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1、專題五規(guī)律探索題 題 型 概 述 方 法 指 導(dǎo)規(guī)律探索型問(wèn)題也是歸納猜想型問(wèn)題,是指根據(jù)已知條件或題干所提供的若干特例,通過(guò)觀察、類比、歸納,發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象所具有的規(guī)律性的一類問(wèn)題.規(guī)律探索型問(wèn)題體現(xiàn)了“由特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法,規(guī)律探索型問(wèn)題大致可分為數(shù)式類規(guī)律探索問(wèn)題、圖形類規(guī)律探索問(wèn)題和直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律類,是中考的熱點(diǎn)題型,考查同學(xué)們創(chuàng)新能力.考查的題型既有選擇題、填空題,也有解答題,安徽中考連續(xù)6年都有考查,預(yù)計(jì)這類題仍然是2019年中考的熱點(diǎn). 題 型 概 述 方 法 指 導(dǎo)解決這類問(wèn)題的一般思路是通過(guò)對(duì)所給的具體的結(jié)論進(jìn)行全面、細(xì)致的觀察、分析、比較,從中發(fā)

2、現(xiàn)其變化的規(guī)律,并猜想出一般性的結(jié)論,然后再給出合理的證明或加以運(yùn)用.1.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)和把握規(guī)律.題目中呈現(xiàn)規(guī)律一般有三種主要途徑:(1)式與數(shù)的特征觀察.(2)圖形的結(jié)構(gòu)觀察.(3)通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單、特殊情況的觀察,再推廣到一般情況.2.規(guī)律探究的基本原則:(1)遵循類推原則,項(xiàng)找項(xiàng)的規(guī)律,和找和的規(guī)律,差找差的規(guī)律,積找積的規(guī)律.(2)遵循有序原則,從特殊開(kāi)始,從簡(jiǎn)單開(kāi)始,先找3個(gè),發(fā)現(xiàn)規(guī)律,再 驗(yàn)證運(yùn)用規(guī)律. 類 型 一 類 型 二 類 型 一 類 型 二類 型 一數(shù) 式 的 變 化 規(guī) 律例 1(2018安徽,18)見(jiàn)正文P9第3題類 型 三 類 型 一 類 型 二例 2(201

3、7安徽,19)【 閱 讀 理 解 】我們知道,1+2+3+n= ,那么12+22+32+n2結(jié)果等于多少呢?在圖1所示的三角形數(shù)陣中,第1行圓圈中的數(shù)為1,即1 2;第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為2+2,即22;第n行n個(gè)圓圈中數(shù)的和為 類 型 三 類 型 一 類 型 二【 規(guī) 律 探 究 】將三角形數(shù)陣型經(jīng)過(guò)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣型,觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)(如第n-1行的第1個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n-1,2,n),發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為.由此可得,這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為:3(12+22+32+n2)=.因此12+22+32+n2=. 【 解 決

4、 問(wèn) 題 】 類 型 三 類 型 一 類 型 二分 析 :【規(guī)律探究】將同一位置圓圈中的數(shù)相加即可,所有圈中的數(shù)的和應(yīng)等于同一位置圓圈中的數(shù)的和乘以圓圈個(gè)數(shù),據(jù)此可得,每個(gè)三角形數(shù)陣和即為三個(gè)三角形數(shù)陣和的 ,從而得出答案;【解決問(wèn)題】運(yùn)用以上結(jié)論,將原式變形為類 型 三 類 型 一 類 型 二解 :【規(guī)律探究】由題意知,每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為n-1+2+n=2n+1,由此可得,這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為:3(12+22+32+n2)【解決問(wèn)題】 類 型 三 類 型 一 類 型 二類 型 二圖 形 的 變 化 規(guī) 律例 3(2016安徽,18)(1)觀察下列圖形與等式的關(guān)系,

