《數(shù)學(xué)分析14-5極值問題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)分析14-5極值問題（25頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、20090413 14.5 多 元 函 數(shù) 的 極 值 問 題 :補(bǔ) 充 .,.,2,1, , njiaannA jiij 即對 稱 矩 陣是 一 個設(shè) 都 有如 果 對 , nRx ,0 Axx .為 正 定 矩 陣則 稱 A,0 Axx .為 半 正 定 矩 陣則 稱 A,0 Axx .為 負(fù) 定 矩 陣則 稱 A,0 Axx .為 半 負(fù) 定 矩 陣則 稱 A . , 稱 為 不 定 矩 陣不 是 上 面 之 一正 定 、 負(fù) 定 、 不 定 矩 陣 0 0所 有 特 征 值 大 于所 有 順 序 主 子 式 大 于正 定 A : 22 矩 陣 為 例以 2212 1211 aa aaA

2、,011 aA正 定 ,011 aA半 正 定 ,對 稱 矩 陣是 一 個設(shè) nnA .02212 1211 aa aa .02212 1211 aa aa ,正 定負(fù) 定 AA .半 正 定半 負(fù) 定 AA , 2212 1211 aa aaA設(shè) :定 理 .0 2122211 aaaA不 定 一 、 二 元 函 數(shù) 極 值 的 定 義 極 大 值 、 極 小 值 統(tǒng) 稱 為 極 值 .使 函 數(shù) 取 得 極 值 的 點(diǎn) 稱 為 極 值 點(diǎn) . (1)(2)(3)例 1處有極小值在函數(shù))0,0( 43 22 yxz 例 處有極大值在函數(shù))0,0( 22 yxz 例 處無極值在函數(shù))0,0(

3、xyz 定 理 1（ 必 要 條 件 ）設(shè) 函 數(shù) ),( yxfz 在 點(diǎn) ),( 00 yx 具 有 偏 導(dǎo) 數(shù) ， 且 在 點(diǎn) ),( 00 yx 處 有 極 值 ， 則 它 在 該 點(diǎn) 的 偏 導(dǎo) 數(shù) 必然 為 零 ： 0),( 00 yxfx ， 0),( 00 yxfy . 二 、 多 元 函 數(shù) 取 得 極 值 的 條 件 不妨設(shè)),( yxfz 在點(diǎn)),( 00 yx處有極大值,證 說明一元函數(shù)),( 0yxf在0 xx 處有極大值,必有 0),( 00 yxfx ; 類似地可證 0),( 00 yxfy . 推 廣 如果三元函數(shù)),( zyxfu在點(diǎn)),( 000 zyxP具

4、有偏導(dǎo)數(shù)，則它在),( 000 zyxP有極值的必要條 件為 0),( 000 zyxfx， 0),( 000 zyxfy， 0),( 000 zyxfz . 但不是極值點(diǎn). 凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的 穩(wěn) 定 點(diǎn) .穩(wěn)定點(diǎn)極值點(diǎn)注 意 ： (偏導(dǎo)存在時) ,)( 0 是 正 定 矩 陣 時則 當(dāng) PH f ; 0取 得 極 小 值在 Pf,)( 0 是 負(fù) 定 矩 陣 時當(dāng) PH f ; 0取 得 極 大 值在 Pf,)( 0 是 不 定 矩 陣 時當(dāng) PH f . 0不 取 極 值在 Pf問 題 ： 如 何 判 定 一 個 穩(wěn) 定 點(diǎn) 是 否 為 極 值 點(diǎn) ？ :證明知為

5、 穩(wěn) 定 點(diǎn)以 及的 泰 勒 展 式在由 , , 00 PPf ),(),( 00 yxfyxf ),)(),(21 0 yxPHyx f )( 22 yxo ., 00 yyyxxx 其 中 知 存 在 一 個 與正 定由 ,)( 0PH f , qyx 無 關(guān) 的 正 數(shù) qyxPHyx f 2 ),)(),( 0 使 得 )( 22 yx 就 有只 要故 對 充 分 小 的 ),(),( ),( 00 PUyxPU ),(),( 00 yxfyxf )1( oq .0)( 22 yx ; 0取 得 極 小 值在所 以 Pf ,)( 0 是 負(fù) 定 矩 陣 時當(dāng) PH f ; 0取 得 極

