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1、1 第三章 網(wǎng)絡(luò)方程的拓?fù)浞治?回路方程 3-1 割集方程與回路方程的拓?fù)浣?（ ZL是 L階非奇異系數(shù)方陣） 其中： Ilk是第 k回路的回路電流。若取基本回路，則 Ilk是 第 k連支的電流， Ulli是第 i回路的電壓源電壓； Zlik是行列 式 |Zl |的 ik余因式 。 s l i L 1i lik l lk UZZ 1I slll UIZ 割集方程 sttt IUY （ Yt是 b-n+1階非奇異系數(shù)方陣） s t i 1nb 1i tik t tk IY Y 1U 2 1、分母求法 其中： s t i 1nb 1i tik t tk IY Y 1U Tfbft CYCY T f

2、bft CYCY TT T fTTbf C)YC( 0 1 1 C TTTf 0 yyy)YC( jT2j1j jTTbf （ CfTT那些列對(duì)應(yīng)的支路能構(gòu)成一個(gè) 樹(shù)時(shí)，則 1成立） 當(dāng) T條支路構(gòu)成一樹(shù)時(shí)，行列式 |(Cf Yb)TT | 對(duì)于樹(shù)支導(dǎo)納 的乘積；若不構(gòu)成 樹(shù)時(shí)，則其值為 0。 T Y PNY t 所有樹(shù) 的網(wǎng)絡(luò) TYP: 樹(shù)支導(dǎo)納積 3 回路方程 其中： T fbfl BZBZ TT T fTTbf B)ZB( 0 1 1 B TTTf 0 ZZZ)ZB( jT2j1j jTTbf （ BfTT那些列對(duì)應(yīng)的支路能構(gòu)成一個(gè) 樹(shù)余時(shí)，則 1成立） 當(dāng) T條支路構(gòu)成一樹(shù)余時(shí)，行列式

3、 |(Bf Zb)TT | 對(duì)于連支阻 抗的乘積；若不構(gòu)成 樹(shù)余時(shí)，則其值為 0。 L Z PNZ l 所有樹(shù)余 的網(wǎng)絡(luò) LZP: 連支阻抗積 s l i L 1i lik l lk UZZ 1I T fbfl BZBZ 4 例 1： 求圖示拓?fù)鋱D的 |Yt |。 解： 621P1 643P 2 )425)(643)(621(PPP 321 )425)(4636262423161413( 245234235146126156124145134123135 選一個(gè)樹(shù)（ 1， 3， 5） 可得基本割集多項(xiàng)式： 425P 3 計(jì)算該多項(xiàng)式為基底的乘積 246456346236356246256 所以

4、， 有 641621651421541431321531t yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyY 654643632653652542432532 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy 5 例 2： 求圖示拓?fù)鋱D的 |Zl |。 解： 521P1 543P 2 )631)(543)(521(PPP 321 )631)(4535252423151413( 235125246234124236123156135146134136 選一個(gè)樹(shù)（ 1， 3， 5） 可得基本回路多項(xiàng)式： 631P 3 計(jì)算該多項(xiàng)式為基底的乘積 4 5 61 3 41 4 53 5 61 3 52

5、 5 6 所以， 可得 432421632321651641431631l zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzZ 654431541653652532521642 zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz 6 2、分子求法 其中： Ytik =(-1)i+k |Ytik| 即從 Yt中消去 i行 k列之后留下的矩陣行列式，其符號(hào) 則為 (-1)i+k 。 要從 Yt中消去 i行 k列，只要在 (Cf Yb CfT） 中消去 i行 k列即可。 s t i 1nb 1i tik t tk IY Y 1U T kfbifkitik CYC)1(Y T kfbif CYC 1T1

6、T T kf1T1Tbif C)YC( C T Y PNNCYC sksiTkfbif 的和 CTYP: 共有樹(shù) 的導(dǎo)納 積 Nsi ：將原網(wǎng)絡(luò)第 i個(gè)樹(shù)支短路所得網(wǎng)絡(luò)。 Nsk ：將原網(wǎng)絡(luò)第 k個(gè)樹(shù)支短路所得網(wǎng)絡(luò)。 7 分子 Ytik求法 （ 1）若 i=k時(shí)， C T Y PNN)1( sksiki 的和 Ytik =(-1)i+k |Ytik| s t i 1nb 1i tik t tk IY Y 1U （ 2）若 i k時(shí)， T Y PNY skt k k 的 C T Y PNN)1(Y sksikitik 的和 CTYP（ 共有樹(shù)導(dǎo)納積）的總符號(hào)由考察傳輸路徑來(lái)確定。 共有樹(shù)恰在指定

