《微積分學PPt標準課件30-第30講一元微積分應用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《微積分學PPt標準課件30-第30講一元微積分應用（49頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、高 等 院 校 非 數(shù) 學 類 本 科 數(shù) 學 課 程 腳 本 編 寫 ： 劉 楚 中 教 案 制 作 ： 劉 楚 中 第 六 章 一 元 微 積 分 的 應 用本 章 學 習 要 求 ： 熟 練 掌 握 求 函 數(shù) 的 極 值 、 最 大 最 小 值 、 判 斷 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 、判 斷 函 數(shù) 的 凸 凹 性 以 及 求 函 數(shù) 拐 點 的 方 法 。 能 運 用 函 數(shù) 的 單 調(diào) 性 、 凸 凹 性 證 明 不 等 式 。 掌 握 建 立 與 導 數(shù) 和 微 分 有 關(guān) 的 數(shù) 學 模 型 的 方 法 。 能 熟 練 求 解相 關(guān) 變 化 率 和 最 大 、 最 小 值 的 應

2、 用 問 題 。 知 道 平 面 曲 線 的 弧 微 分 、 曲 率 和 曲 率 半 徑 的 概 念 ， 并 能 計 算平 面 曲 線 的 弧 微 分 、 曲 率 、 曲 率 半 徑 和 曲 率 中 心 。 掌 握 建 立 與 定 積 分 有 關(guān) 的 數(shù) 學 模 型 的 方 法 。 熟 練 掌 握 “ 微 分 元 素 法 ” ， 能 熟 練 運 用 定 積 分 表 達 和 計 算 一些 幾 何 量 與 物 理 量 ： 平 面 圖 形 的 面 積 、 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 側(cè) 面 積 、平 行 截 面 面 積 為 已 知 的 幾 何 體 的 體 積 、 平 面 曲 線 的 弧 長 、 變力 作 功

3、 、 液 體 的 壓 力 等 。 能 利 用 定 積 分 定 義 式 計 算 一 些 極 限 。 一 、 冪 級 數(shù) 的 解 析 運 算三 、 函 數(shù) 展 開 為 冪 級 數(shù)四 、 函 數(shù) 展 開 為 冪 級 數(shù) 應 用 舉 例第 六 章 一 元 微 積 分 的 應 用第 四 節(jié) 函 數(shù) 展 開 為 冪 級 數(shù)二 、 泰 勒 級 數(shù) 1 冪 級 數(shù) 在 其 收 斂 區(qū) 間 內(nèi) 具 有 內(nèi) 閉 一 致 收 斂 性 .該 性 質(zhì) 的 證 明 與 阿 貝 爾 定 理 的 證 明 類 似 .將 函 數(shù) 項 級 數(shù) 與 構(gòu) 造 的 一 個 常 數(shù) 項 級 數(shù)進 行 比 較 即 可 .該 定 理 歸 功

4、于 數(shù) 學 家 魏 爾 斯 特 拉 斯 . 魏 爾 斯 特 拉 斯Weierstrass, K. W 1815 1897 數(shù) 學 家 魏 爾 斯 特 拉 斯 1815年 10月 31日 出 生 于德 國 的 奧 斯 登 費 爾 特 ； 1897年 2月 19日 卒 于 柏 林 。 魏 爾 斯 特 拉 斯 的 父 親 威 廉 是 一 名 受 過 高 等 教育 的 政 府 官 員 ， 頗 具 才 智 ， 但 對 子 女 相 當 專 橫 。魏 爾 斯 特 拉 斯 11歲 喪 母 ， 翌 年 其 父 再 婚 。 他 有 一個 弟 弟 和 兩 個 終 身 未 嫁 的 妹 妹 ， 她 們 一 直 在 生

5、活上 照 顧 終 身 未 娶 的 魏 爾 斯 特 拉 斯 。 1834年 其 父 將他 送 往 波 恩 大 學 攻 讀 財 務 與 管 理 ， 使 其 學 到 充 分的 法 律 、 經(jīng) 濟 和 管 理 知 識 ， 為 謀 取 政 府 高 級 職 位創(chuàng) 造 條 件 。 魏 爾 斯 特 拉 斯 不 喜 歡 父 親 所 選 專 業(yè) ， 并 令 人 驚 訝 地 放棄 了 即 將 獲 得 的 法 學 博 士 學 位 ， 離 開 了 波 恩 大 學 。 在 其 父親 的 一 位 朋 友 的 建 議 下 ， 再 一 次 被 送 到 一 所 神 學 院 學 習 。后 來 參 加 并 通 過 了 中 學 教 師