5、并填空:類 型 三 類 型 一 類 型 二(2)觀察下圖,根據(jù)(1)中結(jié)論,計(jì)算圖中黑球的個(gè)數(shù),用含n的代數(shù)式填空:1+3+5+(2n-1)+()+(2n-1)+5+3+1=.分 析 :(1)根據(jù)1+3+5+7=16可得出16=4 2;設(shè)第n幅圖中球的個(gè)數(shù)為an,列出部分an的值,根據(jù)數(shù)據(jù)的變化找出變化規(guī)律“an-1=1+3+5+(2n-1)=n2”,依此規(guī)律即可解決問(wèn)題;(2)觀察(1)可將(2)圖中的黑球分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,再結(jié)合(1)的規(guī)律即可得出結(jié)論. 類 型 三 類 型 一 類 型 二解 析 :(1)1+3+5+7=16=42,設(shè)第n幅圖中球的個(gè)數(shù)為

6、an,觀察,發(fā)現(xiàn)規(guī)律:a1=1+3=22,a2=1+3+5=32,a3=1+3+5+7=42,故an-1=1+3+5+(2n-1)=n2.(2)觀察圖形發(fā)現(xiàn):圖中黑球可分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,即1+3+5+(2n-1)+2(n+1)-1+(2n-1)+5+3+1=1+3+5+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+5+3+1=a n-1+(2n+1)+an-1=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1.答 案 :(1)4n2(2)2n+12n2+2n+1 類 型 三 類 型 一 類 型 二例 4(2012安徽,17)在由mn(mn1)個(gè)小正方形組成的矩形網(wǎng)格中,研

7、究它的一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形個(gè)數(shù)f,(1)當(dāng)m,n互質(zhì)(m,n除1外無(wú)其他公因數(shù))時(shí),觀察下列圖形并完成下表: 類 型 三 類 型 一 類 型 二猜想:當(dāng)m,n互質(zhì)時(shí),在mn的矩形網(wǎng)格中,一條對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形的個(gè)數(shù)f與m,n的關(guān)系式是(不需要證明);(2)當(dāng)m,n不互質(zhì)時(shí),請(qǐng)畫(huà)圖驗(yàn)證你猜想的關(guān)系式是否依然成立.分 析 :(1)通過(guò)題中所給網(wǎng)格圖形,先計(jì)算出25,34,對(duì)角線所穿過(guò)的小正方形個(gè)數(shù)f,再對(duì)照表中數(shù)值歸納f與m,n的關(guān)系式. (2)根據(jù)題意,畫(huà)出當(dāng)m,n不互質(zhì)時(shí),結(jié)論不成立的反例即可. 類 型 三 類 型 一 類 型 二解 :(1)如表:f=m+n-1(2)當(dāng)m,n不互質(zhì)時(shí)

8、,上述結(jié)論不成立,如圖.類 型 三 類 型 一 類 型 二 類 型 三類 型 三直 角 坐 標(biāo) 系 下 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 變 化 規(guī) 律例 5(2013安徽,18)我們把正六邊形的頂點(diǎn)及其對(duì)稱中心稱作如圖1所示基本圖的特征點(diǎn),顯然這樣的基本圖共有7個(gè)特征點(diǎn),將此基本圖不斷復(fù)制并平移,使得相鄰兩個(gè)基本圖的一邊重合,這樣得到圖2,圖3, 類 型 一 類 型 二 類 型 三(1)觀察以上圖形并完成下表:猜想:在圖(n)中,特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(用n表示);(2)如圖,將圖(n)放在直角坐標(biāo)系中,設(shè)其中第一個(gè)基本圖的對(duì)稱中心O 1的坐標(biāo)為(x1,2),則x1=;圖2013的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為. 類 型 一 類