7、的輸入和輸出之間提供了這個(gè)傳輸路徑： 若兩樹(shù)支方向箭頭連接成頭對(duì)頭，則 CTYP的符號(hào)為正； 若兩樹(shù)支方向箭頭連接成頭對(duì)尾，則 CTYP的符號(hào)為負(fù)。 8 例： 圖示網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D以支路 2， 3， 5為樹(shù)， 求 解： 33t,32t,31t YYY 短路第一樹(shù)支（支路 2），得 Ns1 短路第二樹(shù)支（支路 3），得 Ns2 短路第三樹(shù)支（支路 5），得 Ns3 Ns1的樹(shù)： （ 3+4）（ 1+4+5） =13+14+34+35+45 Ns2的樹(shù)： Ns3的樹(shù)： （ 1+2）（ 1+4+5） （ 1+2）（ 3+4） =12+14+15+24+25 =13+14+23+24 )yyyy(Y 413

8、131t )yyyy(Y 424132t 4232413133t yyyyyyyyY 245124145235234123135134 T 2 4 51 2 42 3 52 3 41 2 3)2( T 235234123135134)3 245145235135)5( T 9 分子 Zlik求法 其中： Zlik =(-1)i+k |Zlik| 即從 Zl中消去 i行 k列之后留下的矩陣行列式，其符號(hào) 則為 (-1)i+k 。 要從 Zl中消去 i行 k列，只要在 (Bf Zb BfT） 中消去 i行 k列即可。 T kfbifkilik BZB)1(Z T kfbif BZB 1T1T T

9、kf1T1Tbif B)ZB( C L Z PNNBZB okoiTkfbif 的和 CLZP: 共有樹(shù) 余的阻 抗積 Noi ：將原網(wǎng)絡(luò)第 i個(gè)連支開(kāi)路所得網(wǎng)絡(luò)。 Nok ：將原網(wǎng)絡(luò)第 k個(gè)連支開(kāi)路所得網(wǎng)絡(luò)。 s l i L 1i lik l lk UZZ 1I 10 分子 Zlik求法 （ 1）若 i=k時(shí)， C T Y PNN)1( okoiki 的和 Zlik =(-1)i+k |Zlik| （ 2）若 i k時(shí)， L Z PNZ okl k k 的 C L Z PNN)1(Z okoikilik 的和 CLZP（ 共有連支阻抗積）的總符號(hào)由考察傳輸路徑來(lái)確定。 移去共有連支觀(guān)察 No

10、i與 Nok 第 i個(gè)連支與第 k個(gè)連支傳輸回路： 若兩連支方向箭頭連接成頭對(duì)尾，則 CLZP的符號(hào)為正； 若兩連支方向箭頭連接成頭對(duì)頭，則 CLZP的符號(hào)為負(fù)。 11 例： 圖示網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D以支路 2， 3， 5為樹(shù)， 求 解： 22l,21l ZZ 開(kāi)路第一連支（支路 1），得 No1 開(kāi)路第二連支（支路 4），得 No2 No1的連支集： 3， 4， 5 No2的連支集： 1， 2， 5 521l zZ 52122l zzzZ No1與 No2的共有連支： 5 移去共有連支 5，觀(guān)察第 1個(gè)連支與第 2個(gè)連支傳輸回路： 兩連支連接成頭對(duì)頭，故 CLZP的符號(hào)為負(fù)。 12 3-2 驅(qū)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)

11、的拓?fù)涔?在有限網(wǎng)絡(luò)中，零狀態(tài)情況下，某響應(yīng)的拉式變換 與某激勵(lì)的拉式變換之比。 1、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)： 2、 網(wǎng)絡(luò)的接入點(diǎn) )s(F )s(Y)s(H 鉗入 (Pliers):把網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)支路切斷造成一對(duì)端子。 驅(qū)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)： 激勵(lì)與響應(yīng)在同一端口 傳輸函數(shù)： 激勵(lì)和響應(yīng) 不 在同一端口 焊入 (S0lder):在網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)連接引線(xiàn)造成一對(duì)端子。 鉗入電壓源 鉗入電流源 焊入電壓源 焊入電流源 激勵(lì)接入： 13 3、 驅(qū)動(dòng)點(diǎn)函數(shù)的拓?fù)浯_定法 lk lkp kk U IY （ 1）鉗入法： 選一個(gè)樹(shù)，在某一連支鉗入電壓源，則 鉗入導(dǎo)納 l lkk Z Z LZPN LZPN ok 的 的 L Z

