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1、機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 ),(),( yxfyxxf xyxfx ),(),(),( yxfyyxf yyxfy ),( 二元函數對x和對y的偏微分 二元函數對x和對y的偏增量 由一元函數微分學中增量與微分的關系得一、全微分的定義 如果函數),( yxfz 在點),( yx的某鄰域內有定義，并設),( yyxxP 為這鄰域內的 任意一點，則稱這兩點的函數值之差 ),(),( yxfyyxxf 為函數在點P對應于自變量增量yx ,的全增 量，記為z， 即 z = ),(),( yxfyyxxf 全 增 量 的 概 念 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 如 果

2、 函 數 ),( yxfz 在 點 ),( yx 的 全 增 量),(),( yxfyyxxfz 可 以 表 示 為)(oyBxAz ， 其 中 BA, 不 依 賴 于yx , 而 僅 與 yx, 有 關 ， 22 )()( yx ，則 稱 函 數 ),( yxfz 在 點 ),( yx 可 微 分 ，yBxA 稱 為 函 數 ),( yxfz 在 點 ),( yx 的全 微 分 ， 記 為 dz， 即 dz= yBxA . 全 微 分 的 定 義 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 函數若在某區(qū)域D內各點處處可微分，則稱這函數在D內可微分. 如果函數),( yxfz 在點),(

3、yx可微分, 則函數在該點連續(xù).事實上),(oyBxAz ,0lim0 z),(lim00 yyxxfyx ),(lim0 zyxf ),( yxf 故函數),( yxfz 在點),( yx處連續(xù).機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 二、可微的條件 定 理 1（ 必 要 條 件 ） 如 果 函 數 ),( yxfz 在 點),( yx 可 微 分 ， 則 該 函 數 在 點 ),( yx 的 偏 導 數 xz 、yz 必 存 在 ， 且 函 數 ),( yxfz 在 點 ),( yx 的 全 微 分為 yyzxxzdz 證 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 一元函數在

4、某點的導數存在 微分存在多元函數的各偏導數存在 全微分存在例如，.00 0),( 22 2222 yx yxyxxyyxf說明：多元函數的各偏導數存在并不能保證全 微分存在， 定 理 （ 充 分 條 件 ） 如 果 函 數 ),( yxfz 的 偏導 數 xz 、 yz 在 點 ),( yx 連 續(xù) ， 則 該 函 數 在 點 ),( yx 可 微 分 證 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數.dzzudyyudxxudu 疊加原理也適用于二元以上函數的情況 例 1 計算函數xyez 在點)1,2(處的全微分.解 機 動 目 錄 上 頁 下 頁

5、 返 回 結 束 例 2 求函數)2cos( yxyz ，當4x，y，4dx ，dy時的全微分.解 例 3 計算函數yzeyxu 2sin的全微分.解 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 例 4 試證函數 )0,0(),(,0 )0,0(),(,1sin),( 22 yx yxyxxyyxf 在 點)0,0(連續(xù)且偏導數存在，但偏導數在點)0,0(不連續(xù)，而f在點)0,0(可微. 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 多 元 函 數 連 續(xù) 、 可 導 、 可 微 的 關 系函數可微函數連續(xù)偏導數連續(xù)函數可導 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 全 微 分 在 近 似 計 算 中 的 應 用都較小時，有近似等式連續(xù)，且個偏導數的兩在點當二元函數yxyxfyxf yxPyxfz yx ,),(),( ),(),( .),(),( yyxfxyxfdzz yx 也可寫成.),(),(),( ),( yyxfxyxfyxf yyxxf yx 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束 例 5 計算02.2)04.1(的近似值. 機 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結 束