《微積分學PPt標準課件20-第20講羅必達發(fā)則》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《微積分學PPt標準課件20-第20講羅必達發(fā)則（30頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、高 等 院 校 非 數(shù) 學 類 本 科 數(shù) 學 課 程 腳 本 編 寫 ： 劉 楚 中 教 案 制 作 ： 劉 楚 中 第 四 章 一 元 函 數(shù) 的 導 數(shù) 與 微 分本 章 學 習 要 求 ： 理 解 導 數(shù) 和 微 分 的 概 念 。 熟 悉 導 數(shù) 的 幾 何 意 義 以 及 函 數(shù) 的 可 導 、 可 微 、 連 續(xù) 之 間 的 關 系 。 熟 悉 一 階 微 分 形 式 不 變 性 。 熟 悉 導 數(shù) 和 微 分 的 運 算 法 則 ， 能 熟 練 運 用 求 導 的 基 本 公 式 、 復 合 函 數(shù) 求 導 法 、 隱 函 數(shù) 求 導 法 、 反 函 數(shù) 求 導 法 、 參 數(shù)

2、 方 程 求 導 法 、 取 對 數(shù) 求 導 法 等 方 法 求 出 函 數(shù) 的 一 、 二 階 導 數(shù) 和 微 分 。 了 解 n 階 導 數(shù) 的 概 念 ， 會 求 常 見 函 數(shù) 的 n 階 導 數(shù) 。 熟 悉 羅 爾 中 值 定 理 、 拉 格 朗 日 中 值 定 理 、 柯 西 中 值 定 理 和 泰 勒 中 值 定 理 ， 并 能 較 好 運 用 上 述 定 理 解 決 有 關 問 題 （ 函 數(shù) 方 程 求 解 、 不 等 式 的 證 明 等 ） 。 掌 握 羅 必 塔 法 則 并 能 熟 練 運 用 它 計 算 有 關 的 不 定 式 極 限 。 Hospital L第四節(jié) 羅

3、必達法則第四章 一元函數(shù)的導數(shù)與微分 大量 , 為此, 我們稱這類極限為“不定型”,. 00 或我們知道: 兩個無窮小量或兩個無窮大量的商的極限 , 隨著無窮小量或無窮大量的形式不同 , 極限值可能存在、也可能不存在、可能是無窮小量、也可能是無窮記為: 以下各類極限稱為不定型的極限：, 00 , , 0 , , 1 , 00 . 0其中 , ; 0表示無窮小量; 表示無窮大量 . 1 1為極限的變量表示以不定型的極限 00 0 1 00 0倒數(shù)法取對數(shù)法只需討論這兩種極限 羅必達法則設在某一極限過程中 00 , 0)(lim , 0)(lim )1( xgxf , )(lim , )(lim

4、xgxf , )(, )( , )2(存在在該極限過程中xgxf , 0)( xg且, )( )(lim )3(存在或為無窮大xg xf . )( )(lim)( )(lim xg xfxg xf 則有 , )(, )( , )2(存在在該極限過程中xgxf 解釋：是指：, 0 xx 若極限過程為. )(U )( , )( 0存在在則xxgxf , x若極限過程為. | )( , )( 存在當則Xxxgxf . 0時情形先證xx , 0)(lim , 0)(lim 00 xgxf xxxx由于 , )( , )( 0總可令處是否連續(xù)在故不論xxgxf , 0)( , 0)( 00 xgxf內從

5、而在成為連續(xù)函數(shù)使得 )U( , )( , )( 0 xxgxf可選擇適當區(qū)間來運用柯西中值定理.型就可將令 )(1)( , )(1)( 21 xgxxfx . 00 型轉換為證 的極限過程轉換則可將令 , 1 xtx . 0)( 0 0的極限過程為 tt詳細的證明過程請同學們自己看書 . 在運用羅必達法則時 , 不存在如果 )( )(lim xg xf但也不是無窮大 , 則不能說明不存 )( )(lim xg xf在 . 此時應重新另找其它方法進行計算 .羅必達法則只限于求, 00型的極限和其它類型的不定型應首先化成這兩種形式才能用羅必達法則 . 在運用羅必達法則求極限過程中, 極限存在并且

