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1、第 四 章 Taylor公 式 2008 11 26 4.1 函 數(shù) 的 微 分 一 、 問 題 的 提 出實 例 :正 方 形 金 屬 薄 片 受 熱 后 面 積 的 改 變 量 .20 xA 0 x 0 x,00 xxx 變 到設(shè) 邊 長 由 ,2xA正 方 形 面 積 2020 )( xxxA .)(2 20 xxx )1( )2( ;, 的 主 要 部 分且 為的 線 性 函 數(shù) Ax ., 很 小 時 可 忽 略當?shù)?高 階 無 窮 小 xx :)1( :)2( x x 2)( xxx 0 xx 0 再 例 如 , ., 03 yx xxy 求 函 數(shù) 的 改 變 量時為 處 的 改

2、 變 量在 點設(shè) 函 數(shù) 3030 )( xxxy .)()(33 32020 xxxxx )1( )2(,很 小 時當 x .3 20 xxy ),()2( xox 的 高 階 無 窮 小是 既 容 易 計 算 又 是 較 好 的 近 似 值問 題 :是 否 所 有 函 數(shù) 的 改 變 量 都 對 應(yīng) 有 一 個 線 性 函數(shù) (改 變 量 的 主 要 部 分 )?它 是 什 么 ?如 何 求 ? 二 、 微 分 的 定 義 ,)( 在 某 區(qū) 間 內(nèi) 有 定 義設(shè) 函 數(shù) xfy ,00 在 這 區(qū) 間 內(nèi)及 xxx 如 果 )()()( 00 xoxAxfxxfy ),( 無 關(guān) 的 常

3、 數(shù)是 與其 中成 立 xA 則 稱 函 數(shù))(xfy ,0可 微在 點 x 為 函 數(shù)并 且 稱 xA 相 應(yīng) 于 自 變 量在 點 0)( xxfy ,的 微 分增 量 x定 義 ： .的 線 性 主 部叫 做 函 數(shù) 增 量微 分 ydy (微 分 的 實 質(zhì) )記 作 ),( 00 xdfdy xx 或 .0 xAdy xx 即由 定 義 知 : ;)1( 的 線 性 函 數(shù)是 自 變 量 的 改 變 量 xdy ;)()2( 高 階 無 窮 小是 比 xxodyy ;,0)3( 是 等 價 無 窮 小與時當 ydyA dyy xA xo )(1 ).0(1 x ;)(,)4( 0有

4、關(guān)和但 與無 關(guān) 的 常 數(shù)是 與 xxfxA ).(,)5( 線 性 主 部很 小 時當 dyyx 三 、 可 微 的 條 件 ).(,)( )( 00 0 xfAxxf xxf 且處 可 導在 點數(shù) 可 微 的 充 要 條 件 是 函在 點函 數(shù)定 理證 (1) 必 要 性 ,)( 0可 微在 點 xxf ),( xoxAy ,)( xxoAxy xxoAxy xx )(limlim 00則 .A ).(,)( 00 xfAxxf 且可 導在 點即 函 數(shù) (2) 充 分 性 ,)( 0 xxxfy 從 而 ,)( 0 xfxy即 ,)( 0可 導在 點函 數(shù) xxf ),(lim 00

5、xfxyx ),0(0 x),()( 0 xoxxf .)(,)( 00 Axfxxf 且可 微在 點函 數(shù) ).(. 0 xfA 可 微可 導 .)(),(, ,)( xxfdyxdfdy xxfy 即或記 作微 分 稱 為 函 數(shù) 的的 微 分在 任 意 點函 數(shù) 例 1解 .02.0,23 時 的 微 分當求 函 數(shù) xxxy xxdy )( 3 .3 2 xx 02.02202.02 3 xxxx xxdy .24.0., ,xdxdx xx 即記 作 稱 為 自 變 量 的 微 分的 增 量通 常 把 自 變 量 .)( dxxfdy ).(xfdxdy . 微 商導 數(shù) 也 叫該

6、函 數(shù) 的 導 數(shù) 之 商 等 于與 自 變 量 的 微 分即 函 數(shù) 的 微 分 dxdy 四 、 微 分 的 幾 何 意 義 )(xfy 0 xM N Tdy y )( xo ） xyo x幾 何 意 義 :(如 圖 ).,對 應(yīng) 的 增 量就 是 切 線 縱 坐 標坐 標 增 量 時是 曲 線 的 縱當 dyy xx 0 P ., MNMP Mx 可 近 似 代 替 曲 線 段切 線 段 的 附 近在 點很 小 時當 五 、 微 分 的 求 法 dxxfdy )(求 法 : 計 算 函 數(shù) 的 導 數(shù) , 乘 以 自 變 量 的 微 分 .1.基 本 初 等 函 數(shù) 的 微 分 公 式

7、xdxxxdxdxxxd xdxxdxdxxd xdxxdxdxxd dxxxdcd cotcsc)(csctansec)(sec csc)(cotsec)(tan sin)(coscos)(sin )(0)( 22 1 dxxxddxxxd dxxxddxxxd dxxxddxaxxd dxeedadxaad a xxxx 22 22 1 1)cot(1 1)(arctan 11)(arccos11)(arcsin 1)(lnln1)(log )(ln)( 2. 函 數(shù) 和 、 差 、 積 、 商 的 微 分 法 則 2)()( )()( v udvvduvududvvduuvd cducu

