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1、數(shù) 學 分 析 電 子 講 義 黃 淮 學 院 數(shù) 學 科 學 系 數(shù) 學 分 析 第九章 定積分 第二節(jié) 微積分學基本公式 主講：師建國 二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù) 三、牛頓 萊布尼茲公式 一、引例 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 主 要 內 容 一、引例 在變速直線運動中 , 已知位置函數(shù) 與速度函數(shù) 之間有關系 : )()( tvts 物體在時間間隔 內經過的路程為 )()(d)( 122 1 TsTsttvTT 這種積分與原函數(shù)的關系在一定條件下具有普遍性 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù) 則變上限函數(shù) xa ttfx d)()( 證 : , ba

2、xxx 則有 x xxx )()( xxx ttfx d)(1 )(f )( xxx x xxx x )()(lim 0 )(lim)(lim 0 ff xx )(xf)(x 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定理 1. 若 )(xfy xbao y )(x x xx 說明 : 1) 定理 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的 . 2) 變限積分求導 : )( d)(dd xa ttfx )()( xxf 同時為 通過原函數(shù)計算定積分開辟了道路 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )( )( d)(dd xx ttfx )()()()( xxfxxf )( )( d)(d)(d d x a

3、 a x ttfttfx ttftxf x d)()( 0 例 1. 證明 在 內為單調遞增函數(shù) . 證 : 20 d)( ttfx ttfxfx x d()( 0 20 d)( ttfx ttfxf x d)()( 0)( tx 0 只要證 0)( xF 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 20 d)( ttfx xfx )()( )(xf )0( x 三、牛頓 萊布尼茲公式 )()(d)( aFbFxxfba ( 牛頓 - 萊布尼茲公式 ) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 證 : 根據定理 1, 故 CxxfxF xa d)()( 因此 )()(d)( aFxFxxfxa 得 記作 定

4、理 2. 函數(shù) , 則 1)定理 2揭示了微分與積分以及定積分與不定積分之 間的內在聯(lián)系，稱為微積分學基本定理。 4)一定要注意公式的條件 ,否則計算會發(fā)生錯誤。 如： 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2)關于 f(x)連續(xù)性的條件可以減弱為 可積性 。 3)用定理 2求定積分有一定的局限性。 說明 ： 例 2. 計算正弦曲線 的面積 . 解 : 0 dsi n xxA xcos 0 1 1 2 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 y o x xy sin 內容小結 ,)()(,)( xfxFbaCxf 且設 則有 1. 微積分基本公式 xxfba d)( 積分中值定理 )( abF )()( aFbF 微分中值定理 )( abf 牛頓 萊布尼茲公式 2. 變限積分求導公式 公式 目錄 上頁 下頁 返回 結束 作業(yè) 第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P309 2; 3 ; 4 (1) , (2) , (3) ; 5 數(shù) 學 分 析 電 子 講 義 黃 淮 學 院 數(shù) 學 科 學 系