12、PN L Z PNZ ok p kk 的 的 鉗入阻抗 （ 2）焊入法： 選一個(gè)樹(shù)，在某一樹(shù)支焊入電流源，則 焊入阻抗 t t k ks kk Y YZ T Y PN T Y PN sk 的 的 焊入導(dǎo)納 T Y PN T Y PNY sk s kk 的 的 T Y PN T Y PN ok 的 的 L Z PN L Z PN sk 的 的 14 例： 求在第 1支路圖鉗入的驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗和驅(qū)動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納； 求在第 5支路圖焊入的驅(qū)動(dòng)點(diǎn)阻抗和驅(qū)動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納。 解： L Z PN L Z PNZ 1o p 11 的 的 543 5453524232514131 zzz zzzzzzzzzzzzzzzz T

13、Y PN T Y PNY 1op 11 的 的 T Y PN yyyyyyyyzyyy 542153214321 的 T Y PN T Y PNY 3s s 55 的 的 42324131 yyyyyyyy T Y PN 的 T Y PN T Y PNZ ss 的 的 3 55 LZPN zzzzzzzzzzzz 542532541531 的 15 3-3 傳輸函數(shù)的拓?fù)涔?li lkp ik U IY l lik Z Z LZPN C L Z PNN)1( okoiki 的 的和 p ik p ik Y 1Z ti tks ik I UZ 1、傳輸阻抗和傳輸導(dǎo)納的拓?fù)浯_定法 s ik s

14、ik Z 1Y t tik Y Y T Y PN C T Y PNN)1( sksiki 的 的和 C L Z PNN)1( LZPN okoi ki 的和 的 T Y PN C T Y PNN)1( sksiki 的 的和 16 2、基爾霍夫第三定律 D V U IY li lk ik 設(shè)有 b條支路 n個(gè)節(jié)點(diǎn)的無(wú)耦合網(wǎng)絡(luò)，其拓?fù)鋱D是連通的，則 網(wǎng)絡(luò)的傳輸導(dǎo)納 D為網(wǎng)絡(luò) N的連支阻抗積之和； 每個(gè)阻抗積的符號(hào)，要看所留回路中 Uli電壓升的方向 與 Ilk 的方向是否一致，若一致取正，反之取負(fù)。 1njb3j2j j 1j zzzzD nb,h3h2h h 1h zzzzV V求法：從網(wǎng)絡(luò)

15、N中移去 L-1個(gè)支路，使留下的子圖中只出 現(xiàn)一個(gè)回路，且包含 Uli與 Ilk 在內(nèi)。然后對(duì)所有能形成這 種情況的阻抗積求和。 17 例： 求圖示網(wǎng)絡(luò)的 解： 5453524232514131 zzzzzzzzzzzzzzzzD 5453524232514131 5 s 4 zzzzzzzzzzzzzzzz z U I s 1 s 4 U I, U I 拓?fù)鋱D如右。由 基爾霍夫第三定律 ，有 D V U I s 4 D為網(wǎng)絡(luò) N的連支阻抗積之和 V求法：從網(wǎng)絡(luò) N中 1個(gè)支路，使留下的子圖中只出現(xiàn)一個(gè)包 含 Us與 I4回路，則只能移去支路 5。所留回路中 Us與 I4方向不 一致，故取負(fù)。

16、 5zV 5453524232514131 543 s 1 zzzzzzzzzzzzzzzz zzz U I 18 3、基爾霍夫第四定律 D V I UZ ti tk ik 設(shè)有 b條支路 n個(gè)節(jié)點(diǎn)的無(wú)耦合網(wǎng)絡(luò)，其拓?fù)鋱D是連通的，則 網(wǎng)絡(luò)的傳輸阻抗 D為網(wǎng)絡(luò) N的樹(shù)支導(dǎo)納積之和； V求法：網(wǎng)絡(luò) Nsi與 Nsk移共有樹(shù)的導(dǎo)納積之和。 1jn3j2j j 1j yyyyD 2n,h3h2h h 1h yyyyV 注意式中： Iti為僅有的電流源，焊入于第 i樹(shù)支； Utk為第 k樹(shù)支電壓。 19 例： 圖示網(wǎng)絡(luò)，求 解： 542532432541531431521421 42 15 yyyyyy

17、yyyyyyyyyyyyyyyyyy yyz ss I Uz I Uz 1 11 5 15 , 拓?fù)鋱D如右。由 基爾霍夫第四定律 ，有 D為網(wǎng)絡(luò) N的樹(shù)支導(dǎo)納積之和 網(wǎng)絡(luò) Ns1： 42 yyV 542532432541531431521421 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyD D V I Uz s 5 15 網(wǎng)絡(luò) Ns5： 4535342524P 1s 2423141312P 5s 共有樹(shù)： 24 542532432541531431521421 5453435242 11 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyz 20 3-4 節(jié)點(diǎn)方程的拓