8、ddvduvud arc 例 2解 .),ln( 2 dyexy x 求設(shè) ,21 2 2x xex xey .21 2 2 dxex xedy x x例 3解 .,cos31 dyxey x 求設(shè) )(cos)(cos 3131 xdeedxdy xx .sin)(cos,3)( 3131 xxee xx dxxedxexdy xx )sin()3(cos 3131 .)sincos3(31 dxxxe x 六 、 微 分 形 式 的 不 變 性 ;)(,)1( dxxfdyx 是 自 變 量 時若 則微 函 數(shù) 的 可即 另 一 變 量是 中 間 變 量 時若 ),( ,)2( tx tx

9、 ),()( xfxfy 有 導 數(shù)設(shè) 函 數(shù) dttxfdy )()( ,)( dxdtt .)( dxxfdy 結(jié) 論 ： 的 微 分 形 式 總 是 函 數(shù)是 自 變 量 還 是 中 間 變 量無 論)( ,xfy x 微 分 形 式 的 不 變 性 dxxfdy )( 例 5解 .,sin dybxey ax 求設(shè) )(sin)(cos axdebxbxbxdedy axax dxaebxbdxbxe axax )(sincos .)sincos( dxbxabxbe ax 例 4解 .),12sin( dyxy 求設(shè) .12,sin xuuy ududy cos )12()12cos

10、( xdxdxx 2)12cos( .)12cos(2 dxx 七 、 高 階 微 分 一階微分：dxxfdf )( 二階微分：22 )( dxxffd （有形式不變性） （沒有形式不變性）nnn dxxffd )()(必須是自變量222 )()()()( dxxfdxxfdxxfddfdfd 階微分n 例 6 ,xey , 2txey x 22 dxeyd x 2222 )42()( 222 dtetedteyd ttt ,4)d2()(d 22222 dttttdxx .dd2d4d2d 222222 22 xexxettetey xxtt .)( ;)( 22 222的一階微分表示的二階

11、微分；表示指xxd xxddxdx 八 、 近 似 計 算 .)( 0 xxf 00 xxxx dyy 1、 計 算 函 數(shù) 增 量 的 近 似 值 （以直代曲）;)(.1 0附 近 的 近 似 值在 點求 xxxf .)()()( 000 xxfxfxxf )( 很 小 時x2、 計 算 函 數(shù) 的 近 似 值 ;0)(.2 附 近 的 近 似 值在 點求 xxf .)0()0()( xffxf .,00 xxx 令 例 7 ?,05.0 ,10問 面 積 增 大 了 多 少厘 米 半 徑 伸 長 了厘 米 的 金 屬 圓 片 加 熱 后半 徑解 ,2rA 設(shè) .05.0,10 厘 米厘 米

12、 rr rrdAA 2 05.0102 ).( 2厘 米 例 8 .0360cos o 的 近 似 值計 算 解 ,cos)( xxf 設(shè) )(,sin)( 為 弧 度xxxf ,360,30 xx .23)3(,21)3( ff )3603cos(0360cos o 3603sin3cos 3602321 .4924.0 常 用 近 似 公 式 )( 很 小 時x.)1ln()5( ;1)4();(tan)3( );(sin)2(;111)1( xx xexxx xxxxnx xn 為 弧 度 為 弧 度證 明 ,1)()1( n xxf 設(shè) ,)1(1)( 11 nxnxf.1)0(,1)

13、0( nff xffxf )0()0()( .1 nx 例 9 .計 算 下 列 各 數(shù) 的 近 似 值解 .)2(;5.998)1( 03.03 e33 5.110005.998)1( 3 )10005.11(1000 3 0015.0110 )0015.0311(10 .995.903.01)2( 03.0 e .97.0 微 分 學 所 要 解 決 的 兩 類 問 題 :函 數(shù) 的 變 化 率 問 題函 數(shù) 的 增 量 問 題 微 分 的 概 念導 數(shù) 的 概 念求 導 數(shù) 與 微 分 的 方 法 ,叫 做 微 分 法 .研 究 微 分 法 與 導 數(shù) 理 論 及 其 應(yīng) 用 的 科 學

14、 ,叫 做 微 分 學 .導 數(shù) 與 微 分 的 聯(lián) 系 : .可 微可 導 九 、 小 結(jié) 導 數(shù) 與 微 分 的 區(qū) 別 : ., , ,)( ),()(.1 0 00 00 它 是 無 窮 小時當定 義 域 是 它 的的 線 性 函 數(shù)是而 微 分 處 的 導 數(shù) 是 一 個 定 數(shù)在 點函 數(shù) xxR xxxxfdy xfxxf )(limlim 0000 xxxfdy xxxx .0. )(,()()( )(,)(,( )()(,.2 0 000 000 0的 縱 坐 標 增 量方 程 在 點 處 的 切 線在 點是 曲 線 而 微 分處 切 線 的 斜 率點 在是 曲 線從 幾 何 意 義 上 來 看x xfxxfyxx xfdyxfx xfyxf 作 業(yè) (數(shù) 學 分 析 習 題 集 )習 題 4.1 函 數(shù) 的 微 分1、 1), 4); 2 、 偶 數(shù) 號 題 ; 3、 3), 4).