6、 資 格 國 家 考 試 ， 在 一 所 任 教 。在 此 期 間 他 撰 寫 了 4 篇 直 到 他 的 全 集 刊 印 時 才 問 世 的 數(shù) 學論 文 。 這 些 論 文 實 際 上 已 顯 示 了 他 建 立 函 數(shù) 論 的 基 本 思 想和 基 本 結(jié) 構(gòu) 。 1853年 夏 他 在 父 親 家 中 度 假 時 ,研 究 阿 貝 爾 和雅 可 比 留 下 的 難 題 ， 精 心 撰 寫 “ 阿 貝 爾 函 數(shù) ” 的 論 文 ， 并于 1854年 發(fā) 表 于 克 雷 爾 雜 志 上 。 這 篇 出 自 一 個 名 不 見經(jīng) 傳 的 中 學 體 育 教 師 的 杰 作 ， 引 起 了

7、數(shù) 學 界 的 矚 目 。 1855年 秋 ， 魏 爾 斯 特 拉 斯 被 提 升 為 高 級 教 師 ， 并 享 受一 年 的 研 究 假 期 。 1856 年 6 月 14日 柏 林 皇 家 綜 合 科 學 校 任命 他 為 數(shù) 學 教 授 ， 他 欣 然 地 接 受 了 聘 書 。 同 年 的 11月 19日他 當 選 為 柏 林 科 學 院 院 士 。 1864年 成 為 柏 林 大 學 教 授 ， 在此 期 間 魏 爾 斯 特 拉 斯 著 手 系 統(tǒng) 地 建 立 數(shù) 學 分 析 基 礎(chǔ) ， 進 一步 研 究 橢 圓 函 數(shù) 論 與 阿 貝 爾 函 數(shù) 論 。 這 些 工 作 主 要

8、是 通 過他 在 該 校 講 授 大 量 的 課 程 完 成 的 。 短 短 幾 年 他 就 聞 名 遐 爾 ,成 為 德 國 以 至 全 歐 洲 知 名 度 最 高 的 教 授 。 1873年 他 出 任 柏林 大 學 校 長 ， 從 此 他 成 為 一 個 大 忙 人 。 繁 雜 的 公 務 幾 乎 占去 了 他 的 全 部 時 間 ， 緊 張 的 工 作 影 響 了 他 的 健 康 ， 使 他 疲 憊 不 堪 ， 但 他 的 智 力 未 見 衰 退 ， 研 究 工 作 仍 繼 續(xù) 進 行 。 1897年 初 ， 魏 爾 斯 特 拉 斯 染 上 流 行 性 感 冒 ， 引 發(fā) 肺 炎 ,醫(yī)

9、 治 無 效 ， 于 1897年 2月 19日 與 世 長 辭 ， 享 年 82 歲 。 除 柏 林 科 學 院 外 ， 魏 爾 斯 特 拉 斯 還 是 格 丁 根 皇 家 科 學 學會 會 員 （ 1856年 ） 、 巴 黎 科 學 院 院 士 （ 1868年 ） 、 英 國 皇 家學 會 會 員 （ 1881年 ） 。 在 某 種 意 義 上 魏 爾 斯 特 拉 斯 被 人 們 視為 德 意 志 的 民 族 英 雄 。 魏 爾 斯 特 拉 斯 是 數(shù) 學 分 析 算 術(shù) 化 的 完 成 者 、 解 析 函 數(shù) 論的 奠 基 人 ， 是 無 與 倫 比 的 大 學 數(shù) 學 教 師 。 2 冪

