《《線性微分方程》PPT課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《線性微分方程》PPT課件.ppt（69頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、9.4 線性微分方程我們將方程)()()( xRyxQyxPy (1)稱為二階線性微分方程 ( 關(guān)于 都是一次的 ) , y, y y若 R(x) = 0 , 則方程 0 yxQyxPy )()( (2)稱為二階線性齊次微分方程 .同樣如果 R(x) 0 , 稱方程 (1) 為二階線性非齊次微分方程 若 P(x) = p , Q(x) = q ( p , q 為常數(shù) )則方程 (1) 為 )( xRqypyy (3) )( xRqypyy (3)方程 (3) 稱為二階線性常系數(shù)微分方程 同樣地 , 如果 R(x) = 0 , 即0 qypyy (4)稱方程 (4) 為二階線性常系數(shù)齊次微分方程

2、 否則若 R(x) 0 ,稱方程 (3) 為二階線性常 系數(shù)非齊次微分方程 1 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)設(shè) P(x) , Q(x) , R(x) 在 a , b 上連續(xù) , 下面我們 討論方程 (1) , (2) 解的性質(zhì) 性質(zhì) 1 (齊次方程解的疊加性 ) ( 線性性質(zhì) )如果 y1(x) , y2(x) 是齊次方程 (2) 的解 ,則對(duì)任意常數(shù) c1 , c2 R , y(x) = c 1 y1(x)+c2 y2(x)也是方程 (2 ) 的解 證明, )()()( xycxycxy 2211 , )()()( xycxycxy 2211 因?yàn)?()( 221122112211 ycycxQ

3、ycycxPycyc )()( 1111 yxQyxPyc 02222 )()( yxQyxPyc )()()( xycxycxy 2211 是方程 (2) 的解 問(wèn)題: )()()( xycxycxy 2211 是否為方程 (2) 的通解 ?若 y1(x) 與 y2(x) 成線性關(guān)系 , )()()c( 1 xcyxycL 222 )()( xLyxy 21 即存在常數(shù) LR 使 )()(c 1 xycxLy 222 則 )()()( xycxycxy 2211 此時(shí) 不是方程 (2) 的通解 )()()( xycxycxy 2211 定義對(duì)于a , b上的兩個(gè)函數(shù) y1(x) , y2(x

4、) , 若其中之一是另一個(gè)的常數(shù)倍 , 即存在常數(shù) L 使 )()( xLyxy 21 則稱函數(shù) y1(x) , y2(x) 在 a , b 上線性相關(guān) , 否則稱 y1(x) , y2(x) 在 a , b 上線性無(wú)關(guān) 說(shuō)明: , cos , sin )( xyxy 32311 由于Lxxy xy 221 tan)( )( cos , sin xyxy 3231 在任意區(qū)間上都是線性無(wú)關(guān) )( ln , ln )( 02 231 xxyxy由于)()( xyxy 21 3 xyxy ln , ln 231在任一區(qū)間上都是線性相關(guān)的定理 1 (二階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu))如果 y1(x) , y

5、2(x) 是齊次方程 (2) 在 a , b 上的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解 , 則是齊次方程 (2) 在 a , b 上的通解 ( 這里 c 1 , c2 是任意常數(shù) ) )()()( xycxycxy 2211 (5) 定理 1 的結(jié)論可類似地推廣到 n 階線性齊次方程0111 yxayxayxay nnnn )()()( )()(6)定義對(duì)于a , b上的函數(shù) ),( , , )( , )( 2 xyxyxy n1則稱這 n 個(gè)函數(shù)在 a , b 上是 線性相關(guān)的 , 如果存在 n 個(gè)不全為零的常數(shù) 使在, , 2 nkkk1a , b 上有0 2211 )( )()( xykxykxyk n

6、n否則稱這 n 個(gè)函數(shù)在 a , b 上是線性無(wú)關(guān)的 定理 2 ( n 階線性齊次方程解的結(jié)構(gòu))如果函數(shù) 是齊次方程 (6) )( )()()( xycxycxycxy nn2211是方程 (6) 的通解 )(, ,)(, )( xyxyxy n21的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解 , 則說(shuō)明: (1) 線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理把方程的求解歸結(jié)為對(duì)方程的線性無(wú)關(guān)解的計(jì)算問(wèn)題 (2) 對(duì)于一般的變系數(shù)線性齊次方程 , 對(duì)線性無(wú)關(guān)解的計(jì)算仍是困難的 (3) 求解齊次方程0 yxQyxPy )()( (2)的方法:(a) 求出 (2) 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解 y1(x) , y2(x) ;(b) 寫(xiě)出通解)(

