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1、第六章 專題研究二 專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 專題研究二 數(shù)列的綜合應(yīng)用 第六章 專題研究二 專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 例 1 已知等比數(shù)列 an的公比為 q， 前 n項(xiàng)的和為 Sn， 且 S3， S9， S6成等差數(shù)列 (1)求 q3； (2)求證： a2， a8， a5成等差數(shù)列 【 解析 】 (1)法一：由 S3， S9， S6成等差數(shù)列 ， 得 S3 S6 2S9， 若 q 1， 則 S3 S6 9a1,2S9 18a1， 由 a1 0， 得 S3 S6 2S9， 與題意不符

2、 ， q 1. 由 S3 S6 2S9， 專題講解 題型一 等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用 第六章 專題研究二 專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 得 a 1 ( 1 q 3 ) 1 q a 1 ( 1 q 6 ) 1 q 2a 1 ( 1 q 9 ) 1 q . 整理，得 q 3 q 6 2q 9 ，由 q 0 且 q 1 ，得 q 3 1 2 . 法二：由 S 3 ， S 9 ， S 6 成等差數(shù)列，得 S 9 S 3 S 6 S 9 . a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 (a 7 a 8 a 9 ) ， 移項(xiàng)得 a 4 a 5 a 6

3、 2(a 7 a 8 a 9 ) 0 ， (a 4 a 5 a 6 )(1 2q 3 ) 0. a 4 a 5 a 6 a 4 (1 q q 2 ) 0 ， 1 2q 3 0 ， q 3 1 2 . 第六章 專題研究二 專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) (2) 證明：法 一 ：由 (1) 知， a 8 a 2 q 6 1 4 a 2 ， a 5 a 2 q 3 1 2 a 2 ， a 8 a 2 a 5 a 8 ， 所以 a 2 ， a 8 ， a 5 成等差數(shù)列 法二：由 (1) 知， a 2 a 5 2a 8 a 2 (1 q 3 2q 6

4、) a 2 (1 1 2 2 1 4 ) 0 ，所以 a 2 ， a 8 ， a 5 成等差數(shù)列 探究 1 等差、等比數(shù)列的基本計(jì)算問題，要搞清基 本量之間的關(guān)系， 熟練掌握基本公式與性質(zhì)，正確 給出計(jì)算結(jié)果 第六章 專題研究二 專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 思考題 1 (2010 全國卷 ，文 ) 記等差數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和為 S n . 設(shè) S 3 12 ，且 2a 1 ， a 2 ， a 3 1 成等比數(shù)列，求 S n . 【解析】 設(shè)數(shù)列 a n 的公差為 d. 依題設(shè)有 2a 1 ( a 3 1 ) a 2 2 ， a 1

5、a 2 a 3 12 ， 即 a 2 1 2a 1 d d 2 2a 1 0 ， a 1 d 4. 解得 a 1 1 ， d 3 ，或 a 1 8 ， d 4. 因此 S n 1 2 n(3n 1) ，或 S n 2n(5 n) 第六章 專題研究二 專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 題型二 數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用 例 2 已知函數(shù) f(x) 對任意實(shí)數(shù) p ， q 都滿足： f(p q) f(p) f(q) ，且 f(1) 1 3 . (1) 當(dāng) n N * 時(shí)，求 f(n) 的表達(dá)式； (2) 設(shè) a n nf(n)(n N * ) ， S n

6、是數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)的和， 求證： S n 3 4 ； (3) 設(shè) b n nf n 1 f n (n N * ) ，數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)和為 T n ，試比較 1 T 1 1 T 2 1 T 3 1 T n 與 6 的大小 第六章 專題研究二 專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) f ( n 1) 1 3 f ( n ) ( n N * ) ， 數(shù)列 f ( n )( n N * ) 是以 f (1) 1 3 為首項(xiàng)， 1 3 為公比的等比數(shù)列， f ( n ) 1 3 ( 1 3 ) n 1 ，即 f ( n ) ( 1 3 ) n

7、 ( n N * ) (2) 由 (1) 知， a n n ( 1 3 ) n ， 則 S n 1 1 3 2 ( 1 3 ) 2 3 ( 1 3 ) 3 ( n 1)( 1 3 ) n 1 n ( 1 3 ) n ， 第六章 專題研究二 專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 1 3 S n 1 ( 1 3 ) 2 2 ( 1 3 ) 3 3 ( 1 3 ) 4 (n 1)( 1 3 ) n n( 1 3 ) n 1 ， 得： 2 3 S n 1 3 ( 1 3 ) 2 ( 1 3 ) 3 ( 1 3 ) n n( 1 3 ) n 1 1 3 1 (