9、 型 二 類 型 三分 析 :(1)觀察圖形,結(jié)合已知條件,得出將基本圖每復(fù)制并平移一次,特征點(diǎn)增加5個(gè),由此得出圖4中特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)為17+5=22個(gè),進(jìn)一步猜想出:在圖n中,特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)為:7+5(n-1)=5n+2. 類 型 一 類 型 二 類 型 三解 析 :(1)由題意,可知圖1中特征點(diǎn)有7個(gè);圖2中特征點(diǎn)有12個(gè),12=7+51;圖3中特征點(diǎn)有17個(gè),17=7+52;所以圖4中特征點(diǎn)有7+53=22個(gè);由以上猜想:在圖n中,特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)為:7+5(n-1)=5n+2.(2)如圖,過(guò)點(diǎn)O1作O1M y軸于點(diǎn)M, 類 型 一 類 型 二 類 型 三 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2

10、 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 82.(2018湖北武漢)將正整數(shù)1至2 018按一定規(guī)律排列如下表:平移表中帶陰影的方框,方框中三個(gè)數(shù)的和可能是 ( D)A.2 019 B.2 018C.2 016 D.2 013 1 2 3 4 5 6 7 8解 析 :相鄰三個(gè)整數(shù)的和是3的倍數(shù),所給出的選項(xiàng)不是3的倍數(shù)的不符合題意;表格中每一行8個(gè)數(shù),用所給選項(xiàng)除以3,再除以8,根據(jù)余數(shù)判斷平移后的三個(gè)數(shù)是否在一行,在一行的符合題意,得出答案.設(shè)中間的數(shù)為x,則這三個(gè)數(shù)分別為x-1,x,x+1.這三個(gè)數(shù)的和為3x,所以和是3的倍數(shù),又2 0193=673,673除以8的余數(shù)為1,

11、x在第1列(舍去);2 1083=672且余2,故排除;2 0163=672,672除以8的余數(shù)為0, x在第8列(舍去);2 0133=671,671除以8的余數(shù)為7, x在第7列,所以這三數(shù)的和是2 013,故選答案D. 1 2 3 4 5 6 7 83.(2018重慶B卷)下列圖形都是由同樣大小的黑色正方形紙片組成,其中第個(gè)圖形中有3張黑色正方形紙片,第個(gè)圖形中有5張黑色正方形紙片,第個(gè)圖形中有7張黑色正方形紙片,按此規(guī)律排列下去,第個(gè)圖形中黑色正方形紙片的張數(shù)為( B)A.11 B.13 C.15 D.17解 析 :根據(jù)第個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為21+1,第個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為22

12、+1,第個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為23+1,第n個(gè)圖形中小正方形的個(gè)數(shù)為2n+1,故第個(gè)圖形中 小正方形的個(gè)數(shù)為26+1=13,故選B. 1 2 3 4 5 6 7 84.(2015安徽)按一定規(guī)律排列的一列數(shù):21,22,23,25,28,213,若x,y,z表示這列數(shù)中的連續(xù)三個(gè)數(shù),猜測(cè)x,y,z滿足的關(guān)系式是xy=z.解 析 :首項(xiàng)判斷出這列數(shù)中,2的指數(shù)各項(xiàng)依次為1,2,3,5,8,13,從第三個(gè)數(shù)起,每個(gè)數(shù)都是前兩數(shù)之和;然后根據(jù)同底數(shù)的冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加,可得這列數(shù)中的連續(xù)三個(gè)數(shù),滿足xy=z,據(jù)此解答即可. 2 122=23,2223=25,2325=28,2528=213

13、, x、y、z滿足的關(guān)系式是:xy=z.故答案為xy=z. 1 2 3 4 5 6 7 85.(2018遼寧撫順)如圖,正方形AOBO2的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(0,2),O1為正方形AOBO2的中心;以正方形AOBO2的對(duì)角線AB為邊,在AB的右側(cè)作正方形ABO3A1,O2為正方形ABO3A1的中心;再以正方形ABO3A1的對(duì)角線A1B為邊,在A1B的右側(cè)作正方形A1BB1O4,O3為正方形A1BB1O4的中心;再以正方形A1BB1O4的對(duì)角線A1B1為邊,在A1B1的右側(cè)作正方形A1B1O5A2,O4為正方形A1B1O5A2的中心;按照此規(guī)律繼續(xù)下去,則點(diǎn)O2 018的坐標(biāo)為(21 010-2,