7、)()( xycxycxy 2211 例驗(yàn)證 是微分方程xey 1 0112 yxyxxy )()(的一個(gè)解 , 并求其通解 解將 代入方程得 ,xey 1 , xey 1 xey 1 0112 xxx exexxe )()( xey 1是方程的一個(gè)解 由于方程是二階線性齊次微分方程 , 故為求其通解 , 只需求一個(gè)與 y1 線性無(wú)關(guān)的解 y2 設(shè) 是方程的解 , 其中 u(x) 是待定函數(shù)xexuy )(2 由于, xx ueeuy 2 2 2x x xy u e u e ue 代入方程得0 uxu uxu xuu 1 積分得1cxu lnlnln xcu 1 由于只需取一個(gè)解 , 故取 c

8、1 = 1 ,于是有 xdxdu 1 再積分得2cxu ln取 c2 = 0 , 則有xu ln 所以 是原方程的一個(gè)解 , 且與xey x ln2xey 1線性無(wú)關(guān) .根據(jù)齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理知 , 方程的通解為xcecxy xx lne)( 21 下面討論非齊次方程 (1) 的解的結(jié)構(gòu)證明將函數(shù) 代入方程 (2) 有1 2y x y x( ) ( ) 1 2 1 2 1 2y x y x P x y x y x Q x y x y x( ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) 1 1 1y x P x y x Q x y x ( ) ( ) ( ) ( ) (

9、) 2 2 2y x P x y x Q x y x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 )()( xRxR性質(zhì) 2如果 是非齊次方程 (1)的任意1 2 y x y x( ), ( )兩個(gè)特解 ，則 是非齊次方程 (1)所對(duì)1 2y x y x( ) ( )應(yīng)的齊次方程 (2) 的解 進(jìn)一步分析：若 是非齊次方程 (1)的任意一個(gè)解y x( ) 是非齊次方程 (1) 的一個(gè)任意取定的特解py x( )根據(jù)性質(zhì) 2 ， 是齊次方程 (2)h py x y x y x( ) ( ) ( ) 的解，即非齊次方程 (1)的任意一個(gè)解都可表示為非齊次方程 (1) 的任意一個(gè)取定的特解與其對(duì)應(yīng)的

10、齊次方程（2）的某一解的和 。p hy x y x y x( ) ( ) ( ) 從而有反之，容易驗(yàn)證 p hy x y x y x( ) ( ) ( ) 也一定是非齊次方程 (1) 的解 定理 ( 非齊次方程解的結(jié)構(gòu))其中 c 1 , c2 是任意常數(shù) 如果 y1(x) , y2(x) 是方程 (1) 對(duì)應(yīng)的齊次方程 (2)的任一特解 , 的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解 , py x( )是非齊次方程 (1) 則是非齊次方程 (1) 的通解， 1 1 2 2py x y x c y x c y x ( ) ( ) ( ) ( ) 非齊次方程)()()( xRyxQyxPy 的求解方法:(1) 求出齊

11、次方程0 yxQyxPy )()(的任意兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解 y1(x) , y2(x) ;(2) 求出非齊次方程)()()( xRyxQyxPy 的一個(gè)特解 py x( )(3) 寫(xiě)出非齊次方程的通解1 1 2 2py x y x c y x c y x ( ) ( ) ( ) ( ) 例設(shè) y1(x) , y2(x) 和 y3(x) 都是二階線性非齊次)()()( xRyxQyxPy 微分方程 的解 , 且)()( )()( xyxy xyxy 13 12 常數(shù) ,求證: )()()()()( xyc xycxyccxy 32211211 是該方程的通解 , 其中 c1 , c2 是任意常數(shù)

