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1、三角形與全等三角形第五章圖形的性質(zhì)(一) 1三 角 形 的 邊 、 角 關(guān) 系三角形的任意兩邊之和_第三邊；三角形的內(nèi)角和等于_2三 角 形 的 分 類按角可分為_和_，按邊可分為_和_大于180直角三角形斜三角形不等邊三角形等腰三角形 3三 角 形 的 主 要 線 段 重 心 三 角 形 三 條 中 線 的 交 點 叫 做 三 角 形 的 重 心 4全 等 三 角 形 的 性 質(zhì) 和 判 定(1)性質(zhì)：全等三角形對應邊相等，對應角相等注意：全等三角形對應邊上的高、中線相等；對應角的平分線相等；全等三角形的周長、面積也相等(2)判定：_對應相等的兩個三角形全等(SAS)；_對應相等的兩個三角形

2、全等(ASA)；_對應相等的兩個三角形全等(AAS)；_對應相等的兩個三角形全等(SSS)；_對應相等的兩個直角三角形全等(HL)兩邊和夾角兩角和夾邊角和其中一角的對邊三邊斜邊和一條直角邊 1證 明 三 角 形 全 等 的 三 種 基 本 思 路(1)有兩邊對應相等時，找夾角相等或第三邊對應相等；(2)有一邊和一角對應相等時，找另一角相等或夾等角的另一邊相等；(3)有兩個角對應相等時，找一對邊對應相等另外，在尋求全等條件時，要善于挖掘圖形中公共邊、公共角、對頂角等隱含條件2證 明 幾 何 題 的 四 種 思 考 方 法(1)順推分析：從已知條件出發(fā)，運用相應的定理，分別或聯(lián)合幾個已知條件加以發(fā)

3、展，一步一步地去靠近欲證目標；(2)逆推分析：從欲證結(jié)論入手，分析達到欲證的可能途徑，逐步溝通它與已知條件的聯(lián)系，從而找到證明方法；(3)順推分析與逆推分析相結(jié)合；(4)聯(lián)想分析：對于一道與證明過的題目有類似之處的新題目，分析它們之間的相同點與不同點，嘗試把對前一道題的思考轉(zhuǎn)用于現(xiàn)在的題目中，從而找到它的解法 D C C C 5(2015丹 東 )如圖，在ABC中，ABAC， A30，E為BC延長線上一點， ABC與 ACE的平分線相交于點D，則 D的度數(shù)為()A15 B17.5 C20 D22.5A A 7(2015朝 陽 )一個三角形的兩邊長分別是2和3，若它的第三邊長為奇數(shù)，則這個三角形

4、的周長為_8(2014大 連 )如圖，ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，若BC4 cm，則DE_cm. 82 9(2014大連)如圖，點A，B，C，D在一直線上，ABCD，AE BF，CE DF.求證：AEBF.解： AE BF， A FBD， CE DF， D ACE， ABCD， ABBCCDBC，即ACBD，ACEBDF(ASA)， AEBF 10(2015沈 陽 )如圖，點E為矩形ABCD外一點，AEDE，連接EB，EC分別與AD相交于點F，G.求證：(1)EABEDC；(2) EFG EGF.解：(1)四邊形ABCD是矩形， ABDC， BAD CDA90， EAED， EAD

5、 EDA， EAB EDC，EABEDC(SAS)(2)EABEDC， AEF DEG， EFG EAF AEF， EGF EDG DEG， EFG EGF 三 角 形 的 三 邊 關(guān) 系 B 1c5 【 點 評 】 三角形三邊關(guān)系性質(zhì)的實質(zhì)是“兩點之間，線段最短”根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，已知三角形的兩邊a，b，可確定三角形第三邊長c的取值范圍|ab|cab. 對 應 訓 練 1(1)(2015青 海 )已知三角形兩邊的長分別是4和10，則此三角形第三邊的長可能是()A5 B6 C12 D16(2)(丹 東 模 擬 )長為9，6，5，4的四根木條，選其中三根組成三角形，選法有()A1種 B2種