10、 級 數(shù) 的 和 函 數(shù) 在 其 收 斂 區(qū) 間 內(nèi) 是 連 續(xù) 的) ,()(0 RRCxfxan nn 在 收 斂 區(qū) 間 端 點 處 是 指 和 函 數(shù) 的 左 、 右 連 續(xù) 性 . , )1 ,1( 0 其 和 為 ：內(nèi) 收 斂在 n nx )1 ,1( 1 1)( Cxxf 3 冪 級 數(shù) 在 其 收 斂 區(qū) 間 內(nèi) 具 有 逐 項 可 積 性 dd)( 0 0 0 0 n x nnx n nn ttatta在 冪 級 數(shù) 的 收 斂 區(qū) 間 內(nèi) , 其 和 函 數(shù) 連 續(xù) , 故 冪 級 數(shù) 的 和 函 數(shù) 在 收 斂 區(qū) 間 內(nèi) 可 積 , 當 然 ,冪 級 數(shù) 也 在 其 收

11、 斂 區(qū) 間 內(nèi) 可 積 .逐 項 積 分 得 到 的 新 冪 級 數(shù) 與 原 冪 級 數(shù) 具 有相 同 的 收 斂 半 徑 , 但 端 點 處 的 斂 散 性 可 能 改 變 . . )1 | ( , 1 1 xxnn n求 , nan 由 于 , 11lim| |lim 1 nnaa nnnn . )1 ,1( 1 1 內(nèi) 可 逐 項 積 分在故 n nxn d d) (0 1 0 11 1 x n x nn n xxnxxn . 11 xxxn n 首 項 為 x , 公 比 為 x .例 1解 d) (dd 0 1 11 1 x n nn n xxnxxn從 而 xxx 1dd . )

12、 1 | ( , )1( 1 2 xx .1 R即 111 2 122 12 xnn nn n xnn 1211 2 122 12 xnn nn n xnn 12211 2 122 12 xnn nn n xnn 符合積分要求了分 析 . 2 12 1 之 值求 n nn例 2 . )2 ,2( 2 121 22 的 收 斂 區(qū) 間 為n nn xn , )2 ,2( 中在 1 0 220 1 22 d 2 12 d) 2 12( n x nnx n nn xxnxxn 1 122n nnx 1 22 1 n nxx 22 xx 等比級數(shù) . 2 12 1 之 值求 n nn例 2解 21 2

13、2 2 dd 2 12 xxxxnn nn故 222)2( 2 xx , 1 得取 x . 3 )2( 22 12 12221 xn n xxn 4 冪 級 數(shù) 在 其 收 斂 區(qū) 間 內(nèi) 具 有 逐 項 可 導 性 . )(dddd 00 n nnn nn xaxxax逐 項 求 導 得 到 的 新 冪 級 數(shù) 與 原 冪 級 數(shù) 具 有相 同 的 收 斂 半 徑 , 但 要 注 意 ： 由 于 常 數(shù) 的 導 數(shù)為 零 , 故 有 些 冪 級 數(shù) 在 求 導 后 要 改 變 下 標 的 起始 值 . 1 120 2 2)(dd n nn n xnxx例 如 , )1 |(| 5312 53

14、1 12 之 和求 xxxxnxn n. )12(2 1 1 的 值并 由 此 求 n n n ,12)( , 12 則 由令這 是 缺 項 的 冪 級 數(shù) nxxu nn , 12 12lim|)(| |)(|lim 221 xxnnxu xu nnnn . , 1 | , 原 級 數(shù) 絕 對 收 斂時得 x例 3解 由 冪 級 數(shù) 在 其 收 斂 區(qū) 間 內(nèi) 的 逐 項 可 導 性 , 得 1 121 12 1212 n nn n nxnx 0 22n nx , 1 11 242 xxx xn n xxnx 0 21 12 d1 112 故 xxxx d1111 21 0 . ) 1 |

15、( , 11ln 21 xxx )12(2 1 1 ？的 值如 何 求 n n n )1 |(| 11ln 2112 1 12 xxxnxn n已 知 11 12 21 )12(2 1 n nn n nn 12 )2( 11 2 n nn 1 12 12 21 21 n nn . 1)2ln( 21 21 x取 請自己完成例 4分 析 在 收 斂 區(qū) 間 內(nèi) 對 冪 級 數(shù) 逐 項 求 導 、 逐 項積 分 后 , 得 到 一 個 新 的 冪 級 數(shù) , 且 它 與 原 冪 級數(shù) 具 有 相 同 的 收 斂 半 徑 . 如 有 必 要 ,可 對 它 連續(xù) 進 行 逐 項 求 導 和 逐 項 積