12、 .解因?yàn)?()( 1321211 yyc )yycyxy 由于 是非齊次方程的解 , 所以321 y, y , y 1312 yyyy , 是其對(duì)應(yīng)齊次方程的解 根據(jù)非齊次方程解的結(jié)構(gòu)定理知)()()()()( xyc xycxyccxy 32211211 )()( 1321211 yyc yycy 是非齊次方程的通解由于)()( )()( xyxy xyxy 13 12 常數(shù) ,1312 yy, y y 解 線性無(wú)關(guān) . 性質(zhì) 4 ( 非齊次方程解的疊加原理 )如果函數(shù) y1(x) 和 y2(x) 分別是二階線性非齊次方程)()()( xfyxQyxPy 1和)()()( xfyxQyxP

13、y 2的解 ,則 是方程 xyxyxy )()()( 21 )()()()( xfxfyxQyxPy 21 的解 2 二階線性常系數(shù)微分方程考慮二階線性常系數(shù)方程)( xfqypyy (7)的求解問(wèn)題 (1) 二階線性常系數(shù)齊次方程的求解設(shè)齊次方程0 qypyy (8)其中 p , q 為常數(shù) 下面考慮求 (8) 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解設(shè)方程 (8) 有形式 的解 , xey 代入方程 (8) 有 02 xxx qeepe 即02 xeqp )( 待定常數(shù) 應(yīng)滿足方程02 qp (9)方程 (9) 稱為齊次方程 (8) 的特征方程 為求方程 (8) 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解 , 需分別對(duì)特征方程 (9

14、) 的情況進(jìn)行討論 (a) 如果特征方程 (9) 有兩個(gè)不同的實(shí)根 )( 042 qp設(shè) 是特征方程 (9) 的根 , 則R21 , xx ey ey 21 21 ,是方程 (8) 的解 .由于xxeeyy 2121 常數(shù) ,xx ey ,ey 21 21 是線性無(wú)關(guān)解 ,所以方程 (8) 的通解 ececxy xx 21 21 )(b) 如果特征方程 (9) 有兩個(gè)不同的復(fù)根)( 042 qp設(shè)兩個(gè)復(fù)根 : , iba , iba 21 則有解 ey xiba )( 1 )sin(cos)( bxibxeee ey axibxaxxiba 2 )sin(cos bxibxeax ibxax

15、ee 為了獲得方程 (8) 的兩個(gè)實(shí)線性無(wú)關(guān)解 , 利用性質(zhì)1 知bxeeey axxx cos)( 21211 bxeeeiy axxx sin)( 21212 都為 (8) 的解并且 y1 , y2 是 (8) 的實(shí)函數(shù)解 , 同時(shí)是線性無(wú)關(guān)的 .所以方程 (8) 的通解 bxecbxecxy axax sincos)( 21 )sin(cos)( bxibxeee ey axibxaxxiba 1 )sin(cos)( bxibxeee ey axibxaxxiba 2 (c) 如果特征方程 (9) 有相等的實(shí)根)( qp 42 此時(shí)根, p221 于是xpx eey 21 1 是方程

16、(8) 的解為了獲得 (8) 的另外一個(gè)與 y1(x) 線性無(wú)關(guān)的解 , 采用常數(shù)變易法 )()()( xyxcxy 12 設(shè) (8) 有形如 的解 , 其中c(x) 為待定函數(shù) .則)()()()()( xyxcxyxcxy 112 )()()()()()()( xyxcxyxcxyxcxy 1112 2 代入方程有 )()()()()()( xyxcxyxcxyxc 111 2 0111 )()()()()()( xyxqcxyxcxyxcp )()()()()( xcxpyxyxyxc 111 2 0111 )()()()( xqyxpyxyxc )()()()()( xcxpyxyxy

17、xc 111 2 pxy xyxc xc )( )()( )( 112 積分得pxxyxc )(ln)(ln 12 121 pxpxpx eexyexc )()( xxc )(所以 是方程 (8) 的解 , 且與 y1(x)xxexy 12 )(線性無(wú)關(guān) 所以方程 (8) 的通解xxx excc xececxy 111 2121 )()( 計(jì)算齊次方程 (8) 的通解的方法: 0 qypyy 設(shè)齊次方程為(1) 寫(xiě)出特征方程02 qp(2) 根據(jù)特征方程的情況寫(xiě)出方程的通解(a) 有兩個(gè)不同的實(shí)根: 21 通解: ececxy xx 21 21 )(b) 有一對(duì)共軛復(fù)根: iba 21,通解:

18、 bxecbxecxy axax sincos)( 21 (c) 有兩個(gè)相等的實(shí)根: 21 通解: xxx excc xececxy 111 2121 )()( 例求方程 的通解 096 yyy 解特征方程0962 特征根321 , ( 二重根 )所以方程的通解xexccxy 321 )()(例求方程 的通解 086 yyy 解特征方程086 2 特征根42 21 ,所以方程的通解 ececxy xx 4221 )( 解特征根 i 321 ,所以方程的通解 xcxcxy 33 21 sincos)( 例求方程 滿足初始條件 09 yy 3000 )()( y , y的特解 特征方程092 由,

19、 c y 000 1 )(由13330 22 c c y )(又 xcxcxy 3333 21 cossin)( 所以特解 xxy 3sin)( 例一圓柱形浮體半徑為 0.25 m , 在水中浮動(dòng) . 設(shè)它的對(duì)稱軸始終垂直于水面 , 且水面是平靜的 .今將它輕輕按下再放開(kāi) , 浮體作周期 2 秒的上下震動(dòng) , 設(shè)忽略阻力 , 求浮體的質(zhì)量 解 s 0h s建立坐標(biāo)系如圖所示 , 原點(diǎn)O 為浮體平衡時(shí)浸水線的位置 當(dāng)浮體下浮位移 s 時(shí), ghgsf 22 250250 ).().( 浮力由牛頓第二定律得原理知: 由阿基米德 ).().( ghgsmgdt sdm 2 222 250250 由于

20、平衡時(shí) , , ghmg 2250 ).(所以有g(shù)sdt sdm 2 22 250 ).(即0250 2 2 sm gdt sd2 ).( ( 二階線性齊次方程 )特征根: img 25021 ., 特征方程: , m g 0250 22 ).( 方程的通解1 20 25 0 25g gs c t c tm msin( . ) cos( . ) 此時(shí)的運(yùn)動(dòng)周期mgT 250 2.現(xiàn)由 T = 2 , gm 2250 ).(所以有 (2) 二階線性常系數(shù)非齊次方程的求解設(shè)非齊次方程)( xfqypyy ( p , q 常數(shù) ) (10)從非齊次方程解的結(jié)構(gòu)理論知 , 現(xiàn)只需討論求方程 (10)

21、的一個(gè)特解的方法 下面介紹用待定系數(shù)法求方程 (10) 的特解的方法(a) , xPexf nx )()( 為實(shí)常數(shù) , Pn(x) 為 n 次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式設(shè) (10) 有形式 的解 , 其中 Q(x)xQexy x )()( 是一待定多項(xiàng)式 由)()()( xQeexQxy xx xexQxQ )()( )()()()()( xQxQexQxQexy xx )()()( xQxQxQe x 22 代入方程有 )()()( xQxQxQe x 22 xexQxQp )()( )()( xPexQqe nxx 整理得)()()()()()( xPxQqpxQpxQ n 22 (11) 1) 如果

22、 不是特征方程 的根02 qp, qp 02 則取nnnnn bxbxbxbxQxQ 1110)()(其中 為待定系數(shù) nn b, b, b, b 110 ,)()()()()()( xPxQqpxQpxQ n 22 (11)代入 (11) 式確定 使 nn b, b, b, b 110 , xQexy nx )()( 是方程 (10) 的解( 不是特征根情形的特解形式 ) 2) 如果 是特征方程 的單根 02 qp 0202 p , qp則此時(shí) , 為使 (11) 式的左邊為一 n 次多項(xiàng)式 , 代入 (11) 式確定 使 nn b, b, b, b 110 , xQxexy nx )()(

23、 是方程 (10) 的解 . ( 是單根情形的特解形式 )()( xxQxQ n可取 3) 如果 是特征方程 的二重根 .02 qp 0202 p , qp則此時(shí) , 為使 (11) 式的左邊為一 n 次多項(xiàng)式 , xQexxy nx )()( 2是方程 (10) 的解( 是二重根情形的特解形式 )代入 (11) 式確定系數(shù) 使nn b, b, b, b 110 ,)()( xQxxQ n2可取 綜合以上結(jié)論知: xQexxy nxk )()( 其中 為待定 n nnnnn bxbxbxbxQ 1110)(次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式 ,0 , 不是特征根1 , 是單根2 , 是二重根k = )( xPeq