14、21 009). 1 2 3 4 5 6 7 8解 析 :由題圖可知,A1B上有點(diǎn)O2,A2B1上有點(diǎn)O4,A3B2上有點(diǎn)O6,可得點(diǎn)O2 018在A1 009B1 008上,即點(diǎn)O6的縱坐標(biāo)為點(diǎn)A1 009縱坐標(biāo)的一半,橫坐標(biāo)與點(diǎn)A1 009,B1 008的橫坐標(biāo)相同.設(shè)直線AA1交x軸于點(diǎn)C, RtCOA RtCBA1 RtCB1A2 RtCB2A3并且這些直角三角形均為等腰直角三角形,且后一個(gè)三角形和前一個(gè)三角形的相似比為2 1,已知A(0,2),OC=OA, A n的縱坐標(biāo)為2n+1,橫坐標(biāo)為2n+1-2,點(diǎn)O2 018為(21 010-2,21 009). 1 2 3 4 5 6 7

15、 86.(2018黑龍江龍東區(qū))如圖,已知等邊ABC的邊長(zhǎng)是2,以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形,得到第一個(gè)等邊AB1C1;再以等邊AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形,得到第二個(gè)等邊AB2C2;再以等邊AB2C2的B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形,得到第三個(gè)等邊AB3C3;,記B1CB2面積為S1,B2C1B3面積為 1 2 3 4 5 6 7 8解 析 :首先要明確,圖中所有的陰影直角三角形都是含30的直角三角形,它們都是相似的,對(duì)于每一個(gè)含30角的直角三角形,其三邊 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 87.(2018合肥廬陽(yáng)區(qū)一模)觀察下

16、面的點(diǎn)陣圖和相應(yīng)的等式,探究其中的規(guī)律:(1)認(rèn)真觀察,并在后面的橫線上寫出相應(yīng)的等式. 1 2 3 4 5 6 7 8(2)結(jié)合(1)觀察下列點(diǎn)陣圖,并在后面的橫線上寫出相應(yīng)的等式.1=12;1+3=22;3+6=32;6+10=42;10+15=52;(3)通過(guò)猜想,寫出(2)中與第n個(gè)點(diǎn)陣相對(duì)應(yīng)的等式 (2)由圖示可知點(diǎn)的總數(shù)是55=25,所以10+15=5 2. 1 2 3 4 5 6 7 88.(2018合肥包河區(qū)質(zhì)檢一)如圖,每個(gè)圖形可以看成由上下左右4個(gè)等腰梯形組成或者是外圍大正方形減去正中間的正方形(陰影部分),而每個(gè)等腰梯形又由若干個(gè)更小的全等正方形和全等等腰直角三角形組成,且等腰直角三角形的面積正好是小正方形面積的一 1 2 3 4 5 6 7 8根據(jù)上述規(guī)律,解答下列問(wèn)題: (2)第n個(gè)圖形的面積為:(用含n的式子填空);(3)上面的圖形還可看成一個(gè)大正方形再減去中間1個(gè)小正方形組再根據(jù)這個(gè)規(guī)律,完成下列問(wèn)題:按此規(guī)律,第n個(gè)圖形的面積為:() 2-2(用含n的式子填空);比較兩個(gè)猜想,寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論并驗(yàn)證. 1 2 3 4 5 6 7 8證明:右邊=2n 2+8n+6,左邊=2(1+2+3+n)+(n+n-1+n-2+1)+2n+2(n+3)=2n(n+1)+2n+2(n+3)=2n2+8n+6,左邊=右邊.