16、 分 .就 是 說 , 在 收 斂 區(qū) 間 內(nèi) 冪 級 數(shù) 的 和 函 數(shù) 具有 任 意 階 的 導 數(shù) 及 任 意 次 的 可 積 性 . 冪 級 數(shù) 的 性 質(zhì) 多 好 啊 ！ 如 何 將 函 數(shù) 表 示 為 冪 級 數(shù) ?怎 么 做 ？ , 將 函 數(shù) 表 示 為我 們 在 前 面 已 經(jīng) 遇 到 過實 際 上 泰 勒 公 式 ：多 項 式 的 情 形 200000 )(! 2 )()()()( xxxfxxxfxfxf . )o()(! )( 000)( nnn xxxxn xf 馬 克 勞 林 公 式 ： . )o( ! )0( ! 2 )0( )0()0()( )(2 nnn xx

17、nfxfxffxf 嗎 ？還 記 得 公 式 的 推 導 過 程 將 函 數(shù) 展 開 為 冪 級 數(shù) 得 的 問 題 是 否就 是 將 函 數(shù) 展 開 為 泰 勒 級 數(shù) 的 問 題 ? 一 個 冪 級 數(shù) 在 其 收 斂 區(qū) 間 內(nèi) 代表 一 個 函 數(shù) , 即 它 的 和 函 數(shù) : ) ,( )(0 RRxxSxan nn 任 意 一 個 函 數(shù) 能 否 在 某 一 個 區(qū) 間 內(nèi) 表 示 為某 一 個 冪 級 數(shù) 的 形 式 呢 ? 即 是 否 有 ? ) )( ( )()( 0 0 xfxxaxf n nn ? 如 何 確 定系 數(shù) na ? )( 的 關(guān) 系 如 何與 xfa n工

18、 程需 要 泰 勒公 式問 題 回 憶 泰 勒 中 值 定 理 的 構(gòu) 建 過 程 , )U( 0 內(nèi) 具 有 足 夠 階 的 導 數(shù) 時當 函 數(shù) 在 x )o()(! )()( 00 00)( nnk kk xxxxk xfxf )o()(! )()( 1010 00)( nnk kk xxxxk xfxf 按 照 上 面 的 方 法 不 斷 地 做 下 去 , 是 否 有 下 面 的 結(jié) 論 : 0 00)( )( )()( n nn xxn xfxf ！ 200000 )(! 2 )()()( xxxfxxxfxf ! )( 0)( n xf n 等號成立嗎？ 該 級 數(shù) 收 斂 嗎

19、？ 即 算 級 數(shù) 收 斂 , 其 和 函 數(shù) 等 于 f (x) 嗎 ？ )( )U( )( 0 00 即的 和 函 數(shù) ，內(nèi) 為 冪 級 數(shù)在若 n nn xxaxxf )U( ,)()( 00 0 xxxxaxf n nn . ),2,1,0( ! )( 0)( nn xfa nn則定 理 證 由 定 理 的 條 件 可 知 , , )U( 0 內(nèi) 冪 級 數(shù) 收 斂在 x , )U( 0 內(nèi) 可 對 其 進 行 逐 項 求 導故 在 x 且 其 和 函 數(shù). )U( )( 0 內(nèi) 具 有 任 意 階 導 數(shù)在 xxf 于 是 有 nn xxaxxaxxaaxf )()()()( 020

20、2010 10203021 )()(3)(2)( nn xxnaxxaxxaaxf 204032 )(34)(232)( xxaxxaaxf 20)()1( nn xxann )( 23)1()1(! )( 01)( xxannnanxf nnn 則 有代 入 上 述 各 式以 , 0 xx , )( 00 xfa , )( 01 xfa , ! )( 0)( n xfa nn 由 數(shù) 學 歸 納 法 , 得 ),2 ,1 ,0( )( 0)( nn xfa nn ！該 定 理 說 明 , 內(nèi) 為 某 個在如 果 )U( )( 0 xxf 0 00)( )(! )(n nn xxn xf冪 級