8、 1 3 ) n 1 1 3 n( 1 3 ) n 1 1 2 1 ( 1 3 ) n n( 1 3 ) n 1 ， S n 3 4 3 4 ( 1 3 ) n n 2 ( 1 3 ) n . n N * ， S n 3 4 . 第六章 專題研究二 專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) (3) 由題知， b n nf ( n 1 ) f n 1 3 n ， 則 T n 1 3 n ( n 1 ) 2 n ( n 1 ) 6 ， 1 T n 6( 1 n 1 n 1 ) 1 T 1 1 T 2 1 T 3 1 T n 6(1 1 2 1 2 1 3 1

9、 3 1 4 1 n 1 n 1 ) 6(1 1 n 1 ) n N * ， 1 T 1 1 T 2 1 T 3 1 T n 6. 第六章 專題研究二 專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 探究 2 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：已知函數(shù)條件，解決 數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；已知數(shù) 列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、 求和方法對式子化簡變形 思考題 2 已知函數(shù) f(x) a x 的圖象過點(diǎn) (1 ， 1 2 ) ，且點(diǎn) (n 1 ， a n n 2 )(n N * ) 在 函數(shù) f

10、(x) a x 的圖象上 (1) 求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式； (2) 令 b n a n 1 1 2 a n ，若數(shù)列 b n 的前 n 項(xiàng)和為 S n ，求證： S n 5. 【解】 (1) 函數(shù) f(x) a x 的圖象過點(diǎn) (1 ， 1 2 ) ， a 1 2 ， f(x) ( 1 2 ) x . 第六章 專題研究二 專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 又點(diǎn) (n 1 ， a n n 2 )(n N * )( 在函數(shù) f(x) a x 的圖象上， 從而 a n n 2 1 2 n 1 ，即 a n n 2 2 n 1 . (2) 由 b n

11、 ( n 1 ) 2 2 n n 2 2 n 2n 1 2 n 得， S n 3 2 5 2 2 2n 1 2 n ， 則 1 2 S n 3 2 2 5 2 3 2n 1 2 n 2n 1 2 n 1 ， 兩式相減得： 1 2 S n 3 2 2( 1 2 2 1 2 3 1 2 n ) 2n 1 2 n 1 ， S n 5 2n 5 2 n ， S n bn成 立 【 思路分析 】 問題 (1)可先利用求導(dǎo)公式求得直線的斜率，進(jìn)而求出直線方 程，利用累加法即求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；問題 (2)是恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為數(shù) 列的單調(diào)性問題進(jìn)而求得數(shù)列的最小值 第六章 專題研究二 專 題 講 解 專

12、題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 【解析】 (1) 由 y x 2 x 2 lnx ，知 x 1 時(shí)， y 4. 又 y | x 1 (2x 1 1 x )| x 1 2 ， 直線 l 的方程為 y 4 2(x 1) ， 即 y 2x 2. 又點(diǎn) (n 1 ， a n 1 a n a 1 ) 在 l 上 ， a n 1 a n m 2n ，即 a n 1 a n 2n m(n N * ) a 2 a 1 2 m ， a 3 a 2 2 2 m ， a n a n 1 2 (n 1) m ， 各項(xiàng)相加，得 第六章 專題研究二 專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué)

13、（人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) a n 2(1 2 n 1) (n 1)m a 1 n 2 n nm m m n 2 (m 1)n. 通項(xiàng)公式 a n n 2 (m 1)n(n N * ) (2) m 為奇數(shù)， m 1 2 為整數(shù) . 由題意，知 a 5 是數(shù)列 a n 中的最小項(xiàng)， m 1 2 5. m 9. 令 f(n) b n n 3 (m 1)n 2 n 3 10n 2 ， 則 f (n) 3n 2 20n. 由 f (n)0 ， 得 n 20 3 (n N * ) ， 即為 n 20 3 (n N * ) 時(shí)， f(n ) 單調(diào)遞增 第六章 專題研究二 專 題 講 解 專 題

14、 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 即 bn 1bn成立 . n的取值范圍是 n 7， 且 n N*. 探究 3 本題把數(shù)列 、 導(dǎo)數(shù) 、 解析幾何等知識(shí)巧妙地融合在一起 ， 具有較強(qiáng) 的綜合性 ， 在解決數(shù)列知識(shí)與其他章節(jié)知識(shí)的綜合題時(shí) ， 要注意思維角度 與解題途徑的選擇 ， 提高數(shù)字變形轉(zhuǎn)換 、 推理等綜合能力 思考題 3 已知函數(shù) f(x) x2 4， 設(shè)曲線 y f(x)在點(diǎn) (xn， f(xn)處的切線與 x 軸的交點(diǎn)為 (xn 1,0)(n N*)， 其中 x1為正實(shí)數(shù) (1)用 xn表示 xn 1. 第六章 專題研究二 專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高