6、C3種 D4種CC 三 角 形 的 內(nèi) 角 、 外 角 的 性 質(zhì) 【 例 2】(1)(鞍 山 模 擬 )如圖，把一塊含有30角( A30)的直角三角板ABC的直角頂點放在矩形桌面CDEF的一個頂點C處，桌面的另一個頂點F與三角板斜邊相交于點F，如果 140，那么 AFE()A50 B40 C20 D10D (2)一個零件的形狀如圖所示，按規(guī)定 A90， B和 C分別是32和21，檢驗工人量得 BDC148，就斷定這個零件不合格，請說明理由解：延長BD交AC于E. DEC是ABE的外角， DEC A B9032122.同理 BDC C DEC21122143148，這個零件不合格【 點 評 】

7、 有關(guān)求三角形角的度數(shù)的問題，首先要明確所求的角和哪些三角形有密切聯(lián)系，若沒有直接聯(lián)系，可添加輔助線構(gòu)建“橋梁” C 解： BPC是PCD的外角， BPC BDC，同理 BDC BAC， BPC BDC BAC 全 等 三 角 形 判 定 的 運 用 【 例 3】(1)(2015莆 田 )如圖，AE DF，AEDF，要使EACFDB，需要添加下列選項中的()AABCD BECBFC A D DABBC A (2)(遼 陽 模 擬 )如圖， B D，請?zhí)砑右粋€條件(不得添加輔助線)，使得ABCADC，并說明理由【 點 評 】 判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.

8、注意：AAA，SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的 夾角 對 應 訓 練 3(1)(2015泰 州 )如圖，ABC中，ABAC，D是BC的中點，AC的垂直平分線分別交AC，AD，AB于點E，O，F(xiàn)，則圖中全等三角形的對數(shù)是()A1對 B2對 C3對 D4對D (2)(盤 錦 模 擬 )如圖，已知點A，F(xiàn)，E，C在同一直線上，AB CD， ABE CDF，AFCE.從圖中任找兩組全等三角形；從中任選一組進行證明 運 用 全 等 三 角 形 的 性 質(zhì) 【例4】如圖，在ABC中，D是BC的中點，ED DF，求證：BECFEF.【

9、 點 評 】 利用中線加倍延長法，把BE，CF，EF集中在一個三角形中 ，利用三角形的兩邊之和大于第三邊來證遇到中點問題，一般分兩種解決辦法，一是“中線倍長法”，二是尋找中點作中位線 對 應 訓 練 4(2015黑 龍 江 )如圖，四邊形ABCD是正方形，點E在直線BC上，連接AE.將ABE沿AE所在直線折疊，點B的對應點是點B，連接AB并延長交直線DC于點F.(1)當點F與點C重合時如圖，易證：DFBEAF(不需證明)；(2)當點F在DC的延長線上時如圖，當點F在CD的延長線上時如圖，線段DF，BE，AF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明 解：(1)由折疊可得ABA

10、B，BEBE，四邊形ABCD是正方形， ABDCDF， BCE45， BEBF， AFABBF，即DFBEAF(2)圖的結(jié)論：DFBEAF；圖的結(jié)論：BEDFAF；圖的證明：延長CD到點G，使DGBE，連接AG，需證ABEADG， BAE DAG， AEB AGD， CB AD， AEB EAD， BAE BAE， BAE DAG， GAF DAE， AGD GAF， GFAF， BEDFAF；圖的證明：在BC上取點M，使BMDF，連接AM，需證ABMADF， BAM FAD，AFAM，ABE ABE， BAE EAB， MAE DAE， AD BE， AEM DAE， MAE AEM， MEMAAF， BEDFAF 18.留 心“邊 邊 角” 試 題 如 圖，已知D是ABC的邊BC上的一點，E是AD上的一點，EBEC， 1 2.求證： BAE CAE.錯 解 證 明 ： 在 AEB和 AEC中， AEAE，EBEC， 1 2，AEBAEC(SSA)， BAE CAE. 正 解 證 明 ： EB EC， 3 4.又 1 2， 1 3 2 4，即 ABC ACB， ABAC.在AEB和AEC中， EBEC， 1 2，ABAC，AEBAEC(SAS)， BAE CAE