21、 數(shù) 的 和 函 數(shù) , 則 該 冪 級 數(shù) 一 定 是 下 列 形 式 : )( 0 則 稱有 任 意 階 導 數(shù) ，在 點設(shè) xxf 0 00)( )(! )(n nn xxn xf . )( 0 處 的 泰 勒 級 數(shù)在 點為 xxf 定 理 和 定 義 給 我 們 提 供 了 什 么 信 息 ? 定 理 和 定 義 告 訴 我 們 ： 0 )( xxf 在 點如 果 處 有 任 意 階 導 數(shù) , 則 它就 有 一 個 相 應 的 泰 勒 級 數(shù) 存 在 . 但 此 泰 勒 級 數(shù) 不 一 定 收 斂 , 即 算 收 斂 , 其 和 函 數(shù) 也 不 一 定 等 于 . )(xf就 是

22、說 ,函 數(shù) 與 它 的 泰 勒 級 數(shù) 間 劃 等 號 是 條 件 的 .)U( )( 0 xxf 在如 果 內(nèi) 可 表 示 為 冪 級 數(shù) 的 形 式 , 則 該 冪 級 數(shù) 一 定 是 函 數(shù) f ( x ) 的 泰 勒 級 數(shù) . 問 題 ,在 什 么 條 件 下 ? )U( )( 0 數(shù) 呢內(nèi) 可 以 展 開 為 一 個 冪 級在 xxf )( , )( 呢 ？且 和 函 數(shù) 等 于的 泰 勒 級 數(shù) 收 斂 xfxf ,在 什 么 條 件 下 回 憶 泰 勒 中 值 定 理 的 構(gòu) 建 過 程 , )1( )U( )( 0 則階 的 導 數(shù)內(nèi) 有 直 到在設(shè) nxxf , )()(

23、! )()( 0 00)( xRxxk xfxf nnk kk . )(! )1( )()( 10)1( 為 拉 格 朗 日 余 項其 中 nnn xxnfxR 由 級 數(shù) 的 部 分 和 及 收 斂 性質(zhì) 看 出 一 點 什 么 沒 有 ? 定 理 , )U( )( 0 內(nèi) 具 有 任 意 階 導 數(shù)在設(shè) xxf 內(nèi)處 的 泰 勒 級 數(shù) 在在 點則 )U( )( 00 xxxf 的 充 要 條 件 是收 斂 于 )( xf 0)(lim xRnn )( )( , 0 處 泰 勒 公 式 的 拉在為其 中 xxfxRn . 格 朗 日 余 項 證 )(! )( 0 00)( 的 部 分 和

24、為級 數(shù) n nn xxn xf )(! )()( 00 0)( knk kn xxk xfxS )( 的 泰 勒 公 式 為函 數(shù) xf )()(! )()( 00 0)( xRxxn xfxf nknk k )()()( xSxfxR nn 故 余 下 的 工 作 由 學 生 自 己 完 成 . 10)1( )(! )1( )()( nnn xxnfxR ) ,2 ,1 ,0( |)(| )( nMxf n若 推 論 , 0 ), 2, 1, (0, |)(| )U( )(0 為 常 數(shù)內(nèi)若 在 MMxfx n )U( )( 0 內(nèi) 可 展 開 為 泰 勒 級 數(shù)在則 xxf . )U(

25、,)(! )()( 00 00)( xxxxn xfxf n nn 證 （ 提 示 ） )(! )1( )( |)(| 0 10)1( nnn xxnfxR )( 0! )1( 1 nnM n .) ( 為 鄰 域 半 徑 . )( 0! lim , Ranann此 外 自 己 做 ! 0 )( ! )0(n nn xnf 2! 2 )0()0()0( xfxff nn xnf ! )0()( ,0 0 級 數(shù)即 得 到 常 用 的 馬 克 勞 林在 泰 勒 級 數(shù) 中 取 x , )( 0 處 具 有 任 意 階 導 數(shù)在 點只 要 函 數(shù) xxf就 可 寫 出 它 的 泰 勒 級 數(shù) .