24、ypyy nx ( Pn(x) 為 n 次實(shí)多項(xiàng)式 )的特解形式為 二階線性常系數(shù)非齊次方程 例求方程 的通解 xexyyy 22644 )( 解特征方程0442 特征根221 , ( 二重根 )所以齊次方程的通解: xexccxy 2 21 )()( 先求齊次方程 的通解044 yyy 再求非齊次方程的一個(gè)特解由, exxf x226 )()( 是特征方程的二重根 ,故可設(shè)非齊次方程的特解為xexbbxxy 2 102 )()( 此時(shí)xexbxbbxbxy 2121030 2232 )()( xebxbbxbbxbxy 210121030 2684124 )()()( 代入方程整理得2626

25、 10 xbxb令 , 66 0b 22 1 b解得11 10 b b ,所以求得方程的一特解: xexxxy 223 )()( 由此求得原方程的通解xx exccexxxy 221223 )()()( 例設(shè) f (x) 為連續(xù)函數(shù) , 且滿足方程 xx dttftxexf 02 )()()(求 f (x) 解原方程可表示為 xx x dtttfdttfxexf 002 )()()(將方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)有)()()()( xxfxxfdttfexf xx 022 xx dttfe 022 )( 再將方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)有)()( xfexf x 24即xexfxf 24 )()(又從上面的等

26、式可得2010 )()( f , f故知所求函數(shù) f (x) 滿足以下初值問(wèn)題 xeyy 24 2010 )()( y , y特征方程, 012 特征根i 21,所以齊次方程 通解: 0yy xcxcxyh sincos)( 21 設(shè)非齊次方程的特解為xAexy 2)( ( = 2 不是特征根 )代入方程得xxx eAeAe 222 44 54 A所以特解xexy 254)(于是原方程的通解xcxcexy x sincos)( 21254 由, c y 5110 1 )(由 )( 5220 2 cy故所求函數(shù)為xxexy x sincos)( 525154 2 (b) sin)(cos)()(

27、 xxP xPexf lnx 此時(shí)方程 (11) 為sin)(cos)( xxPxxPeqypyy lnx (12)其中 Pn(x) , Pl (x) 分別為 n 次和 l 次多項(xiàng)式 .對(duì)于方程 (12) 可設(shè)其特解為sin)(cos)()( xxRxxQexxy mmxk 其中 m = max n , l , 為 m 次多項(xiàng)式 )()( xR ,xQ mm0 , + i 不是特征方程的根1 , + i 是特征方程的單根k = 例求方程 的通解 xeyy xcos 210解特征方程012 特征根121 , 所以齊次方程的通解xx ececxy 21 )(先求齊次方程 的通解 0yy 再求非齊次

28、方程的一個(gè)特解此時(shí) ,x exf xcos)( 210及 Pn(x) = 10 , Pl (x) = 0 , = 2 , = 1 由于 + i = 2 + i 不是特征根 , 故設(shè)特解 )sincos()( xbxaexy x 2此時(shí)sin)(cos)()( xabxbaexy x 222 sin)(cos)()( xabxbaexy x 43432 代入原方程并整理得xxabxba cossin)(cos)( 104242 1042 ba 042 ab令解得 a = 1 , b = 2所以原方程的特解: )sin(cos)( xxexy x 22 原方程的通解xxx ececxxexy 21

29、2 2 )sin(cos)( 注意:盡管 中不含 (12) 中xexf xcos)( 210的 sin x , 但應(yīng)認(rèn)為是 (12) 式中的 Pl (x) = 0 ,不可設(shè)特解為xaexy xcos)( 2而應(yīng)設(shè)為)sincos()( xbxaexy x 2 例求方程 的通解 xexyyy x 4186 22 cos)( 解特征方程0862 特征根42 21 , 所以齊次方程的通解xxh ececxy 4221 )(下面考慮求非齊次方程的特解將原方程分解為 xexyyy 22 186 )( (13)xyyy 486 cos (14)注意到若 是 (13) 的特解 , 是 (14) 的特解 )(

