《數(shù)學(xué)分析14-8條件極值》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)分析14-8條件極值（19頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、20090420 14.8 條 件 極 值 實(shí)例： 小王有200元錢(qián)，他決定用來(lái)購(gòu)買(mǎi)兩種急需物品：光盤(pán)和磁帶，設(shè)他購(gòu)買(mǎi) 張光盤(pán)， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為 設(shè)每張光盤(pán)8元，每盒磁帶10元，問(wèn)他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果xy yxyxU lnln),( 問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：求 在條件 下的極值點(diǎn)yxyxU lnln),( 200108 yx條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值 拉格朗日乘數(shù)法找函數(shù)),( yxfz 在條件0),( yx下的可能極值點(diǎn)，先構(gòu)造函數(shù)),(),(),( yxyxfyxL 其中為某一常數(shù)，可由 .0),( ,0),(),( ,0),(),( yxL yxyxfL y

2、xyxfL yyy xxx 在條件組)( ,2,1 ,0),( 21 nmmkxxx nk 的限求目標(biāo)函數(shù). ),( 21的極值nxxxfy ,制下其拉格朗日函數(shù)是：),( 2121 mnxxxL mk nkkn xxxxxxf 1 1121 ),( ),( . , 21為拉格朗日常數(shù)其中m )1(一般形式： ：定理1 ,),2,1( 內(nèi)有均在如上和設(shè)Dmkf k ,一階偏導(dǎo)數(shù)是若 ),( )0()0(2)0(10 DxxxP n ,上述問(wèn)題的極值點(diǎn)且雅可比矩陣01 111 Pnmm nxx xx ,m的秩為使得個(gè)常數(shù)則存在 , )0()0(2)0(1 mm ),( )0()0(1)0()0(

3、1 mnxx 連續(xù)的的為拉格朗日函數(shù))1(.穩(wěn)定點(diǎn) : ),( )0()0(1)0()0(1為下述方程的解即mnxx 0),( 0),( 00111 11 1111 nm nmk nkknx mk kkx xxL xxL xxfL xxfL mn :驟條件極值問(wèn)題的一般步用拉格朗日乘數(shù)法求解; 1.和條件組根據(jù)問(wèn)題確立目標(biāo)函數(shù) 2.作拉格朗日函數(shù)),( 2121 mnxxxL mk kkf 1 ,.3有穩(wěn)定點(diǎn)求出拉格朗日函數(shù)的所這些穩(wěn)定點(diǎn);就是可能的條件極值點(diǎn). , 4.據(jù)理說(shuō)明確實(shí)是值點(diǎn)對(duì)每一個(gè)可能的條件極 ?據(jù)什么理,2,1 ,0),( 1. 21 mkxxx nk 如條件組 ,滿(mǎn)足隱函數(shù)

4、定理的條件個(gè)變量則在n nxxx , 21 中唯一確定了其中.個(gè)變量的一組隱函數(shù)個(gè)變量為其余mnm 得到一個(gè)有個(gè)函數(shù)代入目標(biāo)函數(shù)將這 ,fm .個(gè)獨(dú)立變量函數(shù)mn ,算出此函數(shù)的黑賽矩陣 ,應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)法則由此判斷極值點(diǎn)的.類(lèi)型 ,),( 2. )0()0(1)0()0(1的穩(wěn)定點(diǎn)是若Lxx mn 020 )( Pkj xx LPHL : 則; ,)( 1. 00取條件極小值在那么正定如PfPHL . ,)( 2. 00取條件極大值在那么負(fù)定如PfPHL . :元函數(shù)的泰勒公式利用證明n ,),( )0()0(2)0(10 DxxxP n 記 . 3.判斷根據(jù)問(wèn)題本身的特點(diǎn)來(lái)而其拉格朗日函數(shù)

5、值如果某實(shí)際問(wèn)題確有極 ,僅有一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)或逼近且在定義域的邊界上(,)不取極值邊界時(shí)的則這個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)就是所求.條件極值點(diǎn). 3. . , 2. 1.較為常用一般不用計(jì)算量大 :1例rzyxxyzzyxf 1111),( 在條件求)0,( rzyx .下的極小值:解設(shè)拉格朗日函數(shù)為).1111(),( rzyxxyzzyxL 0000 LLLLzyx由,3: rzyxL 穩(wěn)定點(diǎn)為知4)3( r ? )3()3,3,3( 3是否為條件極值判斷rrrrf ),(1111 yxzzrzyx 看成隱函數(shù)把條件則目標(biāo)函數(shù)).,(),(),( yxFyxzxyzyxf , yyxyxxyxyx FFFFFzz

6、計(jì)算出,)3,3(正定rrHF ,)3,3,3(為極小值點(diǎn)故穩(wěn)定點(diǎn)rrr .進(jìn)而最小值點(diǎn),)3( 3rxyz 所以)1111 rzyx 且0,( rzyx , czbyax 令1)111( cbar則 )3( 3得代入rxyz 31)111(3 cbaabc . )111(3 31 abccba 或 4).P174( :2例教材例 解設(shè)),( 000 zyxP為橢球面上一點(diǎn), 令1),( 222222 czbyaxzyxF , 過(guò)),( 000 zyxP的切平面方程為 )( 020 xxax )( 020 yyby 0)( 020 zzcz , 化簡(jiǎn)為 12 02 02 0 czzbyyaxx

7、 , 該切平面在三個(gè)軸上的截距各為 02xax，02yby ，02zcz , 所圍四面體的體積 000 222661 zyx cbaxyzV , 在條件1220220220 czbyax下求V的最小值, 令 ,lnlnln 000 zyxu ),( 000 zyxG 000 lnlnln zyx )1( 220220220 czbyax , 由,01 0,0,0 220220220 000 cybyax GGG zyx 可得30 ax 30 by ，30 cz 此為唯一的駐點(diǎn) 四面體的體積最小abcV 23min . 根據(jù)實(shí)際情況四面體體積有最小值 拉 格 朗 日 乘 數(shù) 法小結(jié)作業(yè)習(xí) 題 14 61 (4, 5, 6); 2； 3； 4.