26、但 它 的 泰 勒 級 數(shù) 不 一定 收 斂 ,. )(xf 只 有 當 拉 格 朗 日 余 項 0)( )( nxRn時 , 泰 勒 級 數(shù) 才 收 斂 于 . )(xf一 個 函 數(shù) 如 果 能 夠 展 開 為 冪 級 數(shù) 形 式 , 則該 冪 級 數(shù) 一 定 是 它 的 泰 勒 級 數(shù) , 且 這 種 展 開 是唯 一 的 . )( 也 不 一 定 等 于xS即 使 收 斂 ,其 和 函 數(shù) 函 數(shù) 展 開為 冪 級 數(shù) 直 接 展 開 法間 接 展 開 法 該 方 法 是 先 求 出 函 數(shù) , )( )( )( xfxf n的 導 數(shù)寫 出 它 的 泰 勒 級 數(shù) ,然 后 , 判

27、斷 泰 勒 公 式 中 的拉 格 朗 日 余 項 是 否 滿 足 , 0)(lim xRnn 確 定 級數(shù) 的 收 斂 區(qū) 間 . . )( 為 馬 克 勞 林 級 數(shù)展 開 xexf ) ,2 ,1 ,0( 1)0( 0)( nef xxn 的 馬 克 勞 林 級 數(shù) 為xe 0 ! n nnx ! 1 nxx n 011lim| |lim 1 naa nnnn由 于 . , R該 級 數(shù) 的 收 斂 半 徑 為所 以例 4解 ! )1( | |! )1( )( | |)(| 0 1| | 1)1( nxexnfxR nxnnn 而 ) 0 ( 之 間與在 x , )( 0! lim Ran

28、ann因 為 ) ,( 0! )1( |lim 1| xnxe nxn所 以 , 0)(lim 故 所 求 馬 克 勞 林 級 數(shù) 為即 xRnn . ) ,( , ! 0 xnxe n nx . sin)( 展 開 為 馬 克 勞 林 級 數(shù)將 xxf , )2sin()( )( nxxf n因 為 )( 12 ,)1( 2 , 0 )0( , )( Zkkn knf kn所 以 sin 的 馬 克 勞 林 級 數(shù) 為故 x 1 121 )12()1(n nn nx ！ ! 5! 3 53 xxx例 5解 , ! )12()1()( 121 nxxu nnn記 02)12(lim| |lim

29、 21 nn xuu nnnn . R故 該 級 數(shù) 的 收 斂 半 徑 為 ) ,2 ,1 ,0( 1 |)0(| )( nf n因 為 , sin , 即林 級 數(shù)可 以 展 開 為 它 的 馬 克 勞所 以 x ). ,( , ! )12()1(sin 1 121 xnxx n nn 從 一 些 已 知 函 數(shù) 的 泰 勒 展 開 式 出 發(fā) , 利 用冪 級 數(shù) 的 四 則 運 算 和 解 析 運 算 性 質(zhì) , 以 及 進 行適 當 的 變 量 代 換 來 求 出 另 外 一 些 函 數(shù) 的 泰 勒 公式 的 方 法 , 稱 為 間 接 展 開 法 . . cos)( 展 開 為 馬

30、 克 勞 林 級 數(shù)將 xxf )(sincos xx ) ! )12()1( ( 1 121 n nn nx 1 121 ) ! )12()1(n nn nx 1 221 ! )22()1(n nn nx .) ,( , ! )2()1(0 2 xnxn nn例 6解 ) ,( ! )12()1(sin 0 12 xnxx n nn ) ,( ! )2()1(cos 0 2 xnxx n nn . )( 2 展 開 為 馬 克 勞 林 級 數(shù)將 xexf , 2xy 令 , ) ,( , ! 0 ynye n ny因 為 . ) ,( ,! )1( 0 22 xn xe n nnx所 以 利 用 變 量 代 換例 7解 . )3( 1)( 的 冪 級 數(shù)為展 開 xxxf )3(3 11 xx 3 31 131 x 等 比 級 數(shù) 的 和例 8解 , )1 ,1( , 1 1)1( 0 得由 xxxn nn 3 31 131 1 xx 0 3 )3()1(31 n n nn x, 3 )3()1(0 1 n n nn x 13 31 x？x . )6 ,0(x