30、xy1 )(xy2 則 就是原方程的特解 )()()( xyxyxy 21 而 (13) 屬于 (a) 的情形 , (14) 屬于 (b) 的情形 設(shè)方程 (13) 的特解為2 21 xy x x ax bx c e( ) ( ) ( = 2 是特征根 )將 代入 (13) , 整理得)(xy1 122466 22 xcbxbaax )(令16 a 046 ba 122 cb解得 434161 c , b , a所以xexxxxy 221 434161 )()( 再求方程 (14) 的特解 .由于 不是特征根 , i4故可設(shè)特解xbxaxy 442 sincos)( 將 代入 (14) , 整

31、理可得)(xy2 xxabxba 442484248 cossin)(cos)( 令1248 ba 0248 ab解得 , b , a 803801 )sin(cos)( xxxy 4348012 )()()( xyxyxy 21 原方程的特解)sin(cos)( xxexxx x 434801434161 22 所以原方程的通解)()()( xyxyxy h xx ecec 4221 xexxx 22 434161 )( )sin(cos xx 434801 例彈性橫梁的震動(dòng)問(wèn)題有一質(zhì)量為 m 的電動(dòng)機(jī) , 安裝在梁上 A 點(diǎn) , 電動(dòng)機(jī)開(kāi)動(dòng)時(shí) , 產(chǎn)生一垂直于梁的干擾力 psint ( p

32、 , 為常數(shù) ) , 使梁發(fā)生振動(dòng) . 梁上 A 點(diǎn)的位移用坐標(biāo) y 表示 , 梁的彈性恢復(fù)力與位移 y 成正比 ( 比例系數(shù)為 k 0 ) , 求 A 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律(不計(jì)阻力與重力)解建立坐標(biāo)系如圖所示A o yA 點(diǎn)受到的力: (1) 干擾力: psint(2) 彈性恢復(fù)力 : ky kytpdt ydm sin22據(jù)牛頓第二定律有初始條件: 0000 )()( y , y即 y 滿足初值問(wèn)題: kytpdt ydm sin22 0000 )()( y , y特征方程: 0 2 km特征根: imk 21,齊次方程的通解: tnkctmkctyh sincos)( 21 :mk被稱為固有頻

33、率 下面求非齊次方程的特解(1) 當(dāng) 時(shí) , 設(shè)非齊次方程的特解為mk tbtaty sincos)( 代入方程整理得 tptmkatmkb sincos)(sin)( 22令02 )( mka 2b k m p( ) 解得2mk pb 0a )( mk tmk pty sin)( 2非齊次方程的特解:非齊次方程的通解: tmkctmkc sincos 21 tmk pty sin)( 2由, y , y 0000 )()( 221 0 mk pkmc , c 所以初值問(wèn)題的解)sin(sin)( tmkkmtmk pty 2 (2) 當(dāng) 時(shí) , 設(shè)非齊次方程的特解為mk )sincos()(

34、 tbtatty 代入方程可得: 02 b , kpa ttkpty cos)( 2非齊次方程的特解:非齊次方程的通解: kpc , c 20 21 tmkctmkc sincos 21 ttkpty cos)( 2由 可確定y,y 0000 )()( 所以初值問(wèn)題的解tmkkpttkpty sincos)( 22 tkpttkp sincos 22 注意: 位移 y(t) 的振幅為 2212 tkp 將隨 t 的增大而無(wú)限增大 , 從而引起共振現(xiàn)象 當(dāng) 時(shí) ,mk 3 n 階線性常系數(shù)微分方程 n 階方程 )()()( xfyayayay nnn 0111(15)其中 是常數(shù) , 稱為 n

35、階線性)( 2110 n a , a , a n常系數(shù)微分方程 而稱 n 階方程 00111 yayayay nnn )()(16)為方程 (15) 所對(duì)應(yīng)的 n 階線性常系數(shù)齊次方程 與二階線性方程類似 , 非齊次方程 (15) 的通解為:p hy x y x y x( ) ( ) ( ) 其中 yh(x) 為其對(duì)應(yīng)齊次方程的通解 , py x( )為 (15)的一個(gè)特解 )()(,)( xy , , xy xy n21若 為齊次方程 (16) 的n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解 ( 即其中的任何一個(gè)都不能被其余的線性表示 ) , )()()()( xyc xycxycxy nn2211則齊次方程 (16)

