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1、1,線性代數(shù),2,數(shù)學(xué)好玩. 陳省身,但得此中味,勿為醒者傳. 李白,武林高手的最高境界:無招.,3,數(shù)學(xué)的好玩之處,主要在于數(shù)學(xué)中有些極具實(shí)用意義的內(nèi)容,包含了深刻的奧妙,發(fā)人深思,使人驚訝.,比如以數(shù)學(xué)家Euler命名的一個公式:,其中i是虛數(shù)單位,是圓周率,e是一個無理數(shù),4,主要內(nèi)容,第一章 行列式 第二章 矩陣 第三章 向量組的線性相關(guān)性 第四章 線性方程組 第五章 矩陣對角化 第六章 二次型,5,參考書目,同濟(jì)大學(xué) 線性代數(shù) 高等教育出版社 湘潭大學(xué) 線性代數(shù) 科學(xué)出版社 北京大學(xué) 高等代數(shù) 高等教育出版社（第三版）,6,線性代數(shù)簡史,線性代數(shù)是高等代數(shù)的一大分支。我們知道一次方程

2、叫做線性方程，討論線性方程及線性運(yùn)算的代數(shù)就叫做線性代數(shù)。,在線性代數(shù)中最重要的內(nèi)容就是行列式和矩陣。,行列式和矩陣在十九世紀(jì)受到很大的注意,而且寫了成千篇關(guān)于這兩個課題的文章。,向量的概念,從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看不過是有序三元數(shù)組的一個集合,然而它以力或速度作為直接的物理意義,并且數(shù)學(xué)上用它能立刻寫出物理上所說的事情。,7,線性代數(shù)學(xué)科和矩陣?yán)碚撌前殡S著線性系統(tǒng)方程系數(shù)研究而引入和發(fā)展的。,行列式的概念最早是由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出來的，他在 1683 年寫了一部叫做解伏題之法的著作，意思是 “ 解行列式問題的方法 ” ，書里對行列式的概念和它的展開已經(jīng)有了清楚的敘述。,歐洲第一個提出行列式

3、概念的是德國的數(shù)學(xué)家，微積分學(xué)奠基人之一萊布尼茲（Leibnitz,1693年）。,8,1750 年克萊姆（ Cramer）發(fā)表了求解線性系統(tǒng)方程的重要基本公式（既人們熟悉的 克萊姆法則）。,1764 年 ,貝佐特 (Bezout) 把確定行列式每一項(xiàng)的符號的手續(xù)系統(tǒng)化了。對給定了含 n 個未知量的 n 個齊次線性方程 , Bezout 證明了系數(shù)行列式等于零是這方程組有非零解的條件。,9,范德蒙( Vandermonde ) 是第一個對行列式理論進(jìn)行系統(tǒng)的闡述(即把行列式理論與線性方程組求解相分離)的人。并且給出了一條法則，用二階子式和它們的余子式來展開行列式。就對行列式本身進(jìn)行研究這一點(diǎn)而

4、言，他是這門理論的奠基人。,10,拉普拉斯 (Laplace) 在 1772 年的論文對積分和世界體系的探討中 , 證明了 Vandermonde 的一些規(guī)則 , 并推廣了他的展開行列式的方法 , 用 r 行中所含的子式和它們的余子式的集合來展開行列式，這個方法現(xiàn)在仍然以他的名字命名。,德國數(shù)學(xué)家雅可比（ Jacobi ）也于 1841 年總結(jié)并提出了行列式的系統(tǒng)理論。,11,另一個研究行列式的是法國最偉大的數(shù)學(xué)家 柯西 (Cauchy),他大大發(fā)展了行列式的理論，在行列式的記號中他把元素排成方陣并首次采用了雙重足標(biāo)的新記法，與此同時(shí)發(fā)現(xiàn)兩行列式相乘的公式及改進(jìn)并證明了 Laplace 的展開

5、定理。,12,高斯（Gauss）大約在 1800 年提出了高斯消元法并用它解決了天體計(jì)算和后來的地球表面測量計(jì)算中的最小二乘法問題。（這種涉及測量、求取地球形狀或當(dāng)?shù)鼐_位置的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支稱為測地學(xué)。）,雖然高斯由于這個技術(shù)成功地消去了線性方程的變量而出名，但早在幾世紀(jì)中國人的手稿中就出現(xiàn)了解釋如何運(yùn)用“高斯”消去的方法求解帶有三個未知量的三方程系統(tǒng)。在當(dāng)時(shí)的幾年里，高斯消去法一直被認(rèn)為是測地學(xué)發(fā)展的一部分，而不是數(shù)學(xué)。,13,矩陣代數(shù)的豐富發(fā)展，人們需要有合適的符號和合適的矩陣乘法定義。二者要在大約同一時(shí)間和同一地點(diǎn)相遇。,1848 年英格蘭的西爾維斯特(J.J.Sylvester)首先提出