6、不等于零的因子可以提出來, 這樣可使問題簡化.在運用羅必達法則求極限過程中, 盡可能運用等價無窮小替代方法, 它往往可使問題得到明顯的簡化. 如果在使用羅必達法則后 , 仍是 )( )(lim xg xf, 00型或仍滿足羅必達法且 )( , )( xgxf 則條件 , 則可繼續(xù)使用羅必達法則 .使用羅必達法則要注意觀察條件是否滿足, 不然會出錯. . coslim 0 x xexx 求001sinlimcoslim 00 xex xe xxxx 1此題不用羅必達法則也可作: 分子加 1 減 1 ,然后運用等價無窮小替代即可 .例 1解 . lnlim xxx 求11limlnlim xxx

7、xx 01lim xx例 2解 . sinlim x xxx 求 )cos1(limsinlim xx xx xx 不存在 ,故不能用羅必達法則求此極限 . . 1) sin1 (lim sinlim x xx xx xx實際上小 心 ！例 3解 . sintanlim 0 xx xxx 求00 xxxx xx xx cos1 1seclimsintanlim 200 x xxx sinsectan2lim 20 2cos2lim 30 xx(化簡)在使用羅必達法則時 , 要注意進行化簡工作 , 它會使問題變得簡單 . 連續(xù)使用羅必達法則00例 4解 . |ln |lncoslim axax

8、ee axx 求|ln |lncoslim axax ee axx |ln |lnlimcoslim axaxax ee axx )(limcos axe eea x axax ax eeea axaxxax lim1limcosxaxa eea limcos acos 00運用羅必達法則時, 定式因子如有極限應單獨分出計算.例 5解 例 6解 .1sin1lim 220 xxx求xx xxxx xx 22 220220 sin sin lim1sin1lim xx xxxxx 220 sin )sin)(sin(lim xx xxx xx xx sinsinlim sinsinlim 200

9、 30 sinlim2 x xxx xx sin20 3cos1lim2 x xx 221cos1 xx 31321lim2 220 xxx極限不等于零的因子 . , 0 , lim Znaex xanx求xanxxanx eaxnex 1limlim xa nx ea xnn 2 2)1(lim 次 ! limn xanx ea n0 如果 n 不是 正整數(shù) , 怎 么辦？ 1 knk Zk例 7解夾逼定理 . lim 10010 2xe xx 求00 1021010010 50 lim lim 22 xexe xxxx 00你還打算做下去嗎?這樣做 , 分母中 x 的次數(shù)將越來越高 , 而

10、分子不變 , 極限始終無法求出 .例 8解 將原極限稍加變形 :22 1100010010 lim lim xxxx exxe 213 1010 2100lim xx ex x 21 98050lim xx ex 次50 0! 50lim 210 xx e. lim 10010 2xe xx 求00例 8解 下面的介紹的是利用倒數(shù)法或取對數(shù)法將其它的不定型轉化為可以運用羅必達法則計算的例題 . . lnlim 0 xxx 求0 xxxx xx 1lnlimlnlim 00 0)(lim11lim 020 xxx xx倒數(shù)法 .用另一種形式顛倒行不行 ?行 , 但繁些 .存在一個選擇問題.例 9

11、解 . ln11 lim 1 xx xx求這種形式可以直接通分 . xx xxxxxx xx ln)1( )1(ln lim ln11 lim 11 001ln ln lim1 xxx xxx 002111ln 1ln lim1 x xx 該題也可 用倒數(shù)法例 10解 .arctan2lim ln1xx x 求00運用取對數(shù)法 . xx x ln1arctan2lim ln )arctan2 ln(limexp x xx )arctan2 ln(ln1 explim xxx 0例 11解 2arctan1limexp 2 xxxx 00 11limexp 22xxx 1e .)1( lim 110 xxx ex 求1運用取對數(shù)法 .原式 )1ln(lim exp 20 x xxx 00 2 11 1 exp xx 21 )1(2 1 exp ex例 12解 . )( 111 lim 2 nn nn 求這是數(shù)列的極限xxnn xxnn )()( 111 lim 111 lim 22 x xxx 1 ) 111 ( lnlimexp 2 t ttt ) 1 ( lnlimexp 20 xt 1 e羅必達 例 13解此題也可用重要極限的方法來求解. :方法求解此題可以按重要極限的 22 11 11 1 22 111lim111lim nnnnnnnn nnnn .e