6、 大 值在 Pf同 理 , , 0 不 妨 設(shè) 為 極 大 值取 極 值在現(xiàn) 設(shè) Pf ., , 000 yyyxxxP 的 直 線沿 過 任 何 過則 )(),(),( 00 tytyxtxfyxf 也在 0t,取 極 大 值 條 件 知一 元 函 數(shù) 取 極 值 的 充 分由 .0)0( 而 )( t yfxf yx )( t 22 2 yfyxfxf yyxyxx )0( ),)(),( 0 yxPHyx f )( 0PH f表 明 .半 負(fù) 定 的 取 極 小 值在設(shè) 0 Pf:同 理 )( 0PH f .半 正 定 的即 )( 0PH f ,必 為 半 正 定 .或 為 半 負(fù) 定

7、的 !矛 盾, 0取 極 值在若 Pf ,),( 00 Ayxfxx ,),( 00 Byxfxy .),( 00 Cyxfyy :實(shí) 用 判 定 條 件設(shè) ,0),( yxfx 0),( yxfy 極 小 值 點(diǎn) 偏 導(dǎo) 數(shù) 不 存 在 )0,0(,22 yxz 01010 062 yf xfyx解 .10)1,3( ,0)1,3(,2)1,3( yy xyxxfC fBfA ,0,0202 ABAC 8)1,3( f .,唯 一 極 值 點(diǎn)處 處 存 在 偏 導(dǎo).為 極 小 值 求 最 值 的 一 般 方 法 ：比 較 函 數(shù) 在 區(qū) 域 內(nèi) 的 所 有 穩(wěn) 定 點(diǎn) 、 無 偏 導(dǎo) 點(diǎn) 、

8、屬 于 區(qū) 域 的 邊 界 點(diǎn) 的 函 數(shù) 值 ， 最 大 者 即 為 最 大值 ， 最 小 者 即 為 最 小 值 . 與 一 元 函 數(shù) 相 類 似 ， 我 們 可 以 利 用 函 數(shù) 的極 值 來 求 函 數(shù) 的 最 大 值 和 最 小 值 .三 、 多 元 函 數(shù) 的 最 值 解 xyo 6 yxD D如 圖 , 0)4(),( 0)4(2),( 22 2yxyxxyxf yxyxxyyxf yx 再求),( yxf在D邊界上的最值， 在邊界0 x和0y上0),( yxf , 在邊界6 yx上，即xy 6 于是)2)(6(),( 2 xxyxf , 得4,0 21 xx ,2|6 4

9、xxy,64)2,4( f 比較后可知4)1,2( f為最大值,64)2,4( f為最小值. xyo 6 yxD 例 6 求122 yx yxz的最大值和最小值.,0)1( )(2)1( 22222 yx yxxyxzx ,0)1( )(2)1( 22222 yx yxyyxzy解由 ,21)21,21( z ,21)21,21( z 所以最大值為21，最小值為21 . 因?yàn)?1lim 22 yx yxyx無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其它條件. 多 元 函 數(shù) 的 極 值（取得極值的必要條件、充分條件）多 元 函 數(shù) 的 最 值四 、 小 結(jié) 思 考 題 若),( 0 yxf及),( 0yxf在),( 00 yx點(diǎn)均取得極值，則),( yxf在點(diǎn)),( 00 yx是否也取得極值？作業(yè)習(xí)題集 習(xí)題 14-4 5 (奇數(shù)), 6(1,2), 7, 8. 思 考 題 解 答不是. 例如 22),( yxyxf , 當(dāng)0 x時，2),0( yyf 在)0,0(取極大值; 當(dāng)0y時，2)0,( xxf 在)0,0(取極小值; 但22),( yxyxf 在)0,0(不取極值.