18、撲解 1、不含受控源情況 （ Yn是 n階非奇異系數(shù)方陣） ni T 1i n i k n nk IYY 1U nnn IUY 節(jié)點(diǎn)方程 T Y PNY n 所有樹(shù) 的網(wǎng)絡(luò) T bn AAYY TTTTTb A)AY( 當(dāng) 不含受控源時(shí) ，節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的行列式 |Yn| 為 21 分子求法 niT 1i n i k n nk IYY 1U T kbikin i k AYA)1(Y 1T1TTk1T1Tbiki A)YA()1( C T Y PNNAYA irkrTkbi 的和 Nkr ：將原網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn) k與參考節(jié)點(diǎn) r短路所得網(wǎng)絡(luò) Nir ：將原網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn) i與參考節(jié)點(diǎn) r短路所得網(wǎng)絡(luò) C T

19、 Y PNNY irkrn i k 的和 22 2、含受控源情況 (1) 不定導(dǎo)納矩陣和伴隨有向圖 在 網(wǎng)絡(luò)之外選一個(gè)參考點(diǎn)，網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)方程： nni n d IUY Yind稱(chēng)為不定導(dǎo)納矩陣 Tabai n d AYAY 例： 寫(xiě)出圖示網(wǎng)絡(luò)的 不定導(dǎo)納矩陣 ecce eccebecb eeeeebcb bbbb i n d gGGg0 )gG(GgG)gg(G )gg(g)gg(ggg 0GggG Y 23 不定導(dǎo)納矩陣的性質(zhì)： （ 1） Yind每行元素之和等于零，每列元素之和等于零，稱(chēng) 作“零和特性” 。 （ 2） Yind所有的一階代數(shù)余子式都相等。 （ 3） 去掉 Yind中的第 k行

20、和第 k列，則得到以節(jié)點(diǎn) k為參考節(jié) 點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣 Yn。 不定導(dǎo)納矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式 ： 1n 1k nk2n1n n2 n 2k 1k k221 n112 n 2k k1 i n d yyy yyy yyy Y 標(biāo)準(zhǔn)形式的不定導(dǎo)納矩 陣可導(dǎo)出伴隨有向圖。 24 (2) 不定導(dǎo)納矩陣的伴隨有向圖 ： 有 n個(gè)頂點(diǎn)的加權(quán)有向圖 。 頂點(diǎn)的標(biāo)號(hào)與網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)標(biāo)號(hào)一一對(duì)應(yīng)； 若元素 yij0， 則從頂點(diǎn) i到 j之間有一個(gè)有向邊，該邊的權(quán) 就是 yij 。 ecce eccebecb eeeeebcb bbbb i n d gGGg0 )gG(GgG)gg(G )gg(g)gg(ggg 0GggG

21、Y 例： 畫(huà)出所示 不定導(dǎo)納矩陣 的伴隨 有向圖 。 所對(duì)應(yīng)的不定導(dǎo)納矩陣 的伴隨有向圖如右圖所示。 25 (3) 有向樹(shù)矩陣 T(Gd) ： n階方陣 主對(duì)角線(xiàn)元素 tii為 Gd中節(jié)點(diǎn) i射出邊的度數(shù)； 非主對(duì)角線(xiàn)元素 tij為 Gd中從節(jié)點(diǎn) i指向節(jié)點(diǎn) j的邊數(shù)的負(fù)值。 2110 1311 1131 0112 )G(T d 例： 寫(xiě)出所示 伴隨有向圖的矩陣 T(Gd) 。 有向樹(shù)矩陣 T(Gd) 之第 i行的任一元素的代數(shù)余子式的數(shù)值 等于 Gd 之中以節(jié)點(diǎn) i為參考節(jié)點(diǎn)的有向樹(shù)的數(shù)目。 26 (4)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的行列式 |Yn |求法 T Y PTY rT rn 所有 的 節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣

22、的行列式，即 Yind的一階代數(shù)余子式， 等于以任一節(jié)點(diǎn) r為參考點(diǎn)的有向樹(shù)樹(shù)支導(dǎo)納積之和。 rT r )y(T ( ) Ynik 的求法 Ynik是 不定導(dǎo)納矩陣 Yind的二階代數(shù)余子式。 u un i k PY r,ik 2 T r,ik 2 )y(T rikT ,2 以節(jié)點(diǎn) r為參考點(diǎn) ,以 i,k為兩分離部分的 2-樹(shù)。 27 習(xí)題三 、 圖 3-1所示網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱D ， 以支路 2、 3、 5、 7為樹(shù) ， 求 |Yt|和余 因式 Yt22、 Yt21。 圖 3-1 2、寫(xiě)出圖 3-2所示網(wǎng)絡(luò)的 不定導(dǎo)納矩陣 ；作出 伴隨有向圖 Gd ； 求出有向樹(shù)矩陣 T(Gd)； 求出以節(jié)點(diǎn) 1為參考點(diǎn)的 有向樹(shù)的數(shù)目 。 圖 3-2