36、 的通解為 為求齊次方程 (16) 的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解 , 求出特征方程的根 , 并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的解:(1) 若 是 (17) 的單重實(shí)根 , 則確定其對(duì)應(yīng)的解為: xe(2) 若 是 (17) 的 k 重實(shí)根 , 則確定其對(duì)應(yīng)的k 個(gè)解為 : xkxxx ex , , ex , xe , e 12 其有形式 的解 , xexy )(可設(shè)(17)方程 (16) 的特征方程00111 aaa nnn 代入 (16) 得 滿足 則確定其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)解為 : bxe ,bx e axax sincos(3) 若 是 (17) 的單重共軛復(fù)根 : iba(4) 若 是 (17) 的 k 重共軛復(fù)根 : i

37、ba則確定其對(duì)應(yīng)的 2k個(gè)解為 : bxex bxex ,bx e axkaxax cos,coscos 1bxex bxex ,bx e axkaxax sin,sinsin 1于是就可根據(jù)方程 (17) 根的情況 , 寫(xiě)出齊次方程 (16) 的 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)解 , 從而獲得齊次方程(16) 的通解 y h(x) 例求方程 的通解 04 yy )(解特征方程014 特征根321042 k ,e ik , 即, ie i 212141 , ie i 2121432 , ie i 2121453 , ie i 2121474 所以方程的通解 xecxecxy xx 22 212211 sinc

38、os)( 22 214213 xecxec xx sincos 4 歐拉 (Euler) 方程 變系數(shù)的線性微分方程 , 一般來(lái)說(shuō)不易求解 ,但有些特殊的變系數(shù)線性微分方程可通過(guò)變量代換化為常系數(shù)線性微分方程 . 歐拉方程就是一種可化為常系數(shù)方程的方程 方程)( xfbyaxyyx 2 (18)稱為二階歐拉方程 , 其中 a , b 為常數(shù) 而稱 n 階方程)()()( xfyaxyayxayx nnnnnn 1111(19)為 n 階歐拉方程 , 其中 為常數(shù) na , a , a21 二階歐拉方程 (18) 的求解令,ex t則 t = lnx ,dtdyxdxdtdtdydxdyy 1

39、dtdydxdyx dtdyxdxdydxdydxdydxydy 122 2222222 1111 dtdyxdtdyxdxdtdtdyxdtdyx dtdydtdyyx 222 代入方程 (18) 有)( tefbydtdyadtdydtdy 22 即)()( tefbydtdyadtdy 122 (20)這是一二階線性常系數(shù)微分方程 例求方程 的通解 32 22 xyxyyx 解這是一二階歐拉方程令,ex t則 t = lnx ,原方程可化為teydtdydtdy 322 23 特征方程, 0232 特征根21 21 , 齊次方程的通解: tth ececty 221 )( 設(shè)非齊次方程的

40、特解: tAety 3)(代入方程解得21A tety 321 )(所以非齊次方程的通解ttt ececety 2 21321 )(原方程的通解221321 xcxcxxy )( 在歐拉方程通過(guò)變量代換 化為常系數(shù) tex 方程的過(guò)程中 , 如果用算子 D 表示對(duì) t 的求導(dǎo)運(yùn)算 ,則有Dydtdyxy dtdydtdyyx 222 一般地 , 可證: ykDDDyx kk )()()( 11 于是 n 階歐拉方程可化為常系數(shù)方程 ynDDDaynDDD )()()()( 2111 1)( tnn efyaDya 1其特征方程為: )()( 11 n021 11 nn aana )()( yDDDyyD )( 12 例求方程 的通解 0423 xyyxyx解這是一三階歐拉方程 令,ex t則 t = lnx ,原方程可化為04121 DyyDDyDDD )()( 0422 2223 yDDDDDDD )( 032 23 yDDD )(特征方程, 032 23 特征根310 21 3 , , 齊次方程的通解: tt ececcty 3321 )(原方程的通解: 3321 1 xcxccxy )(