15、三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) (2) 若 x 1 4 ，記 a n lg x n 2 x n 2 ，證明數(shù)列 a n 成等比數(shù) 列，并求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式 【解】 (1) f (x) 2x ， 曲線 y f(x) 在點(diǎn) (x n ， f(x n ) 處的切線方程是 y f(x n ) f (x n )(x x n ) ， 即 y (x 2 n 4) 2x n (x x n ) ， 令 y 0 ，得 (x 2 n 4) 2x n (x n 1 x n ) ， 得 x 2 n 4 2x n x n 1 ，而 x n 0 ， x n 1 x n 2 2 x n . 第六章 專

16、題研究二 專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) (2) 由 x n 1 x n 2 2 x n ， 知 x n 1 2 x n 2 2 x n 2 ( x n 2 ) 2 2x n . 同理， x n 1 2 ( x n 2 ) 2 2x n ，故 x n 1 2 x n 1 2 ( x n 2 x n 2 ) 2 . 從而 lg x n 1 2 x n 1 2 2lg x n 2 x n 2 ， 即 a n 1 2a n ，故 a n 是等比數(shù)列， a n a 1 2 n 1 lg x 1 2 x 1 2 2 n 1 2 n 1 lg3 ， a n

17、 2 n 1 lg3. 第六章 專題研究二 專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 例題四 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 例 4 (2010湖北卷 )已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為 a(單位： m2)， 其中有部分舊住房需要拆除 當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定每年以當(dāng)年年初住 房面積的 10%建設(shè)新住房 ， 同時(shí)也拆除面積為 b(單位： m2)的舊住房 (1)分別寫出第一年末和第二年末的實(shí)際住房面積的表達(dá)式； (2)如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了 30%， 則每年拆除的舊住房面積 b是多少 ？ (計(jì)算時(shí)取 1.15 1.6) 第六章 專題研究二

18、專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 【解析】 (1) 第 1 年末的住房面積 a 11 10 b 1.1a b(m 2 ) ， 第 2 年末的住房面積 (a 11 10 b) 11 10 b a ( 11 10 ) 2 b(1 11 10 ) 1.21a 2.1b(m 2 ) (2) 第 3 年末的住房面積 a ( 11 10 ) 2 b(1 11 10 ) 11 10 b a ( 11 10 ) 3 b1 11 1 0 ( 11 10 ) 2 ， 第 4 年末住房面積為 a ( 11 10 ) 4 b1 11 10 ( 11 10 ) 2 ( 1

19、1 10 ) 3 ， 第六章 專題研究二 專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 第 5 年末住房面積為 a ( 11 10 ) 5 b1 11 10 ( 11 10 ) 2 ( 11 10 ) 3 ( 11 10 ) 4 1.1 5 a 1 1.1 5 1 1.1 b 1.6a 6b. 依題意可知， 1.6a 6b 1.3a ，解得 b a 20 ， 所以每年拆除的舊房面積為 a 20 (m 2 ) 思考題 4 某市 2003年共有 1萬輛燃油型公交車 有關(guān)部門計(jì)劃于 2004 年投入 128輛電力型公交車 ， 隨后電力型公交車每年的投入比上一年增

20、加 50%， 試問： (1)該市在 2010年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車 ？ 第六章 專題研究二 專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) (2) 到哪 一 年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公 交車總量的 1 3 ？ 【解析】 (1) 該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)量組 成等比數(shù)列 a n ， 其中 a 1 128 ， q 1.5 ， 則在 2010 年應(yīng)該投入的電力型公交車為 a 7 a 1 q 6 128 1.5 6 1458( 輛 ) 【 答案 】 (1)1458 (2)2011年底 第六章 專題研究二 專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) (2) 記 S n a 1 a 2 a n ， 依據(jù)題意，得 S n 10000 S n 1 3 于是 S n 128 ( 1 1.5 n ) 1 1.5 5000( 輛 ) 即 1.5 n 657 32 ，則有 n lg 657 32 lg1.5 7.5 ，因此 n 8. 所以，到 2011 年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該 市公交車總量的 1 3 . 第六章 專題研究二 專 題 講 解 專 題 訓(xùn) 練 高三數(shù)學(xué) （人教版） 高考調(diào)研 新課標(biāo)高考總復(fù)習(xí) 專題訓(xùn)練（ 2）