正確的 . 7分 (2)lg 1.5是錯誤的， 9分 正確值應(yīng)為 3a b c 1. 11分 lg 7是錯誤的， 13分 正確值應(yīng)為 2b c. 15分 1 在 ABC中 ， 三個內(nèi)角 A， B， C的對邊分別為 a， b， c，

21、 且 A， B， C 成等差數(shù) 列 ， a， b， c成等比數(shù)列 ， 求證 ABC為等邊三角形 分析 ：將 A， B， C成等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為符號語言就是 2B A C； A， B， C為 ABC的內(nèi)角 ， 這是一個隱含條件 ， 明確表示出來是 A B C ； a， b， c成等比數(shù)列 ， 轉(zhuǎn)化為符號語言就是 b2 ac. 證明： 由 A， B， C成等差數(shù)列 ， 有 2B A C. 因為 A， B， C為 ABC的內(nèi)角 ， 所以 A B C . 由 得 B .由 a， b， c成等比數(shù)列 ， 有 b2 ac. 由余弦定理 ， 可得 b2 a2 c2 2accos B a2 c2 ac， 即 a2 c2 ac ac， (a c)2 0. 因此 a c， 從而 A C， 因此得 A B C ， 所以 ABC為等邊三 角形 2 已知函數(shù) f(x) ax (a 1)， 證明方程 f(x) 0沒有負數(shù)根 分析 ：應(yīng)根據(jù)題目的特征和要求選擇證明方法 ， 本題用反證法入手 較為容易 ， 先假定存在 x0 0(x0 1)滿足 f(x0) 0， 然后推得結(jié)果與假設(shè) x0 0矛盾 證明 ：假設(shè)存在 x0 0(x0 1)滿足 f(x0) 0， 則 ax0 . 0 1， 0 1， 即 x0 2， 與假設(shè) x0 0矛盾 ， 故方程 f(x) 0沒有負數(shù)根