6、了矩陣這個詞，它來源于拉丁語，代表一排數(shù)。,14,1855年矩陣代數(shù)得到了凱萊(Arthur Cayley)的工作培育。Cayley研究了線性變換的組成并提出了矩陣乘法的定義，使得復(fù)合變換ST的系數(shù)矩陣變?yōu)榫仃嘢和矩陣T的乘積。他還進(jìn)一步研究了那些包括矩陣逆在內(nèi)的代數(shù)問題。,15,數(shù)學(xué)家試圖研究向量代數(shù)，但在任意維數(shù)中并沒有兩個向量乘積的自然定義。,第一個涉及一個不可交換向量積（即 v w 不等于 w v ）的向量代數(shù)是由格拉斯曼(Hermann Grassmann) 在1844年他的線性擴(kuò)張論一 書中提出的。 他的觀點(diǎn)還被引入一個列矩陣和一個行矩陣的乘積中，結(jié)果就是現(xiàn)在稱之為秩數(shù)為 1 的矩

7、陣，或簡單矩陣。,19 世紀(jì)末美國數(shù)學(xué)物理學(xué)家吉布斯( Willard Gibbs )發(fā)表了關(guān)于向量分析基礎(chǔ) 的著名論述。,16,其后英國物理學(xué)家狄拉克 ( P. A. M. Dirac 1902-1984)提出了行向量和列向量的乘積為標(biāo)量。,矩陣的發(fā)展是與線性變換密切相連的。,現(xiàn)代向量空間的定義是由皮亞諾( Peano )于 1888 年提出的。,到 19 世紀(jì)它還僅占線性變換理論形成中有限的空間。,我們習(xí)慣的列矩陣和向量都是在 20 世紀(jì)由物理學(xué)家給出的。,17,二次世界大戰(zhàn)后隨著現(xiàn)代數(shù)字計(jì)算機(jī)的發(fā)展，矩陣又有了新的含義，特別是在矩陣的數(shù)值分析等方面。 由于計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，許多

8、實(shí)際問題可以通過離散化的數(shù)值計(jì)算得到定量的解決。于是作為處理離散問題的線性代數(shù)，成為從事科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)的科技人員必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。,18,阿貝爾(Abel) 與伽羅瓦(Galois),挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾(1802.8.51829.4.6)，以證明五次元方程的根式解的不可能性而聞名。,法國數(shù)學(xué)家厄米特（Hermite 18221901）在談到阿貝爾的貢獻(xiàn)時(shí)曾說過：“阿貝爾留下的工作，可以使以后的數(shù)學(xué)家足夠忙碌150年！”,在和阿貝爾同時(shí)期的一個法國少年讀到了他的著作，于是在不到20歲的時(shí)候在代數(shù)方程論推陳出新創(chuàng)立了一門新的數(shù)學(xué)理論伽羅瓦理論，這個發(fā)現(xiàn)者伽羅瓦還建立了群論的基礎(chǔ)理論。,19,法國數(shù)

9、學(xué)家伽羅瓦(1811.10.25-1832.5.31)，與阿貝爾并稱為現(xiàn)代群論的創(chuàng)始人。,伽羅瓦理論是當(dāng)代代數(shù)與數(shù)論的基本支柱之一。它直接推論的結(jié)果十分豐富：,3. 他解決了古代三大作圖問題中的兩個：“不能任意三等分角”，“倍立方不可能”。,2. 它漂亮地證明高斯的論斷：若尺規(guī)作圖能作出正p邊形，p為質(zhì)數(shù)且此同時(shí) 。,1. 它系統(tǒng)化地闡釋了為何五次以上之方程式?jīng)]有公式解，而四次以下有公式解。,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),20,第一章 行列式,第一節(jié) 二階與三階行列式,21,用消元法解二元線性方程組,一、二階行列式的引入,其中,是未知量，其它字母是已知量。,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王

10、文強(qiáng),22,方程組的解為,由方程組的四個系數(shù)確定.,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),23,由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排 稱列）的數(shù)表,定義,即,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),24,主對角線,副對角線,對角線法則,二階行列式的計(jì)算,其中元素 aij 的第一個下標(biāo) i 為行指標(biāo)，第二個下標(biāo) j 為列指標(biāo)。即 aij 位于行列式的第 i 行第 j 列。,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),25,若記,對于二元線性方程組,系數(shù)行列式,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),26,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),27,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),28,則二元線性方程組的解為,注

11、意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式.,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),29,例1,解,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),30,二、三階行列式,定義,記,（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),31,(1)沙路法,三階行列式的計(jì)算,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),32,(2)對角線法則,注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三 元素的乘積冠以負(fù)號,說明1 對角線法則只適用于二階與三階行列式,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),33,如果三元線性方程組,的系數(shù)行列式,利用三階行列式求解三元線性方程組,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),34,若記,

12、或,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),35,記,即,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),36,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),37,得,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),38,得,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),39,則三元線性方程組的解為:,是將D的第i列換成右端項(xiàng)得到。,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),40,例,解,按對角線法則，有,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),41,例3,解,方程左端,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),42,例4.利用對角線法則計(jì)算下列三階行列式：,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),43,（1）,（2）,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),44,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),45,例5 解線性方程組,解,由于方程組的系數(shù)行列式,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),46,同理可得,故方程組的解為:,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),47,二階和三階行列式是由解二元和三元線性方 程組引入的.,三、小結(jié),湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),48,思考題,湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng),49,思考題解答,解,設(shè)所求的二次多項(xiàng)式為,由題意得,得一個關(guān)于未知數(shù) 的線性方程組,又,得,